G245 : La quatrième puissance
On considère une suite de 2011 nombres entiers positifs tels qu’aucun d’eux n’a un facteur premier supérieur à 28. Montrer que cette suite contient quatre termes dont le produit est une puissance quatrième d’un entier.
Il y a 9 nombres premiers inférieurs à 28 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). La
décomposition en facteurs premiers de chaque nombre de la suite ne comporte donc que ces 9 facteurs. Soit la propriété P d’un ensemble de nombres : aucun produit de quatre éléments distincts n’est une puissance quatrième.
Si les éléments de cet ensemble sont des puissances d’un seul facteur premier pk , on vérifie simplement que le nombre maximal d’éléments ayant la propriété P est six, les exposants correspondants, k1, k2, k3, k4, k5, k6 étant tels que
k1-1=k2-1=k3-1=k4=k5=k6 (mod 4), soit deux valeurs possibles, modulo 4, et trois éléments par valeur.
De même, pour les puissances de deux facteurs premiers, le nombre maximal est douze, soit 4 valeurs pour le couple d’exposants, modulo 4 - par exemple (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) - et trois éléments par valeur. Et ainsi de suite... Pour n facteurs premiers, le nombre maximum d’éléments ayant la propriété P est 3*2n ; soit 3*29 =1536 pour n=9, donc un ensemble de 2011 (>1536 ) éléments ne peut avoir la propriété P.
