Série 28

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Exercice 1 :

On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : 1 ¹

n

un

n

 

   . 1. On considère la fonction f définie sur [0 ; [ par : ^{f x}

 

^{ }^x ^{ln 1}



^^x



^.

a. En étudiant les variations de la fonction f, montrer que, pour tout réel x positif ou nul, ^{ln 1}



^^x



^^x b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ^ln

 

un ¹.

c. La suite (un) peut-elle avoir pour limite  ?

2. On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : vn^ln

 

un . a. On pose x ¹

n. Exprimer vn en fonction de x.

b. Que vaut  

0

limln 1

x

 x

 ? Aucune justification n’est demandée. Calculer lim _n

n v

 . c. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 2 :

On considère l’équation notée (E) : ^ln^x ^x.

A) On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; [ par ^{f x}

 

^{ }^x ^ln^x^. 1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; [.

2. Démontrer que l’équation ^{f x}

 

^⁰ admet une unique solution notée  appartenant à l’intervalle ]0 ; [.

3. Vérifier que : ¹ 1 2  .

B) On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; [ par   ⁴ ^ln

5

x x

g x 

 .

1. Étude de quelques propriétés de la fonction g.

a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; [.

b. En déduire que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle ¹; 1 2

 

 

 , ^{g x}

 

appartient à cet intervalle.

c. Démontrer qu’un nombre réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; [ est solution de l’équation (E) si et seulement si ^{g x}

 

^^x^.

2. On considère la suite (u_n) définie par ₀ ¹

u 2 et pour tout entier naturel n, par un_1g u

 

n .

a. En utilisant le sens de variation de la fonction g, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, ¹ ₁ 1

2uⁿ uⁿ_  .

b. En déduire que la suite (un) converge vers . 3. Recherche d’une valeur approchée de .

a. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u₁₀, arrondie à la sixième décimale.

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b. On admet que u10 est une valeur approchée par défaut à 5 10 ^⁴ près de  .

En déduire un encadrement de  sous la forme u  v où u et v sont deux décimaux écrits avec trois décimales.

Exercice 3 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [–2 ; 5], décroissante sur chacun des intervalles

[–2 ; 0] et [2 ; 5] et croissante sur l’intervalle [0 ; 2].

On note f sa fonction dérivée sur l’intervalle [–2 ; 5].

La courbe () représentative de la fonction f est tracée ci-dessus dans le plan muni d’un repère orthogonal. Elle passe par les points A(–2 ; 9), B(0 ; 4), C(1 ; 4,5), D(2 ; 5) et E(4 ; 0).

En chacun des points B et D la tangente à la courbe () est parallèle à l’axe des abscisses. On note F le point de coordonnées (3 ; 6). La droite (CF) est la tangente à la courbe () au point C.

1. À l’aide des informations précédentes et de la figure, préciser sans justifier : a. les valeurs de f

 

0 , f' 1

 

et f' 2

 

;

b. le signe de ^f^

 

^x suivant les valeurs du nombre réel x de l’intervalle [–2 ; 5] ; c. le signe de ^{f x}  suivant les valeurs du nombre réel x de l’intervalle [–2 ; 5].

2. On considère la fonction g définie par ^{g x} ^^ln



^f ^x



où ln désigne la fonction logarithme népérien.

a. Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l’intervalle [–2 ; 4[.

b. Calculer ^g

 

^² ^,^g

 

⁰ ^et^g

 

² ^.

A

B

C

D

F

E

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-3 -1 1 3 5

y

x

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c. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle [–2 ; 4[.

d. Déterminer la limite de la fonction g lorsque x tend vers 4.

Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction g.

e. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

Exercice 4 :

Soit f la fonction définie sur l’intervalle



^{0 ;}^{ }



^par^{f x}

 

^^ln



^x²^⁴



^.

A) 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle



^{0 ;}^{ }



^.

2. Soit g la fonction définie sur l’intervalle



^{0 ;}^{ }



^par^{g x}

   

^^{f x} ^^x^. a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle



^{0 ;}^{ }



^.

b. Montrer que sur l’intervalle [2 ; 3] l’équation ^{g x}

 

^⁰ admet une unique solution que l’on notera

.

Donner la valeur arrondie de  à 10⁻¹ près.

c. Justifier que le nombre réel  est l’unique solution de l’équation f x

 

x.

B) Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par : un_1f u

 

n .

La courbe C représentative de la fonction f et la droite  d’équation y = x sont tracées sur le graphique donné ci-dessous.

1. À partir de u0, en utilisant la courbe C et la droite , on a placé u1 sur l’axe des abscisses.

De la même manière, placer les termes u2 et u3 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.

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2. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse .

3. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a 1u_n. b. Démontrer que la suite (un) converge.

c. Déterminer sa limite.

Exercice 5 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f_n définie sur



^{0 ;}^{ }



^{par :}fn

 

x   nx x^lnx. On note (Cn) la courbe représentative de la fonction fn, dans un repère orthonormal (O i j; , ). Les courbes (C₀), (C₁) et (C₂) représentatives des fonctions f₀, f₁ et f₂ sont données ci-dessous.

Partie A : Étude de la fonction f₀ définie sur



^{0 ;}^{ }



^parf0

 

x  xlnx. 1. Déterminer la limite de f0 en +∞.

2. Étudier les variations de la fonction f₀ sur



^{0 ;}^{ }



^. Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction fn, n entier naturel.

1. Démontrer que pour



^{0 ;}



x   ,

 

'_n 1 ln

f x    n x où f'_n

désigne la fonction dérivée de fn.

2. a. Démontrer que la courbe (C_n) admet en un unique point A_n d’abscisse e^{ }ⁿ¹ une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

b. Prouver que le point A_n appartient à la droite  d’équation y = x.

c. Placer sur la figure les points A0, A1, A2.

3. a. Démontrer que la courbe (Cn) coupe l’axe des abscisses en un unique point, noté Bn, dont l’abscisse est e^ⁿ.

b. Démontrer que la tangente à (C_n) au point B_n a un coefficient directeur indépendant de l’entier n.

c. Placer sur la figure les points B₀, B₁, B₂. Partie C : Calculs d’aires.

Pour tout entier naturel n, on considère le domaine du plan Dn délimité par l’axe des abscisses, la courbe (C_n) et les droites d’équation xe^{ }ⁿ¹ et xe^ⁿ.

On note I_n l’aire en unités d’aires du domaine D_n. 1. Hachurer sur la figure les domaines D0, D1, D2.

2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ₁¹ ln

e

x xdx



^.

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b. En déduire que ₀ ¹ ³₂

4 4 I   e .

c. On admet que le domaine D_n+1 est l’image du domaine D_n par l’homothétie de centre O et de rapport ¹

e. Exprimer I₁ et I₂ en fonction de I₀.