Cours de mathématiques
Chapitre 4
Courbes paramétrées
Le chinois paramétré :
x(t) = sin(2t)−6 sin(5t) y(t) = cos5(4t)−1,1 cos(t)
Extrait du blog de Guy Marion. Merci à lui pour toutes ces infos.
http: // abcmathsblog. blogspot. com/
Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2014–2015
1. Position du problème
1.1. Point de vue analytique
Une parabole d’axe de symétrie l’axe des ordonnées ou une hyperbole centrée à l’origine sont les représentations graphiques de fonctions d’une variable réelle à valeurs dans R.
Précisément, ce sont, dans le plan muni d’un repère, les ensembles de points de coordon- nées (x;x2) et (x;x1). Dans les deux cas, l’ordonnée d’un point de la courbe dépend de son abscisse. Une conséquence directe est qu’à une abscisse donnée correspond au maximum un seul point de la courbe.
Le notion de représentation graphique de fonction d’une variable réelle à valeurs dans R ne suffit donc pas pour modéliser toutes les courbes que l’on peut tracer dans un plan muni d’un repère. Par exemple, un cercle n’est la représentation graphique d’aucune fonction d’une variable réelle à valeurs dans R.
Considérons par exemple un cercle C de rayon 2 et de centre l’origine du repère. Son équation est
x2+y2 = 4, ce qui donne y = √
4−x2 ou bien y = −√
4−x2. Le cercle C est donc la réunion des représentations graphiques de ces deux fonctions.
Il existe une autre façon de modéliser ce cercle. Soit I l’intersection de C avec l’axe des abscisses, et M un point quelconque du cercle. Notons t la mesure en radians de l’angle (−OI;−−→ −OM−−−−−−→).
O ~ı
~
bM
b I
2 cost 2 sint
t
On constate alors que −OM−−−−−−→ = 2 cost~ı+ 2 sint~. Autrement dit, les coordonnées du point
M sont (
x(t) = 2 cost y(t) = 2 sint
Les deux coordonnées dépendant d’un paramètre t, ce système est appelé représentation paramétrique deC.
1.2. Point de vue cinématique
Premier cas : Un point M se déplace sur un axe.
M(t) x(t) 0
La variable t représente le temps.
qui à un nombre réel (le temps) associe un nombre réel (l’abscisse de M).
Deuxième cas : M est un point du plan.
1 2 3
−1 1 2 3 4 5
−1
b
M(t)
La position de M est fixée par deux fonctions de t : x(t) et y(t).
On note M(t) pour le point de coordonnées M(x(t);y(t)). On a une fonction de R dans R2 qui à t fait correspondre deux nombres réels.
1.3. Définition
Définition 1 : Fonction d’une variable réelle à valeur dansR2. Soit f et g deux fonctions deR dans R.
On définit une nouvelle fonctionF, qui a tout nombre réelt associe le couple de nombre réels (f(t);g(t)).
Cette fonction est dite d’une variable réel le et à valeurs dans R2.
F : I ⊂R 7→ R2
t 7→ (f(t);g(t))
A cette fonction, on associe l’ensemble des points M(t) de coordonnées (f(t);g(t)) ap- pellé courbe paramétrée (C).
t est le paramètre.
les relations x =f(t) et y =g(t) constituent ce que l’on appelle une représentation paramétrique de (C).
Exemple : On considère la courbe définie paramétriquement, pour t ∈[0; 3] par
( x(t) = 4−t2 y(t) = t
On peut calculer et placer les points M(0), M(1), M(2), M(3), ... On obtient le tracé suivant lorsque l’on relie les points :
1 2 3
−1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
b
M(0)
b
M(1)
b
M(2)
b
M(3)
2. Etude d’une courbe paramétrée
2.1. Dérivation
Théorème 1 : Dérivation
Soit F une fonction d’une variable réelle à valeur dans R2. F : I ⊂R 7→ R2
t 7→ (x(t);y(t))
La fonction F est dérivable au point t0 si et seulement si les fonctions x et y sont dérivable en t0.
Si F est dérivable en tout point de I, alors la fonction dérivée de F est la fonction définie sur I par
F′(t) = (x′(t);y′(t)).
• Si F′(t0) = (x′(t0);y′(t0))6= (0; 0), le point M(t0) est ditordinaire. Le vecteur (x′(t0), g′t(0))est unvecteur directeuret le coefficient directeur de la tangente à C en M(t0) vaut x′(t0)
y′(t0).
• Si x′(t0) = 0 et y′(t0)6= 0, la tangente est verticale (parallèle à (Oy)).
• Si x′(t0)6= 0 et y′(t0) = 0, la tangente est horizontale (parallèle à (Ox)).
• Si F′(t0) = (x′(t0);y′(t0)) = (0; 0), le point M(t0) est dit singulier.
Exemple : On considère la courbe définie paramétriquement pour t∈[0; 1] par : F :t7→
( x(t) =−6t3+ 6t2 y(t) =−6t2+ 6t Calcul des dérivées de x(t) et y(t) :
F′ :t 7→
( x′(t) =−18t2+ 12t= 6t(−3t+ 2) y′(t) =−12t+ 6 = 6(−2t+ 1) Tableau des variations conjointes de xet y :
t x′(t)
x(t)
y(t) y′(t)
0 12
2
3 1
0 + 32 + 0 − −6
00
8 9 8 9
00
1 2
3 4
00
3 2 3 2
00
2 3
4 3
6 + 0 − −2 − −6
Pour t = 1
2, on a une tangente horizontale car y′(1
2) = 0. C’est au point de coordonnées (3
4;3 2).
Pour t = 0 et t = 2
3, on a une tangente verticale car x′(0) =x′(2
3) = 0. C’est aux points de coordonnées (0; 0) et (8
9;4 3).
Le point O(0,0) est un point double car obtenu pour t = 0 et t = 1. (−6;−6) est un vecteur directeur de l’autre tangente en (0; 0).
1
Une équation de la tangente en t= 1 est de la formey=ax+b.a= y′(1) x′(1) = −6
−6 = 1. Le pointM(1) a pour coordonnée (0; 0) est sur cette tangente doncb=y−ax = 0−1×0 = 0.
L’équation de la tangente en t= 1 est y=x.
2.2. Les limites
On étudiera les limites aux bornes ouvertes du domaine d’étude. Les branches infinies se déterminent comme pour les courbes classiques, sauf qu’on calcule les limites de x et de y par rapport à t.
2.3. Compléments
Théorème 2 : Longueurs d’une courbe paramétrique
La longueur d’une courbe pour t∈[a, b] est donnée par : l =
Z b
a
q
x′(t)2 +y′(t)2dt
Théorème 3 : aires d’une courbe paramétrique
Si A etB sont les points correspondant à t=a ett =b, l’aire comprise entre la courbe et les segments [OA] et [OB] (dans le sens de [OA] vers [OB]) est donnée par :
S = 1 2
Z b
a
x(t) x′(t)
y(t) y′(t) dt= 1 2
Z b
a |x(t)y′(t)−y(t)x′(t)| dt
1 Position du problème . . . 2
1.1 Point de vue analytique . . . 2
1.2 Point de vue cinématique. . . 2
1.3 Définition . . . 3
2 Etude d’une courbe paramétrée . . . 4
2.1 Dérivation . . . 4
2.2 Les limites . . . 5
2.3 Compléments . . . 5
