DS n ◦ 2 sujet normal
Mercredi 3 octobre 2018 (durée 4 heures)
Les calculatrices sont interdites.
Questions de cours
SoitEunK−espace vectoriel etf ∈ L(E).
1. Énoncer avec soin le théorème de Cayley-Hamilton pour un endomorphisme.
2. Quel est le lien entre les racines d'un polynôme annulateur def et le spectre de f? Le démontrer.
3. SoitP∈K[X]etf ∈ L(E). Démontrer vectoriellement que Ker(P(f))est stable par f. 4. SoitA∈ M3(K)tqχA= (X2+ 1)(X+ 5).
Aest-elle diagonalisable sur R? est-elle trigonalisable surR? Aest-elle diagonalisable sur C? est-elle trigonalisable surC?
Exercice
SoitA=
−2 5 20 0
0 −5 −12 0
0 1 2 0
0 −9 −27 −1
. 1. La matriceAest-elle diagonalisable ? 2. Montrer que la matriceA est inversible.
3. Donner le polynôme minimal deA. 4. ExprimerA−1en fonction deAetI.
Problème : ENDOMORPHISMES NILPOTENTS
SoitE un espace vectoriel surC de dimension n>2. Étant donnés deux endomorphismes uet v de E, on pose [u, v] =u◦v−v◦u. A tout endomorphismef deE, on associe l'applicationθf dénie surL(E)par
∀g∈ L(E), θf(g) = [f, g]. Préliminaire
Montrer queθf ∈ L(L(E))).
Partie A
Soituun endomorphisme nilpotent non nul etpson indice de nilpotence.
1. Donner un polynôme annulateur deuet son polynôme minimal.
uest-il diagonalisable (à justier) ?
2. Justier l'existence d'un vecteurxdeEtel queup−1(x)6= 0. Montrer alors que la famille(uk(x))06k6p−1est libre.
Partie B
On suppose dans cette partie quen= 3et que uest un endomorphisme nilpotent d'indice de nilpotence égal à 2.
1. Montrer que dimkeru= 2.
2. (a) Montrer qu'il existee3∈E tel que u(e3)est une base deIm(u).
(b) Notonse2 =u(e3). Justier l'existence d'un vecteur e1 tel que (e1, e2, e3)est une base deE dans laquelle la matrice deuest égale à
0 0 0 0 0 1 0 0 0
. On noteraB0 cette base.
3. SoitW1={w∈ L(E) [u, w] =u}. Déterminer la forme des matrices dans la baseB0 des élémentswdeW1..
1
4. Montrer qu'il existe des éléments deW1non diagonalisables.
Partie C
Soitα∈C∗ et(u0, v0)un couple d'endomorphismes deE vériant la condition[u0, v0] =αu0. 1. Etablir la formule∀(f, g, h)∈(L(E))3, [f◦g, h] =f◦[g, h] + [f, h]◦g.
2. Conjecturer, puis prouver, l'expression de[uk0, v0]en fonction deu0, dek et deα, pourk∈N.
Interpréter lorsqueuk0 6= 0ce résultat en terme d'élément propre de l'endomorphismeθv0
3. Montrer queu0 est un endomorphisme nilpotent.
Partie D
Soituun endomorphisme nilpotent deE d'indice de nilpotence égal àn, oùnest la dimension deE. Soitα∈C∗. 1. Montrer qu'il existe un vecteur a de E tel que la famille (uk(a))06k6n−1 est une base de E. On note B cette
base.
2. Préciser la matriceN deudansB et calculerNr, pourr∈N.
3. SoitWα={w∈ L(E), [u, w] =αu}. (a) Prouver quew∈Wαsi et seulement si
∃(λ0, λ1, ..., λn−1), ∀k∈[[0, n−1]], w(uk(a)) = (λ0−αk)uk(a) +
k+n−1
X
i=k+1
λi−kui(a). (b) Donner alors la matrice dansBdes élémentswdeWα.
(c) Montrer que tous les éléments deWαsont diagonalisables.
4. Soitwun élément xé deWα.
Montrer que l'ensembleVα ={v ∈ L(E), [v, w] = αv} est un sous-espace vectoriel de L(E) dont on donnera la dimension (on cherchera la matrice d'un élément v de Vα dans une base dans laquelle la matrice de w est diagonale).
Partie E
On revient au cas général où dimE=n. Soituun endomorphisme nilpotent non nul deE, d'indice de nilpotence égal à p, avecp>2.
1. Montrer que si∀x∈E, (x, u(x))est liée, alorsuest une homothétie vectorielle (on vous demande une démons- tration, pas une référence à un exercice déjà rencontré).
2. Prouver qu'il existe un vecteurx0deE tel que la famille(x0, u(x0))est libre.
3. Montrer queθu6= 0. 4. Etablir la formule
∀k∈N∗, (θu)k(f) =
k
X
j=0
(−1)j k
j
uk−j◦f ◦uj. En déduire queθu est nilpotent.
5. Etant donnég∈ L(E), endomorphisme de rangr, construiref ∈ L(E)tel queg◦f◦g=g(on pourra considérer deux basesB1 etB2 telles que mat
(B1,B2)
g est la matrice par blocs Ir O O O
).
En déduire queup−1∈Im(θ2p−2u ).
6. Et donner enn l'indice de nilpotence deθu.
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