27-01-2006 Terminale ES2 M.WEISLINGER
DEVOIR SURVEILLÉ N°5
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice I :( 3pts )
1.La fonctionf représentée (graphique 1) par la courbe (C) est dé- finie sur ]0 ;+∞[ par
f(x)=(ax+b) lnx
oùaetbsont deux constantes que l’on calculera dans la suite de cette question.
Sur le graphique 1 sont placés les points A(1 ; 0), B(2 ; 0) et E(0 ;−1).
Les points A et B appartiennent à la courbe (C), la droite (AE) est tangente à la courbe (C) en A.
a.Démontrer quef′(x)=alnx+a+b
x.( on détaillera le calcul).
b.Donner par lecture graphiquef(2) etf′(1).
c.En déduire queaetbsont solutions du système
½ a+b = 1
2a+b = 0
d.Détermineraetb. 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3
1 2 3
0 1 2
−1
−2
A B
E
−
→ı
−
→
C
graphique 1
2.SoitGune primitive de la fonctionf représentée par la courbe (C) du graphique 1.
Parmi les trois courbes (C1), (C2), (C3) proposées sur le graphique 2, quelle est la seule qui peut représenterGdans le repère³
O,−→ ı ,−→
´
? Justifier votre réponse.
0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3
1 2 3
0 1 2
−1
−2
−
→ı
−
→
(C1)
(C2)
(C3) graphique 2 Exercice II :( 4 pts )
1. Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants :
a. ln 36 b. ln(12
9 ) c. ln(8p
27)
2. Résoudre les équations suivantes :
a. 1−3ln(x)=4 b. ln(3+x)+ln(1−x)=0
3. Résoudre les inéquations suivantes :
a. ln(4−2x)Éln(x+1) b. 1−lnx>0
Exercice III :( 6 pts )
On considère la fonction g définie sur ]0;+∞[ parg(x)=x2+lnx−1.
1. a. Montrer quegest strictement croissante sur ]0;+∞[.
b. Calculerg(1) et en déduire le signe deg(x) pourxappartenant à ]0;+∞[.
2. On considère la fonctionf définie sur ]0;+∞[ parf(x)=x+1−lnx x . a. Etudier les limites def en 0 et en+∞.
b. Exprimerf′(x) en fonction deg(x).
c. Dresser le tableau de variation def sur ]0;+∞[.
d. Déterminer les coordonnées du pointIde la courbe représentative de f où la tangente est parallèle à la droite d’équationy=x.
3. SoitHla fonction définie sur ]0;+∞[ parH(x)=1 2(lnx)2.
1
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a. CalculerH′(x).
b. En déduire une primitive de la fonctionf sur ]0;+∞[ .
Exercice IV :( 7 pts ) Partie A
Étude d’une fonction
Soitf la fonction définie sur ]1 ;+∞[ par :
f(x)=ln¡ x3−x2¢
. 1. Justifier que, pour toutxde l’intervalle ]1 ;+∞[, f(x) est définie.
2. Déterminer lim
x→1 x>1
f(x), puis lim
x→+∞f(x).
3. On notef′la fonction dérivée def. Vérifier que, pour toutxdans l’intervalle ]1 ;+∞[
f′(x)= 3x−2 x(x−1). Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur ]1 ;+∞[.
4. a. Démontrer que l’équation :
f(x)=0
admet sur ]1 ;+∞[ une solution uniqueα. Donner la valeur arrondie deαà 10−1près.
b. Démontrer quef(x) est strictement positif sur ]α;+∞[.
5. Dans un repère orthonormal³
O,→−ı ,−→
´
d’unité graphique 1 cm, tracer la courbeΓreprésentative de la fonctionf sur l’intervalle ]1 ;+∞[.
6. Soithla fonction définie sur l’intervalle ]1 ;+∞[ par :
h(x)=2xlnx+(x−1) ln(x−1).
On noteh′sa fonction dérivée.
Pour toutxde ]1 ;+∞[, calculerh′(x).
En déduire une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]1 ;+∞[
Partie B
Interprétation économique
On considère une machine produisant un composé chimique liquide.
Pour qu’elle soit rentable, cette machine doit produire au moins 2 hectolitres.
De plus, le liquide produit est dangereux et impose une fabrication maximale de 9 hectolitres avant révision de la machine.
Pour toutxde [2 ; 9], la valeur du coût marginalc(x), exprimé en milliers d’euros, est donnée par : c(x)=ln¡
x3−x2¢ ,
etCT(x) est le coût total de fabrication dexhectolitres de liquide. On rappelle que : CT′(x)=c(x).
oùC′Tdésigne la fonction dérivée deCT.
Le coût total des deux premiers hectolitres (mise en route de la machine et fabrication) est 10 milliers d’euros, ce qui se traduit parCT(2)=10.
1. Déterminer le coût totalCT(x) en fonction dex.
2. CalculerCT(9)−CT(2). On donnera d’abord la valeur exacte, puis une valeur approchée à l’euro près.
2
