Cours de math´ematiques
Lois de probabilit´e discr`etes
1 Lois de probabilit´ e
D´efinition 1. On consid`ere une exp´erience al´eatoire dont l’univers est fini, muni d’une loi de probabilit´e et on associe `a chaque ´eventualit´e un nombre r´eel. On appelle loi de probabilit´ede l’ensemble(x1, x2, . . . , xn) de ces nombres r´eels, l’ensemble des probabilit´es (p1, p2, . . . , pn) qui leur correspondent.
Exercice 1. On consid`ere le lancer d’une pi`ece ´equilibr´ee et on associe `a Face le nombre 0 et `a Pile le nombre1. D´eterminer la loi de probabilit´e.
Exercice 2. On consid`ere le lancer de deux d´es `a six faces ´equilibr´es et on associe `a chacune des ´eventualit´es la somme des num´eros obtenus. D´eterminer la loi de probabilit´e.
(on repr´esentera les r´esultats sous la forme d’un tableau avec en premi`ere ligne les r´eelsxi et en deuxi`eme les probabilit´espi)
D´efinition 2. On appelle exp´erience de Bernoulli une exp´erience al´eatoire ne comportant que deux ´even- tualit´es possibles appel´ees «succ`es» et «´echec». On associe `a l’´eventualit´e «succ`es» le nombre 1 et `a l’´eventualit´e «´echec» le nombre 0, on note p la probabilit´e correspondant `a l’´eventualit´e «succ`es» et q= 1−p la probabilit´e correspondant `a l’´eventualit´e«´echec».
On appelle loi de Bernoulli la loi de probabilit´e de l’exp´erience de Bernoulli :
xi 0 1
pi q= 1−p p
Exercice 3. On consid`ere le lancer d’un pi`ece truqu´ee pour laquelle on a deux fois plus de chances d’obtenir Pile que Face, on nomme«succ`es» l’´eventualit´e«obtenir Pile»et«´echec»l’´eventualit´e«obtenir Face». D´eterminer la loi de probabilit´e.
D´efinition 3. On r´ep`ete n exp´eriences de Bernoulli de param`etre p identiques et ind´ependantes, la loi de probabilit´e du nombre de succ`es obtenus est appel´ee appelle loi Binomiale de param`etres n et p.
Exercice 4. On lance trois fois une pi`ece truqu´ee pour laquelle on a deux fois plus de chances d’obtenir Pile que Face. D´eterminer la loi de probabilit´e du nombre de Pile obtenus.
Exercice 5. On lance deux fois un d´e ´equilibr´e. D´eterminer la loi de probabilit´e du nombre de six obtenus.
2 Esp´ erance d’une loi de probabilit´ e discr` ete
D´efinition 4. On consid`ere une loi de probabilit´e discr`ete (p1, p2, . . . , pn) d’un ensemble de nombres r´eels (x1, x2, . . . , xn). On appelle esp´erance de la loi de probabilit´e :
E =x1×p1+x2×p2+· · ·+xn×pn
On appelle variance de la loi de probabilit´e :
V = (x1−E)2×p1+ (x2−E)2×p2+· · ·+ (xn−E)2×pn
Remarque 1. L’esp´erance correspond `a la moyenne des nombres r´eels (x1, x2, . . . , xn) pond´er´ee par les coefficients (p1, p2, . . . , pn). La variance est la moyenne des carr´es des ´ecarts `a la moyenne.
Exercice 6. On consid`ere le lancer de deux d´es `a six faces ´equilibr´es. D´eterminer la loi de probabilit´e, l’esp´erance et la variance de la somme des num´eros obtenus.
Propri´et´e 1. L’esp´erance d’une loi binomiale de param`etres net p est E=n×p . D´emonstration. admis.
Exercice 7. On lance cent fois une pi`ece truqu´ee pour laquelle on a deux fois plus de chances d’obtenir Pile que Face. D´eterminer l’esp´erance du nombre de Pile obtenus.
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