Nom :
Groupe : TMATHS2
Devoir maison n°4 Droites et plans dans l'espace
à préparer pour le : 05 / 01 / 21
Correction du DM n°4
1. Andréa a cherché à résoudre le système :
2. Elle a obtenu comme solution :
Puisque le système initial a des solutions, les plans p et p ne peuvent pas être parallèles.
Autrement dit, p et p sont sécants Remarque :
Le 2nd système nous permet de déduire une représentation paramétrique de la droite ∆ d'intersection :
avec ∈ R
Enfin, p a pour vecteur normal et
p a pour vecteur normal .
. = = ≠
Donc et ne sont pas orthogonaux.
On en déduit que p et p ne sont pas perpendiculaires.
et sont normaux à p et p .
= = = et =
Ainsi, = .
Les vecteurs et sont colinéaires donc les plans p et p sont parallèles. Ces plans étant parallèles, ils ne peuvent pas être perpendiculaires.
½ 2x¡y+z¡6 = 0 x+ 3y¡10z+ 4 = 0
8<
:
x =z+ 2 y = 3z¡2 z =z
1 2
1 2
8<
:
x = 2 +t y = -2 + 3t z= t
t
1
2
~ n1
0
@2 -1
1 1 A
~n2
0
@ 1 3 -10
1 A
~n1 ~n2 2¡3¡10 -11 0
~n1 ~n2
1 2
~n1 ~n2 0 BB BB BB BB
@ 3 2 3 4 -9 4
1 CC CC CC CC A
0
@2 1 -3
1
A 1 2
3 2 £ 1
2 3 4
3 4 1 3
2 2 -9
4 -3
3 4
~n1 ~n2
~n2
3 4~n1
1 2
1. Le plan r est orthogonal à la droite (AC) donc est un vecteur normal à r.
r passe par V( ; ; ) donc r est l'ensemble des points M( ; ; ) tels que
. = 0 avec
On en déduit une équation cartésienne de r : = 0
= 0 =
2. r passe par O( ; ; ) et a pour vecteur normal qui est un vecteur directeur de la droite d, orthogonale à r.
M( ; ; ) ∈ r ⇔ . = .
On en déduit une équation cartésienne de r : = 0
=
est un vecteur normal au plan p et un vecteur directeur de la droite ∆, orthogonale à p.
De plus, ∆ passe par D( ; ; ). On en déduit une représentation paramétrique de ∆ :
avec ∈ R
a) est un vecteur normal au plan p et est un vecteur directeur de la droite ∆.
. = = ≠
et ne sont pas orthogonaux donc p et ∆ ne sont pas parallèles.
b) Même méthode avec et . . = donc p et ∆ sont parallèles.
a) est un vecteur normal au plan p et est un vecteur directeur de la droite d.
≠ donc et ne sont pas colinéaires.
On en déduit que p et d ne sont pas perpendiculaires.
b) Même méthode avec et .
Là encore, puisque et ne sont pas colinéaires, p et d ne sont pas perpendiculaires. En revanche, on pourrait montrer que et sont orthogonaux et que, par conséquent, p et d sont parallèles.
c) Même méthode avec et .
Là encore, puisque et ne sont pas colinéaires, p et (BC) ne sont pas perpendiculaires. En revanche, on pourrait montrer que et sont orthogonaux et que, par conséquent, p et (BC) sont parallèles.
0
@ 4 7 7
1
¡! A CA
0
x y z -1 4 -2
¡!CA ¡¡!VM ¡¡!VM 0
@x+ 1 y¡4 z+ 2
1 A
4(x+ 1) + 7(y¡4) + 7(z+ 2) 4x+ 4 + 7y¡28 + 7z+ 14 4x+ 7y+ 7z ¡10
0 0 0
~ u
0
@-3 -4 1
1 A
x y z ~u ¡¡!OM 0
0
-3(x¡0)¡4(y¡0) + 1(z¡0) -3x¡4y+z
~ n
0
@2 -6
3 1 A
-1 3 8 8<
:
x= -1 + 2t y= 3¡6t z= 8 + 3t
t
~n 0
@-1 2 -3
1
A ~u
0
@2 -1
3 1 A
~n ~u -2¡2¡9 -13 0
~n ~u
~n ~u 0
@ 8 -23
-2 1 A
0
@ 1 0 4
1 A
~n ~u 0
~n ~u
0
@ 2 1 1
1 A
0
@ 5 -1 -4
1 A
2 5
1
-1 ~n ~u
~n ~u 0
@ 2 -1
1 1 A
0
@ 2 5 1
1 A
~n 0
@ 1 0 1
1 A ¡!BC
0
@ 8 -4 -8
1 A
~n ~u
~n
~n ~u
~n ¡!BC
¡!BC
1. , et sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels et tels que :
= +
Autrement dit, si et seulement si le système suivant admet un couple ( ; ) unique de solutions réelles :
Inversement, , et forment une base de l'espace lorsqu'ils ne sont pas coplanaires, c'est-à-dire si et seulement s'il n'existe aucun couple ( ; ) solutions du système précédent.
2. On résout le système par combinaisons linéaires
⇔
Or ≠ donc le système n'a pas de solution.
On en déduit que les vecteurs , et forment bien une base de l'espace.
~
u ~v w~
a b
~
u a~v b w~ a b 8<
:
1 = 3a+ 1b -1 = -1a¡2b 4 = 2a+ 1b 0
@ 1 -1
4 1 A
0
@ 3 -1
2 1 A
0
@ 1 -2
1 1 A
a b
~u ~v w~
~
u ~v w~ 8<
:
1 = 3a+ 1b -1 = -1a¡2b 4 = 2a+ 1b
8<
:
3a+b= 1 a+ 2b= 1 2a+b= 4
L1
L2 L3
8<
:
3a+b= 1 3a+ 6b= 3
3a¡2a+b¡b= 1¡4 L1
L2 Ã3L2
L3 ÃL1¡L3
8<
:
3a+b= 1
3a¡3a+ 6b¡b= 3¡1 a= -3
L1
L2 ÃL2¡L1
L3
8<
:
b= 1¡3a 5b= 2 a= -3 8<
:
b= 1¡3£(-3) 5b= 2
a= -3 8>
<
>:
b= 1 + 9 = 10 b= 2
a= -35 10 2
5
