Pourcentages, ´evolution – Probabilit´es conditionnelles

Pourcentages, ´ evolution –

Probabilit´ es conditionnelles

`ere

ST I2D

Table des mati` eres

I Proportions, pourcentages et ´evolutions 1

1) Proportions, pourcentages, taux . . . 1

2) Evolutions´ . . . 3

3) Evolutions successives´ . . . 4

4) Indice simple en base 100. . . 6 II Tableau crois´e et fr´equences/probabilit´es conditionnelles 7

I Proportions, pourcentages et ´ evolutions

1) Proportions, pourcentages, taux

Propri´et´es • ”%” signifie ”/100”

• t% d’une quantit´eq est t%×q

• La proportion, ou pourcentage ou encore taux, d’´el´ements A parmi les ´el´ementsB est Nombre d’´el´ements de A

Nombre d’´el´ements de B Exemples :

• 1,2% = 1,2

100 = 0,012 ; 82,3% = 0,832 ; 234% = 2,34

• 10% de 120 est 10%×120 = 0,1×120 = 12

• 20% de 32 est 6,4

• 1% de 12300 est 123

• Dans la classe, il y a 6 filles sur 30 ´el`eves, soit une proportion de 6 30 = 1

5 = 0,2 = 20%

•

Exercice 1

1. Calculer : a) 20% de 170 euros b) 30% de 60 euros c) 10% de 1212 euros d) 90% de 600 euros e) 25% de 800 euros

Remarques : Des pourcentages / proportions `a connaˆıtre : 10% = 1

10 ; 20% = 1

5 ; 25% = 1 4 ; 1

3 ≃33% ; 50% = 1

2 ; 80% = 4 5

3. 32,7% des 122 300 ´electeurs ont vot´e pour moi, soit . . .. . .. . . personnes.

4. Dans un groupe de 85 voyageurs d´ebarquant d’un avion en provenance de Rome, 40 personnes sont de nationnalit´e italienne, soit . . .. . .. . . % d’italiens dans ce groupe de voyageur.

5. Dans une usine, 90 des 143 employ´es sont en gr`eve, soit un taux de gr´eviste de . . .. . .. . .

6. Entendu `a la radio en juillet 2004 : ”16 % des Fran¸cais ne partent pas en vacances, ce qui repr´esente dix millions de personnes”

D’apr`es cette information, quel est l’effectif de la population fran¸caise ? Est-ce r´ealiste ? 7. Lors d’une ´election, 4 421 personnes ont pris part au vote, soit 61,43 % des ´electeurs inscrits.

Combien y avait-il d’´electeurs ?

Propri´et´e Sipest la proportion d’´el´ementsAparmi les ´el´ementsB etp^′ est la proportion d’´el´ements B parmi les ´el´ementsC alors la proportion d’´el´ementsA parmi les ´el´ementsC est p×p^′. D´emonstration : tout simplement car

p×p^′ = Nombre d’´el´ements de A

Nombre d’´el´ements de B × Nombre d’´el´ements de B Nombre d’´el´ements de C

= Nombre d’´el´ements de A

Nombre d’´el´ements de C

On peut efficacement repr´esenter la situation `a l’aide d’un arbre. Par exemple : Exercice 2 Dans une famille, 2

3 des membres sont musiciens. Parmi ceux-ci, les 3

4 jouent du violon.

a) Repr´esenter la situation par un arbre pond´er´e.

b) Quelle est la proportion des membres de la famille jouant du violon ?

c) Quelle est la proportion des membres de la famille ne jouant pas du violon ? On peut repr´esenter la situation par un arbre de choix (ou de r´epartition) :

Famille

2 3

1 3

Musiciens

Non musiciens

3 4

1 4

Violonistes

Non violonistes

et on a alors : la proportion des membres de la famille qui jouent du violon est : P = ³₄ × 2 3 = 1

2 et pour les non violonistes : p= 2

3 × 1 4 + 1

3 = 3 6 = 1

2 ou alors, plus simplement en utilisant le r´esultat pr´ec´edent, p= 1− 1

2 = 12.

Exercice 3 Dans un lyc´ee, 92% des ´el`eves de seconde sont pass´es en premi`ere. Parmi ces ´el`eves pass´es en premi`ere, 35% ont choisi d’aller en STI2D.

Parmi tous les ´el`eves qui ´etaient en seconde, quelle est la proportion d’´el`eves ayant choisi d’aller en STI2D ?

2) Evolutions ´

Exercice4 Le prix d’un produit a augment´e de 20 %. Il valait initialement 40=C. Quel est le montant de l’augmentation et son nouveau prix ?

Par combien le prix initial a-t’il ´et´e multipli´e ?

Exercice5 Le nombre d’adh´erents d’une association ´etait de 250 en 2008. Il a baiss´e de 6% en 2009.

Combien d’adh´erents y’a-t’il en 2009 ?

Par combien le nombre initial d’adh´erents a-t-il ´et´e mutlipli´e ?

Propri´et´es • Augmenter une quantit´e de t% revient `a multiplier celle-ci par 1 +t%.

• Diminuer une quantit´e de t% revient `a multiplier celle-ci par 1−t%.

D´efinition Dans ce qui pr´ec`ede, le pourcentage t est un pourcentage, ou taux, d’´evolution (d’aug- mentation ou de diminution).

Le nombre c= 1 +t ou c= 1−t s’appelle le coefficient multiplicateur.

vi

×c vf

Exercice 6

1. La valeur d’une quantit´e a ´et´e multipli´ee par 1,6. Indiquer le taux d’´evolution correspondant.

2. La valeur d’une quantit´e a ´et´e multipli´ee par 0,3. Indiquer le taux d’´evolution correspondant.

Exercice 7

1. Quel est le coefficient multiplicateur correspondant `a une augmentation de 25% ? `a une diminu- tion de 12% ?

2. Une ´etude `a montr´e que le coˆut des vacances a, en moyenne, doubl´e depuis les dix derni`eres ann´ees. Quel est le taux d’´evolution correspondant ?

3. Dans une ville, les loyers ont ´et´e multipli´es par environ 3 en 40 ans. Quel est le pourcentage d’augmentation correspondant ?

4. Durant des soldes, le prix d’un article est divis´e par 2. Quel est le pourcentaage de la r´edution qui lui a ´et´e appliqu´e ?

5. A la suite d’une surproduction, le prix de vente d’un l´egume a ´et´e divis´e par 3. Calculer le taux de diminution du prix du l´egume.

Exercice 8 Un magasin annonce des soldes de −15% sur tous ses articles.

1. Calculer le prix sold´e d’un article qui valait 132=C. 2. Calculer le prix initial d’un article sold´e 35,70=C.

Exercice 9 Un journal mensuel publie l’´etat de ses comptes pour l’ann´ee 2018. On peut notamment lire :”nombre d’abonn´es : 151 000, ce qui constitue une baisse de 3% par rapport `a 2017.”

Calculer le nombre d’abonn´es que ce journal avait en 2017.

Exercice 10 Le prix d’un produit a ´et´e augment´e de 12%, puis le mois suivant de 15%. Son prix initial ´etait de 34=C.

D´eteminer le prix final de cet article, le coefficient multiplicateur global ainsi que le pourcentage de l’augmentation globale.

D´efinition La variation absolue d’une quantit´e ´evoluant de la valeur initiale vi `a la valeur finale vf

est la diff´erence vf −vi.

La variation relative, ou taux d’´evolution, est t= vf −vi

vi

= Variation absolue vi

.

Exemple 1 :

• La variation absolue de vi = 12 `a vf = 18 estvf −vi = 18−12 = 6.

La variation relative, ou taux d’´evolution, ou pourcentage d’´evokution, est vf −vi

vi

= 18−12

12 =

6

12 = 0,5 = 50%.

• La variation absolue de vi = 212 `a vf = 218 est vf −vi = 6. C’est la mˆeme que pr´ec´edemment.

Par contre, le taux d’´evolution, est cette fois vf −vi

vi

= 218−212

212 ≃0,03 = 3%.

La variation est relativement bien moindre ! Exemple 2 :

• La variation relative de vi = 2,5 `a vf = 10 estvf −vi = 7,5.

Le taux d’´evolution, ou variation relative, est vf −vi

vi

= 10−2,5

2,5 = 3 = 300%.

• La variation absolue de vi = 10 `avf = 2,5 est vf −vi =−7,5.

Le taux d’´evolution, ou variation relative, est vf −vi

vi

= 2,5−10

10 =−0,75 = −75%.

Il s’agit donc d’une diminution de 75%. On note aussi ainsi au passage que le contraire d’une ´evolution de 300% est une diminution de 75%.

Exemple 3 : Soit f(x) = 2x² + 1.

La variation absolue de f entre x= 1 et x= 3 est f(3)−f(1) = 19−3 = 16. La variation relative, ou taux de variation, est f(3)−f(1)

3−1 = 16 2 = 8.

Exercice 11 Le montant de la redevance de l’audiovisuel ´etait de 114,49=C en 2001 et de 116,50=C en 2004. Calculer la variation absolue et le taux d’´evolution de cette taxe entre 2001 et 2004.

Exercice 12 Dans une cit´e universitaire, le montant du loyer mensuel pour une chambre est pass´e de 120=C l’an dernier `a 125=C cette ann´ee. Calculer la variation absolue et la variation relative du montant de ce loyer.

Exercice 13 Un th´eˆatre a programm´e 260 repr´esentations pour l’ann´ee en cours contre 240 l’ann´ee pass´ee. Calculer la variation absolue et le taux d’´evolution du nombre de repr´esentations.

Exercice 14 Au si`ecle dernier, la population de la Terre est pass´ee, en 80 ans, de 2 milliards `a 6 milliards d’individus. Calculer la variation absolue et le pourcentage d’augmentation du nombre de terriens sur ces 80 ans.

3) Evolutions successives ´

Propri´et´e Lors de plusieurs ´evolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs.

On consid`ere des valeurs successives v1,v2,v3, . . .et on d´esigne par t1 le taux d’´evolution dev1 `a v2, ett2 le taux d’´evolution de v2 `av3, . . . On d´esigne enfin par T le taux d’´evolution global.

v¹

×(1 +t1) v²

×(1 +t2) v³

×(1 +t3) v⁴

. . .

. . .

×(1 +T)

Exemple : Un article, initialement `a 123=C, augmente successivement de 12% puis de 17%.

Quel est son prix final ? Quel est le pourcentage d’´evolution global ?

v1

×(1 +t1) v2

×(1 +t2) v3

×(1 +T)

On multiplie les coefficients multiplicateurs : c= (1 + 12%)(1 + 17%) = 1,3104 et donc, le prix final est 123×1,3104≃161,18.

Le pourcentage d’´evolution global est donc T tel que 1 +T = 1,3104 ⇐⇒ T = 0,3104 = 31,04%

Exercice 15 Une quantit´e subit les ´evolutions successives :

— augmentation de 15%,

— augmentation de 12%,

— diminution de 8%,

— augmentation 9%,

— diminution de 5%

D´etailler les coefficients multiplicateurs successifs, le coefficient multiplicateur global, et enfin le taux d’´evolution global.

Exercice 16 Un article, initialement `a 27=C, est augment´e de 5%, puis de 10%.

Calculer le coefficient multiplicateur global et le taux d’´evolution global, puis le prix final de l’article.

Exercice 17 Lors d’une journ´ee, le cours d’une action a augment´e de 10%, puis baiss´e de 9,5%.

Calculer le coefficient multiplicateur global et le taux d’´evolution global, puis le cours final de l’action.

Exercice 18 Le prix d’un produit d’usage courant a baiss´e ces 4 derniers mois de 4%, puis de 5%, puis de 3%, et enfin de 7%. Calculer le taux d’´evolution global du prix de ce produit.

Exercice 19 Un article coˆute 100=C. Son prix d’un article augmente chaque ann´ee de 1,2%. Quel est son prix au bout de 10 ans ?

Exercice 20 Une cloison d’un certain mat´eriau absorde 20% de l’intensit´e sonore. Un son de 120 dB la traverse. Quelle est l’intensit´e du son r´esultant ?

Quelle est l’intensit´e du son r´esultant, apr`es avoir travers´e 6 cloisons successives ?

Exercice 21 Un PDG annonce qu’il va augmenter les salaires de 15% sur 3 ans. La premi`ere ann´ee, il augmente les salaires de 5%, puis, la deuxi`eme ann´ee, il les augmente de 6%. Quelle augmentation doit-il appliquer la troisi`eme ann´ee ?

Exercice22 Un commer¸cant augmente ces prix deux mois avant les soldes de 20%, puis les augmente encore un mois avant les soldes de 15%.

a) Quel est le prix final d’un article initialement `a 123=C? b) Calculer le pourcentage d’´evolution global.

c) Combien devrait-il exactement solder ces articles pour que leur prix reviennent `a leur valeur intiale, deux avant les soldes ?

4) Indice simple en base 100

Pour voir, ou montrer, rapidement comment ´evolue une quantit´e, on peut d´esigner une valeur de r´ef´erence, `a laquelle on attribue la valeur ”100”, et calculer les valeurs correspondantes des autres quantit´es par proportionnalit´e.

Exercice 23 Le tableau suivant donne l’´evolution du nombre d’habitants dans une commune.

Compl´eter ce tableau.

Ann´ee 2000 2005 2010 2015 2020

Habitants 36 047 34 245 35 180 39 884 42 651 Indice 100

Propri´et´e Pour vi et vf deux valeurs, on d´efinit l’indice I de la valeur de vf avec l’indice de v1 en base 100 par

vi vf

100 I vi×I = 100×vf ⇐⇒ I = 100×vf

vi

Exercice24 Le nombre mensuel de visiteurs sur un site ´etait de 25 600 le premier mois de lancement du site, puis de 44 732 le mois suivant. Ce nombre a enfin ´et´e multipli´e par 3 au bout de 6 mois.

Calculer l’indice du nombre de visiteurs, base 100 pour le premier mois, au deuxi`eme mois, puis au bout de 6 mois.

L’indice et le taux d’´evolution sont de plus facilement reli´es : si c est le coefficient multiplicateur, vf =c×vi ou encore c= vf

vi

, alors I = 100×c.

On a ainsi, c= 1 +t = I

100, ou encore Propri´et´e t= I

100 −1 = I−100 100 .

Exercice25 Le tableau suivant donne les indices des chiffres d’affaires annuels d’une entreprise, base

100 pour la premi`ere ann´ee. Ann´ee 1 2 3 4 5

Indice CA 100 112,5 118,2 105,3 124

1. Donner le taux d’´evolution du chiffre d’affaires entre l’ann´ee 1 et l’ann´ee 2, puis entre l’ann´ee 1 et l’ann´ee 3,. . .

2. Entre l’ann´ee 1 et l’ann´ee 6, le taux d’augmentation du chiffre d’affaires est de 28%. Donner l’indice correspondant, base 100 pour l’ann´ee 1.

Exercice 26 La subvention municipale accord´ee `a une association ´etait de 10 000=Cen 2010. Chaque ann´ee, la municipalit´e revoie le montant de ses subventions, et a appliqu´e les taux d’´evolution d’une ann´ee sur l’autre :

Ann´ee 2011 2012 2013 2014 2015 Taux d’´evolution 17% 15% 10% 8% 5%

1. Calculer, pour chaque ann´ee, le montant de la subvention accord´ee.

2. Le pr´esident de l’asssociation se plaint d’une diminution continuelle des subventions. Quelle erreur fait-il ?

3. Calculer les indices correspondants pour chaque ann´ee, base 100 en 2010.

4. Calculer le taux global d’´evolution entre 2010 et 2015.

II Tableau crois´ e et fr´ equences/probabilit´ es conditionnelles

Exercice 27 Dans un magasin de cycles, 55% des ventes sont des VTT, 30% sont des VTC, et les v´elos de course sont tous les autres v´elos vendus.

On a constat´e de plus que pour 60% des VTT, 35% des VTC et 80% des v´elos de course, l’achat est fait par un homme.

On se pose la question : ”quelle proportion des v´elos vendus est achet´ee par des hommes ?”.

1. Supposons que 100 v´elos aient ainsi ´et´e vendus.

a) Repr´esenter la situation `a l’aide d’un tableau.

b) Calculer les nombres de VTT, VTC et v´elos de course achet´es par des hommes.

c) R´epondre alors `a la question principale.

2. On d´esigne un v´elo au hasard et on note les ´ev´enements :H : ”le v´elo est achet´e par un homme”

et T : ”le v´elo est un VTT”.

a) Donner les probabilit´es P(T) et P(H).

b) Un homme entre dans le magasin. Calculer alors, en sachant ceci,P(T).

Exercice28 Le personnel du secteur de production d’une entreprise est compos´e de trois cat´egories : les ing´enieurs (8% du personnel), les op´erateurs de production (82% du personnel) et les agents de maintenance.

Les femmes repr´esentent 50% des ing´enieurs, 6% des op´erateurs de production, et 25% des agents de maintenance.

1. Calculer la proportion de femmes ing´enieurs parmi le personnel.

2. Calculer la proportion d’hommes op´erateurs de production parmi le personnel.

3. On interroge une personne du personnel au hasard. Quelle est la probabilit´e que ce soit une femme ?

Exercice 29 Une ´etude dans une grande ville a donn´e les r´esultats suivants : 73 % des personnes ont un velo, 19 % ont des rollers et 17 % poss`edent les deux.

On noteR l’´ev´enement : ”la personne a des rollers” et V :”la personne a un v´elo”.

1. On consid`ere dans un premier temps que la population de cette ville est compos´ee de 100 000 personnes. Compl´eter le tableau :

V V Total

R R

Total 100 000

Reprendre le mˆeme tableau avec uniquement des pourcentages (”Total : 100%”).

2. On d´esigne une personne au hasard dans l’annuaire de la ville.

a) D´eterminer la probabilites que cette personne ait soit un velo soit des rollers.

b) D´eterminer la probabilit´e que cette personne n’ait ni velo ni roller ?

c) Quelle est la probalit´e que cette personne ait des rollers mais pas de velo ?

d) La personne contact´ee affirme tout de suite poss´eder un v´elo. Quelle est la probabilit´e qu’elle

3. Je travaille dans un magasin de cycle. Un potentiel client entre dans mon magasin en rollers.

Quelle est la probabilit´e qu’il ait d´ej`a un v´elo ?

D´efinition / propri´et´e. La probabilit´e conditionnelle de l’´ev´enement B sachant A, not´ee PA(B), est le nombre

PA(B) = P(A∩B) P(A)

On exprime alors, de mani`ere ´equivalente,la propri´et´e de l’intersection : P (A∩B) =P(A)×PA(B)

Exercice 30 Parmi la client`ele d’un fournisseur de t´el´evision par satellite, une enquˆete montre que 75% des abonn´es ont souscrit `a l’option ”Sport Live”, 50% des abonn´es ont souscrit `a l’option ”Cin´ema - S´eries” et 30% des abonn´es ont souscrit aux deux options.

On note les ´ev´enements S : ”l’abonn´e a souscrit `a l’option Sport Live” et C : ”l’abonn´e a souscrit `a l’option Cin´ema - S´eries”.

1. Donner les valeurs de P(S), P(C) et P(S∩C) 2. Compl´eter le tableau de probabilit´es :

C C Total

S S

Total 100%

3. Calculer PC(S).

4. D´eterminer la probabilit´e qu’un abonn´e ait choisi l’option ”Cinema - S´eries” sachant qu’il a souscrit `a l’option ”Sport Live”.

Exercice31 Dans un magasin, on a relev´e que 15% des clients effectuent leurs achats avec une carte de fid´elit´e ; parmi eux, 80% r´ealisent toujours des achats d’un montant sup´erieur `a 50 euros.

On consid`ere un client au hasard dans la base de donn´ee des clients.

On noteF l’´ev´enement ”le client effectue ses achats avec une carte de fid´elit´e etS : ”le client r´ealise des achats d’un montant sup´erieur `a 50 euros”.

1. Donner P(F) et PF(S).

2. Calculer P(F ∩S) et traduire le r´esultat par une phrase.

Exercice32 Le tableau suivant donne des informations sur les comportements d’achat en ligne dans une population de 90 personnes.

Ach`ete parfois

en ligne N’ach`ete

jamais Total

Moins de 50 ans 45 9 54

plus de 50 ans 12 24 36

Total 57 33 90

On interroge une de ces personnes au hasard.

On noteraM :”la personne a moins de 50 ans” et A :”la personne ach`ete parfois en ligne.

1. Quelle est la probabilit´e que cette personne ait moins de 50 ans ?

2. Quelle est la probabilit´e que cette personne ait moins de 50 ans et ach`ete parfois en ligne ? 3. Sachant que la personne interrog´ee a moins de 50 ans, quelle est la probabilit´e qu’elle ach`ete

parfois en ligne ?

4. Sachant que la personne interrog´ee ach`ete parfois en ligne, quelle est la probabilit´e qu’elle ait moins de 50 ans ?