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Solution Exercicen 1Enoncé MONTPELLIER

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Academic year: 2022

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108 Olympiades académiques - 2005

MONTPELLIER

Exercice n

o

1 Enoncé

Les Nombres formidables

On considère l’ensemble des nombres entiers strictement positifs. On défi- nit l’opération collage de deux nombres entiersMetNparM∗N =M N. Ainsi 6∗4 = 64

35∗2 = 352 17∗35 = 1735.

Un entierN est formidable siN diviseM ∗N pour tout entierM. 2 est formidable !

3 est-il formidable ?

Combien y a-t-il de nombres formidables à un chiffre ? Combien y a-t-il de nombres formidables inférieurs à 2005 ?

Solution

2 est formidable puisque M ∗N se termine par 2 et est donc toujours divisible par 2.

3 ne l’est pas puisque 3 ne divise pas 13.

On remarque que 1, 2 et 5 sont formidables et que les autres ne le sont pas.

Pour les nombres à deux chiffres on peut écrireM ∗N = 100M+N. Pour que N divise 100M +N, il faut que N divise 100 (obtenu pour M = 1) cette condition est visiblement suffisante.

Pour les nombres à trois chiffres, il faut et il suffit queN divise 1000.

Pour les nombres à quatre chiffres il faut et il suffit queN divise 10000.

D’où la liste1,2,5,10,20,25,50,100,125,200,250,500,1000,1250,2000; 15 nombres formidables inférieurs à 2005.

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