ECO1 LMA Mathématiques Le 22 février 2021
Devoir surveillé n
o3
La calculatrice est interdite. Durée : 4h
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1
1. Déterminer l’ensembleD des réels tels queex−e−x>0.
On définit la fonctionf par :∀x∈D, f(x) = ln (ex−e−x).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,~ı, ~).
2. (a) Étudier les variations de f et donner les limites def aux bornes deD.
(b) En déduire l’existence d’un unique réelαvérifiantf(α) = 0, puis donner la valeur exacte deα.
(c) Montrer que le coefficient directeur de la tangente (T√ ) à la courbe (C) au point d’abscisse αvaut 5.
3. (a) Calculer lim
x→+∞(f(x)−x).
(b) En déduire l’équation de l’asymptote (∆) à la courbe (C) au voisinage de +∞. (c) Donner la position relative de (∆) et (C).
4. Écrire un programme en scilab qui affiche la courbe (C) sur l’intervalle [1 ; 9].
Exercice 2
1. Etude de l’équation xN+xN−1+· · ·+x2+x−a=0
On note fN la fonction polynôme définie parfN(x) =xN +xN−1+· · ·+x2+x−a.
(a) Montrer que l’équation fN(x) = 0 possède une racine strictement positive xN et une seule, puis montrer que celle-ci appartient à ]0,1[ lorsqueN > a
(b) Montrer la relation (∗) : (x−1)fN(x) =xN+1−(a+ 1)x+a 2. Racine positive de l’équation xN+xN−1+· · ·+x2+x−a=0
(a) Montrer quefN+1(xN)> fN(xN) et en déduire que la suite (xN) est strictement décroissante.
En déduire que la suite (xN) converge vers un nombrex∗ appartenant à [0,1[
(b) Montrer que 0< xN ≤xA , puis que 0<(xN)N ≤(xA)N lorsqueN ≥A oùAest un entier naturel non nul.
En choisissantA≥a,en déduire la limite de la suite xNNlorsqueN tend vers +∞,puis, à l’aide de la relation (∗) , exprimer la limite x∗ en fonction dea.
On convient alors de poserxN = a
a+ 1(1 +εN),etεN tend vers 0 lorsqueN tend vers +∞ (c) Etablir à l’aide de la relation (∗) l’égalité suivante :
(N+ 1)εN
ln
a a+ 1
+ ln (1 +εN)
=εNln (εN) +εNln (a)
En déduire les limites de (N+ 1)εN et de (1 +εN)N+1 lorsqueN tend vers +∞,puis déterminer, à l’aide de la relation (∗) que lim
N→+∞a a+ 1
a
N+1
εN = 1
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Exercice 3
Partie 1 : étude de deux fonctions très voisines
On considère les fonctionsf etg définies surR∗ parf(x) = e−1/x2 etg(x) =f(x)−x.
On admet quef et gsont dérivables sur leur ensemble de définition.
1. Justifier quef est paire.
On étudiera donc cette fonction surR∗+
2. Pourx∈R∗, et calculerf′(x) pour x∈R∗ et justifier quef′′(x) est du signe de−6x2+ 4.
3. Calculer lim
n→+∞e−1/n2.
On admettra que ce résultat est égal à la limite de f en+∞. 4. Dresser le tableau de variation def surR∗+.
5. Calculerg′′(x) en fonction de f′′(x) et en déduire les variations puis le signe deg′(x) sur ]0; 1].
6. Montrer alors queg(x)60 sur ]0,1].
On admettra que f′q
2 3
≃0,82 Partie 2 : étude d’une suite
Soitula suite définie par :u0= 3 et∀n∈N, un+1=f(un).
On admettra que la suite est bien définie.
1. Montrer que∀n∈N∗, un∈]0,1[.
2. Montrer par récurrence que la suite uest décroissante.
3. Montrer en calculantun+1−unet utilisant le dernier résultat de la partie 1 que la suiteuest décroissante (c’est une autre méthode par rapport à la question précédente)
Partie 3 : une expression de la dérivéen-ième de f (*) On définit pour tout entier naturelnnon nul, le polynômePn,par : P1(X) = 2 et∀n∈NetPn+1(X) =X3Pn′(X) + 2−3nX2
Pn(X).(*)
1. Calculer P2(X) à l’aide de la relation (*)et vérifier que ∀x ∈ R∗, f′(x) = P1(x)
x3 f(x) et f′′(x) = P2(x)
x6 f(x)
2. Conjecturer une expression pourf′′′(x)
3. Montrer par récurrence que pour tout n∈N∗, on a :∀x∈R∗f(n)(x) = Pn(x) x3n f(x).
4. Montrer que : ∀n∈N∗, Pn(0) = 2n
Exercice 4
On effectue une suite de lancers d’une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indé- pendants et qu’à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilitép(0< p <1) et face avec la probabilité q= 1−p.
On s’intéresse dans cet exercice à l’apparition de deux piles consécutifs.
Pour tout entier naturel n non nul, on note An l’événement : « deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéronetn+ 1 ».
On définit alors la suite (an)n∈Ndes probabilités des événementsAn par :
⋆ Pour tout entier naturel nnon nul :an=p(An)
⋆ avec la convention a0= 0
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1 Encadrement des racines de l’équation caractéristique.
On considère la fonction polynomialef de la variable réellexdéfinie par : f(x) =x2−q x−p q
1. Montrer que l’équation f(x) = 0 possède deux racines réelles distinctes r1 et r2 (r1 < r2). Exprimer r1+r2, r1r2 en fonction depetq.
2. Calculerf(1), f(−1), f(0).
3. En déduire l’encadrement suivant :
|r1|<|r2|<1
2 Equivalent de a
nquand n tend vers l’infini.
1. Déterminera1,a2et a3 en fonction depet q.
2. En remarquant que l’événementAn+2est réalisé si et seulement si :
⋆ on a obtenu pile au premier tirage, face au deuxième tirage, et à partir de ce moment,An est réalisé ou
⋆ on a obtenu face au premier tirage, et à partir de ce moment,An+1 est réalisé.
montrer que l’on a, pour tout entier natureln,
an+2−q an+1−p q an= 0
3. Ecrire un programme, en Scilab, permettant de calculeran, l’entiern, les réels pet q étant donnés par l’utilisateur.
4. Montrer que pour tout entier, natureln,
an= p2 r2−r1
[rn2 −rn1] 5. Déterminer une suite géométrique (bn) telle que lim
n→+∞
an
bn
= 1 (on dit que les suites (an) et (bn) sont équivalentes).
3 Expression de a
nen fonction de n par une méthode matricielle.
On définit les matricesAet P par : A=
r1+r2 −r1r2
1 0
, P =
r1 r2
1 1
ainsi que les matrices unicolonnesXn par :
Pour tout entier natureln: Xn=
an+1
an
1. Vérifier que pour tout entier natureln:
Xn+1=A Xn
2. Montrer que les matrices A−r1I et A−r2I ne sont pas inversibles. (I désigne la matrice carrée unité d’ordre 2).
3. Montrer queP est inversible et déterminerP−1.
4. Calculer la matriceD =P−1A P. (Les coefficients de la matriceD seront exprimés en fonction der2 et r1 seulement).
5. Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n: Xn =P DnP−1X0
6. Retrouver ainsi l’expression de an en fonction der2,r1,petn.
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