AP5: Limites de fonctions et théorèmes des valeurs intermédiaires

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AP5: Limites de fonctions et théorèmes des valeurs intermédiaires

Exercice 1: ?

Déterminer les limites suivantes : 1. lim

x→+∞

√ x ² − 3x

2. lim

x→−1

⁺

r 1 − x

1 + x 3. lim

x→−∞ x r

1 + 1 x ²

Exercice 2: ? ? ?

Déterminer les limites suivantes : 1. lim

x→+∞

√ x ² + 1 − √ x ² − 1

2. lim

x→+∞

√ x ² + 4x − x

3. lim

x→−2

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 4. lim

x→3

√ 3x − 3 x − 3

Exercice 3: ?

Soit f une fonction continue dont le tableau de variations est :

x −∞ −2 +∞

f (x)

−5

@

@ R −8

5 Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R .

Exercice 4: ?

Soit f une fonction continue dont le tableau de variations est :

x −∞ −2 4 +∞

f (x)

−1

2 @

@

@ R −3

−1

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 2

3 sur sur R .

Exercice 5: ??

1. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) =

x ² − 2x + 1 pour x 6 −1 3 − x pour x > −1 f est-elle continue sur R ?

2. On considère la fonction g définie sur R par : g(x) =

2x − 5 pour x < 1

x ² − k pour x > 1 où k est un réel.

Déterminer la valeur de k pour que g soit continue sur R .

Exercice 6: ?

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x ³ − x ² + x + 2.

1. Déterminer le tableau de variations complet de la fonction f .

2. Montrer que l’équation f (x) = 0 ne possède qu’une unique solution notée α.

3. Fournir une valeur approchée au centième de α.

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Exercice 7: ?

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x ³ 3 − x ²

2 − x + 3.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞.

2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 n’admet aucune solution sur l’intervalle

− 1 2 ; +∞

. 4. En déduire que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R .

5. Fournir un encadrement au centième de α.

Exercice 8: ??

Démontrer que l’équation x √

x = 2 − 2x admet une unique solution α sur [0; +∞[ puis déterminer un encadrement de α d’amplitude 10 ⁻³ .

Exercice 9: ??

Soit g la fonction définie sur [0; 2] par : g(x) =

−2x + 3 si 0 6 x 6 1 2x − 3 si 1 < x 6 2 1. Tracer la courbe représentative de g.

2. Les conditions du T V I sont-elles remplies ?

3. Résoudre l’équation g(x) = 0 sur [0; 2]. Que remarque-t-on ?

4. Les conditions du T V I sont-elles nécessaires ou suffisantes pour l’existence et l’unicité de la solution d’une équation du type g(x) = 0 ?

Exercice 10: ? ? ?

On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par :

f (x) = 9x + (15 − 2x) √ x

et la fonction g définie également sur [0; +∞[ par :

g(x) = 18 √

x − 6x + 15 1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g.

2. Démontrer, sans la résoudre, que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution sur [0; +∞[ que l’on notera α.

3. Fournir un encadrement au centième de α.

4. En déduire le signe de g(x) pour tout x ∈ [0; +∞[.

5. Démontrer que, pour tout x ∈]0; +∞[ on a f ⁰ (x) = g(x) 2 √

x . 6. En déduire le tableau de variations complet de f . Et aussi un peu de récurrence ...

Exercice 11: ?

On considère la suite définie par u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0, 3u n + 7.

Démontrer par récurrence, que pour tout entier n ≥ 0 , u n ≤ 10

Exercice 12: ??

On considère la suite définie par u 0 = ³ ₂ et pour tout entier naturel n ≥ 0 , u n+ 1 = u ² _n − 2u n + 2.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur [1; +∞[ par f (x) = x ² − 2x + 2 2. Démontrer par récurrence que 1 ≤ u n ≤ 2 , pour tout entier naturel n.

3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : u n+1 − u n = (u n − 2)(u n − 1) 4. En déduire le sens de variation de (u n ).

Exercice 13: ? ? ?

On pose pour tout entier naturel n ≥ 2 , S _n = 1 + 2 × 2 + 3 × 2 ² + · · · + (n − 1)2 ⁿ⁻²

Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : S _n = (n − 1)2 ⁿ − n2 ⁿ⁻¹ + 1

2

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Résultats ou indices

Ex. 1 1.+∞ 2.+∞. 3.−∞.

Ex. 2 1. 0. 2. 2. 3. − 3 4 . 4. 1

2 . Ex. 3 1.

Ex.4 2.

Ex.5 1. Oui. 2. k = 4.

Ex.6 1.

x −∞ +∞

f (x)

−∞

+∞

2. Réponse donnée. 3. −0, 81.

Ex.7 1. lim

x→−∞ f (x) = −∞ et lim

x→+∞ f (x) = +∞ 2.

x −∞ − 1

2 1 +∞

f ⁰ (x) + 0 − 0 +

f (x)

−∞

79 24

@

@ R 13

6 +∞

3. Réponse donnée. 4. Réponse donnée. 5. −1, 70 ≤ α ≤ −1, 69.

Ex.8 0, 704 ≤ α ≤ 0, 705.

Ex.9 2. Non. 3. 3

2 . On peut avoir une ou plusieurs solutions à une équation du type g(x) = 0 sans que les conditions du théorème des valeurs intermédiaires soient remplies.

Ex.10 1.

x 0 9

4 +∞

g ⁰ (x) + 0 −

g(x) 15

57

2 @

@

@ R −∞

2. Réponse donnée. 3. 13, 53 ≤ α ≤ 13, 54. 4.

x 0 α +∞

g(x) + 0 −

3

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5. Réponse donnée. 6.

x 0 α +∞

g ⁰ (x) + 0 − 2 √

x 0 + +

f ⁰ (x) + 0 −

f (x) 0

f (α)

@

@ R −∞

Ex.11 Réponse donnée.

Ex.12 1. f est croissante sur [1; +∞]. 2. Réponse donnée. 3. Réponse donnée. 4. (u n ) est décroissante.

Ex.13 Réponse donnée.

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Exercice 1: ?

Déterminer les limites suivantes : 1. lim

x→+∞

√ x 2 − 3x

2. lim

x→−1

r 1 − x

1 + x 3. lim

x→−∞ x r

1 + 1 x 2

Exercice 2: ? ? ?

Déterminer les limites suivantes : 1. lim

x→+∞

√ x 2 + 1 − √ x 2 − 1

2. lim

x→+∞

√ x 2 + 4x − x

3. lim

x→−2

x 3 + 2x 2 − x − 2 x 2 − 4 4. lim

x→3

√ 3x − 3 x − 3

Exercice 3: ?

Soit f une fonction continue dont le tableau de variations est :

x −∞ −2 +∞

f (x)

−5

@

@

@ R −8

5

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R .

Exercice 4: ?

Soit f une fonction continue dont le tableau de variations est :

x −∞ −2 4 +∞

f (x)

−1

2

@

@

@ R −3

−1

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 2

3 sur sur R .

Exercice 5: ??

1. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) =

x 2 − 2x + 1 pour x 6 −1 3 − x pour x > −1 f est-elle continue sur R ?

2. On considère la fonction g définie sur R par : g(x) =

2x − 5 pour x < 1

x 2 − k pour x > 1 où k est un réel.

Déterminer la valeur de k pour que g soit continue sur R .

Exercice 6: ?

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − x 2 + x + 2.

1. Déterminer le tableau de variations complet de la fonction f .

2. Montrer que l’équation f (x) = 0 ne possède qu’une unique solution notée α.

3. Fournir une valeur approchée au centième de α.

1

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Exercice 7: ?

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x 3 3 − x 2

2 − x + 3.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞.

2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 n’admet aucune solution sur l’intervalle

− 1 2 ; +∞

. 4. En déduire que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R .

5. Fournir un encadrement au centième de α.

Exercice 8: ??

Démontrer que l’équation x √

x = 2 − 2x admet une unique solution α sur [0; +∞[ puis déterminer un encadrement de α d’amplitude 10 −3 .

Exercice 9: ??

Soit g la fonction définie sur [0; 2] par : g(x) =

−2x + 3 si 0 6 x 6 1 2x − 3 si 1 < x 6 2 1. Tracer la courbe représentative de g.

2. Les conditions du T V I sont-elles remplies ?

3. Résoudre l’équation g(x) = 0 sur [0; 2]. Que remarque-t-on ?

4. Les conditions du T V I sont-elles nécessaires ou suffisantes pour l’existence et l’unicité de la solution d’une équation du type g(x) = 0 ?

Exercice 10: ? ? ?

On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par :

√ x ² − 3x

1 + 1 x ²

√ x ² + 1 − √ x ² − 1

√ x ² + 4x − x

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 4. lim

x ² − 2x + 1 pour x 6 −1 3 − x pour x > −1 f est-elle continue sur R ?

x ² − k pour x > 1 où k est un réel.

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x ³ − x ² + x + 2.

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x ³ 3 − x ²

x = 2 − 2x admet une unique solution α sur [0; +∞[ puis déterminer un encadrement de α d’amplitude 10 ⁻³ .

5. Démontrer que, pour tout x ∈]0; +∞[ on a f ⁰ (x) = g(x) 2 √

On considère la suite définie par u 0 = ³ ₂ et pour tout entier naturel n ≥ 0 , u n+ 1 = u ² _n − 2u n + 2.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur [1; +∞[ par f (x) = x ² − 2x + 2 2. Démontrer par récurrence que 1 ≤ u n ≤ 2 , pour tout entier naturel n.

On pose pour tout entier naturel n ≥ 2 , S _n = 1 + 2 × 2 + 3 × 2 ² + · · · + (n − 1)2 ⁿ⁻²

Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : S _n = (n − 1)2 ⁿ − n2 ⁿ⁻¹ + 1

f ⁰ (x) + 0 − 0 +

g ⁰ (x) + 0 −

g ⁰ (x) + 0 − 2 √