BTS SIO Int´egration

BTS SIO

Int´egration

Lyc´ee Carcou¨et

4 avril 2021

Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I ; on appelle primitive def sur I toute fonctionF d´efinie et d´erivable sur I telle que :

F⁰(x) =f(x) pour toutx de I.

F f f’

d´erivation d´erivation

Trouver des primitives n’est pas souvent simple : `a l’examen elles sont donn´ees.

Exemples :

1 Une primitive def d´efinie parf(x) = 2x est F d´efinie par F(x) =x².

En effetF⁰(x) =f(x).

2 Une primitive def d´efinie parf(x) =x+ 5 est F d´efinie par F(x) = 1

2x²+ 5x.

Une autre est G d´efinie parG(x) = 1

2x²+ 5x+ 741.

3 Une primitive def d´efinie parf(x) =x⁴+ 7x³ est F d´efinie par F(x) = 1

5x⁵+7 4x⁴.

4 Une primitive def d´efinie parf(x) = 4e^4x est F d´efinie par F(x) =e^4x.

f est un fonction d´efinie sur un intervalle [a;b], (a<b) continue etpositive sur cet intervalle.Cf est sa courbe repr´esentative dans le rep`ere orthogonal du plan (O,I,J).

D est est la partie du plan d´elimit´ee parCf, l’axe des abscisses, les droites d’´equationsx=aet x=b :

L’int´egrale de f entre a et b est par d´efinition l’aire de D, mesur´ee en unit´es d’aires. On note :

Z b a

f(x)dx=A(D)

(u.a : unit´e d’aire)

Sif est une fonction continue sur un intervalleI, alors pour tous r´eelsa etb dansI, on a :

Z b a

f(t)dt =F(b)−F(a) o`u F est une primitive def sur I.

Exemple : l’aire sous la courbe de la fonction carr´e entre 0 et 2 est : Z b

a

x²dx =F(2)−F(0)

= 2³ 3 −0³

3

= 8 3

NB : pourf(x) =x², une primitive a pour expression F(x) = x³ 3 .

1

2 0 1

f(x) =x²

Valeur moyenne d’une fonction

f est une fonction continue sur un intervalle [a;b]. On appelle valeur moyenne def sur [a;b] le nombre :

1 b−a

Z b a

f(x)dx

Exemple 1 : la valeur moyenne sur [0 ;2] dex 7→f(x) =x est 1

2−0 Z 2

0

xdx = 1

2(F(2)−F(0)) = 1 2

2² 2 −0²

2

= 1

(F(x) = x² 2 )

1

2 O 1

f(x) =x

Exemple 2 : la valeur moyenne sur [0 ;2] dex 7→f(x) = 2x+ 1 est 1

2−0 Z 2

0

(2x+1)dx= 1

2(F(2)−F(0)) = 1

2 2²+ 2−(0²+ 0)

= 3 (F(x) =x²+x)

1

2 O 1

f(x) = 2x+ 1

Exemple 3 : la valeur moyenne sur [0 ;2] dex 7→f(x) =x² est 1

2−0 Z 2

0

x²dx = 1

2(F(2)−F(0)) = 1 2

2³ 3 −0³

3

= 4 3 (F(x) = x³

3 )

1

2 O 1

f(x) =x²

Interpr´etation graphique : l’aire d´elimit´ee par la courbe def, l’axe des abscisses, les droites d’´equation x=aet x=b est ´egale `a l’aire du rectangle de longueurb−aet de hauteur la valeur moyennev.

Calcul formel

Souvent, `a l’examen, d´eriv´ees, primitives ou la valeur d’une int´egrale sont donn´ees par un logiciel de calcul formel.

ligne 3 : Z 22

2

(−0,5x+ 2)e^−0,5x+3dx '0,00670925256 ligne 4 :

Z 5 3

(x−2)e^−0,5x+3dx '10,40292172 ligne 5 : lim

x→+∞(x−2)e^−0,5x+3= 0

Cette ann´ee-l`a , int´egrale voulait dire primitive...

c₁ et c₂ sont des constantes : leur d´eriv´ee vaut bien 0. Le logiciel donne toutes les primitives possibles.