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Une fon ion nulle part continue mais satisfaisant la propriété
des valeurs intermédiaires
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La propriété des valeurs intermédiaires qui affirme pour une fonionf quel’image de tout in- tervalle parf eencore un intervalleesatisfaite par les fonions continues (théorème des valeurs intermédiaires) et par les fonion dérivées (théorème de Darboux). Notons que le théorème de Darboux contient celui des valeurs intermédiaires puisque toute fonion continue possède une primitive. Un théorème du à Baire montre qu’une fonion dérivée enécessairement continue sur une partie dense de son domaine de définition. Pour fournir un exemple de fonion satis- faisant la propriété des valeurs intermédiaires et qui ne soit pas une fonion dérivée, nous allons en choisir un dans lequel la fonion n’econtinue nulle part.
On considère le groupe quotientR/Qet{xρ}ρ∈Rune classe de représentants. Un théorème de théorie des ensembles assure que siAeinfini etBedénombrable alors]A×B=]A. PuisqueR etQ×R/Qsont naturellement équipotents, on en déduit que]R/Q=]Ret l’on peut donc choisir R=R. Par définition du groupe quotient, on a donc :
∀x∈R, ∃!ρ(x)∈R=R,∃!r(x)∈Q, x=xρ(x)+r(x) Ainsi, la formulef(x) =ρ(x) définit bien une fonion deRdans lui-même.
• Pour tout intervalleI non ponuel, on af(I) =R (et donc f satisfait la propriété des valeurs intermédiaires). En effet, pour toutρ ∈R l’ensemble xρ+Q e dense dansR(puisque c’e le translaté additif deQqui elui-même dense). Donc, il exier∈Qtel quexρ+r∈Iet l’on a alors f(xρ+r) =ρ.
•La fonionf n’econtinue nulle part. En effet, supposons quef soit continue en un pointt∈R. Toujours par densité de l’ensemblexρ+Qpour unρ∈Rdonné, on peut trouver une suite (rn)nde rationnels telle que limn(xρ+rn) =t. On a alorsf(t) = limnf(xρ+rn) = limnρ=ρet, en appliquant la même propriété à un autre réelρ0, on a alors l’égalitéρ=f(t) =ρ0, ce qui eabsurde.
