4
Probabilit ´es :
conditionnement et ind ´ependance
C H A P I T R E
La formule de Bayes ´ecrite en n´eon au sein dans les bureaux de l’entreprise d’informatique Autonomy (filiale de HP) `a Cambridge. Thomas Bayes (n´e env. en 1702 `a Londres - mort le 7 avril 1761) est un math´ematicien britannique et pasteur de l’ ´Eglise presbyt´erienne, connu pour avoir formul´e le th´eor`eme de Bayes.
Dans tout le chapitre, on consid`ere une exp´erience al´eatoire et Ω = {e1;e2;. . . en}son univers sur lequel est d´efinit une loi de probabilit´eP. SoitA et B deux ´ev`enements avecP(A)6= 0 etP(B)6= 0.
Probabilit´ es conditionnelles
1
On appelle probabilit´e deB sachantA,not´ePA(B) le r´eel
PA(B) =P(A∩B) P(A) D´efinition 1
Exemple.
Le tableau ci-dessous donne la r´epartition d’une classe de terminale.
Int Ext DP Total
Fille 2 3 11 16
Gar¸con 1 2 15 18
Total 3 5 26 34
Parmi les ´el`eves de cette classe, on en choisit un au hasard.
On consid`ere les ´ev`enements suivants A:l’´el`eve choisi est une fille,
B :l’´el`eve choisi est demi-pensionnaire.
1. CalculerP(A),P(B). D´efinir l’´ev´enementA∩B puis calculer P(A∩B).
2. On choisit une ´el`eve parmi les filles.
Quelle est la probabilit´e d’obtenir une demi-pensionnaire ?
SoitAetB deux ´ev`enements de Ω tels queP(A)6= 0 etP(B)6= 0 on a P(A∩B) =PA(B)×P(A) =PB(A)×P(B).
Propri´et´e 1
SoitA,B etC trois ´ev`enements de Ω avecP(A)6= 0.
• SiAet B sont incompatibles (A∩B =∅), alorsPA(B) = 0.
• SiC⊂B, alorsPA(C)6PA(B).
• PA(B∪C) =PA(B) +PA(C)−PA(B∩C).
• PA(B) +PA(B) = 1 Propri´et´e 2
Soitkun entier sup´erieur ou ´egal `a 2.
Dire que k ´ev`enements A1, A2, . . ., Ak forment une partition de l’univers Ω signifie que :
• Pour touti∈ {1; 2;. . .;k},Ai6=∅.
• A1∪A2∪. . .∪Ak = Ω.
• Pour tout entierietj tels que 16i6k, 16j6keti6=j et Ai∩Aj=∅.
D´efinition 2
Remarque.
3 Chapitre 4. Probabilit´es : conditionnement et ind´ependance
Sik´ev`enementsA1,A2,. . .,Ak forment une partition de Ω alors P(A1) +P(A2) +. . .+P(Ak) = 1.
Formule des probabilit´es totales
Soitkentier sup´erieur ou ´egal `a 2 etk´ev`enementsA1,A2,. . .,Ak de probabilit´es non nulles formant une partition de Ω. Pour tout ´ev`enementB de Ω on a
P(B) =PA1(B)×P(A1) +PA2(B)×P(A2) +. . .+PAk(B)×P(Ak).
Th´eor`eme 1
Remarque.
En particulierAetA forment une partition de Ω on a P(B) =PA(B)×P(A) +PA(B)×P(A).
Arbre pond´ er´ e
2
SoitAun ´ev`enement de probabilit´e diff´erente de 1 et de 0.
On peut repr´esenter la situation `a l’aide d’un arbre pond´er´e.
Pour construire un arbre, on utilise les trois propri´et´es suivantes :
• la probabilit´e d’un chemin est ´egale au pro- duit des probabilit´es de ses branches ;
• la somme des probabilit´es issues d’un mˆeme nœud est ´egale `a 1 ;
• la probabilit´e d’un ´ev`enement est la somme des probabilit´es des chemins qui y abou- tissent.
Dans le cas particulier d’un arbre `a deux ni- veaux on a :
• P(A∩B) =PA(B)×P(A) ;
• PA(B) +PA(B) = 1 ;
• P(B) =P(A)×PA(B) +P(A)×PA(B).
P(A) A
PA(B) B
PA(B) B
P(A) A
PA(B) B
PA(B) B
Exemple.Dans une partie du monde, on estime que 15 % de la population est conta- min´ee par un virusX. La strat´egie de d´epistage met en place un test. On a observ´e les r´esultats suivants :
• quand la personne est contamin´ee par le virusX, le test est positif dans 99,6 % des cas ;
• quand la personne n’est pas contamin´ee par ce virus, le test est n´egatif dans 97,8 % des cas.
On consid`ere les ´ev´enements suivants :
A :La personne est contamin´ee par le virusX; B :La personne a un test positif.
1. R´ealiser un arbre repr´esentant la situation.
2. CalculerP(B) puis calculer la probabilit´e que le r´esultat du test soit exact.
3
Ind´ ependance de deux ´ ev´ enements
3
Deux ´ev`enements A et B sont ind´ependants si et seulement si PB(A) = P(A) autrement dit ˆetre ind´ependants signifie que
P(A∩B) =P(A)×P(B).
D´efinition 3
Remarques.
Attention `a ne pas confondre ind´ependance et incompatibilit´e.
Si deux ´ev´enementsAetBsont ind´ependants, la probabilit´e deAsachantBne d´epend pas de la probabilit´e deB.
SoitAetB deux ´ev`enements, de probabilit´e non nulles.
• AetB sont ind´ependants si et seulement siPA(B) =P(B).
• AetB sont ind´ependants si et seulement siPB(A) =P(A).
Propri´et´e 3
Variable al´ eatoire et ind´ ependance
4
4 1 Rappels sur les variables al´eatoires
Une variable al´eatoireX d´efinie sur l’univers Ω est une fonction de Ω dansR. On noterax1, x2, . . . , xk aveck6nles valeurs prises par X.
D´efinition 4
Lorsqu’`a chaque valeurxideX on associe la probabilit´e de l’´ev`enement (X =xi), not´eeP(X=xi), on d´efinit une loi de probabilit´e sur l’ensemble{x1, x2, . . . , xk}, appel´ee la loi de probabilit´e de la variable al´eatoireX.
D´efinition 5
4 2 Ind´ependance de deux variables al´eatoires
Soit X et Y deux variables al´eatoires sur Ω prenant respectivement les valeurs x1, x2, . . . , xk et y1, y2, . . . , yp aveck6netp6n.
Dire quexetY sont ind´ependantes signifie que pour toutietjtels que 16i6k et 16j6p, les ´ev`enements (X=xi) et (Y =yj) sont ind´ependants, c’est-`a-dire : pour toutietj tels que 16i6k
P((X =xi)∩(Y =yj)) =P(X =xi)×P(Y =yj).
D´efinition 6
