TS : correction du contrôle (sujet A) (sur 10 points) I (1,5 points)

TS : correction du contrôle (sujet A) (sur 10 points)

I (1,5 points)

C’est du cours !

Une suite (u_n) est croissante si et seulement si, pour toutn∈N,u_n+1Êu_n.

II (1,5 points)

Une suite (u_n) est arithmétique s’il existe un réelr, appelé raison de la suite, tel que, pour toutn ∈N, un+1=un+r.

III (3,5 points)

On considère la suite (u_n) définie par





 u0=1 un+1=1

5un+3 . 1. • u₁=1

5u₀+3=1

5+3=1+3×5 5

16 5 .

• 16

5 >1 donc u1>u0

2. SoitP_nla propriétéu_n+1>u_npour toutn∈N. Effectuons une démonstration par récurrence :

• Initialisation : on a déjà montréu₁>u₀à la question précédente doncP₀est vraie.

• SupposonsPnvraie pour un entiernquelconque, doncun+1>un. La fonction f :x7→1

5x+3 est croissante (coefficient directeur positif), doncf respecte l’ordre.

Puisqueu_n+1>u_n, f (u_n+1)>f (u_n) doncu_n+2>u_n+1; la propriétéP_nest donc héréditaire.

Autre méthode: u_n<u_n+1⇒1

5u_n<1

5u_n+1⇒1

5u_n+3<1

5u_n+1+3 d’oùu_n+2<u_n+1

D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn.

La suite (u_n) est donccroissante.

IV (3,5 points)

SoitPnla propriété : «Sn=1+3+5+ · · · +(2n−1)=n²» pournÊ1.

Démontrons cette propriété par récurrence.

• initialisation : la sommeS_n contientn termes au rang n donc pourn =1, S₁=1 et la partie droite est 1²=1=S1 doncP₁est vraie.

• Hérédité : SupposonsP_nvraie pour un entiernquelconque, doncu_n+1>u_n, donc 1+3+5+· · ·+(2n−1)=n². Au rangn+1 :S_n+1=S_n+(2(n+1)−1)=S_n+2n+1=n²+2n+1=(n+1)²(identité remarquable).

P_n+1est donc vraie ; elle est donc héréditaire.

D’après l’axiome de récurrence, elle est vraie pour toutnÊ1.

TS : correction du contrôle (sujet B) (sur 10 points)

I (1,5 points)

C’est du cours !

Une suite (un) est décroissante si et seulement si, pour toutn∈N,un+1Éun.

II (1,5 points)

Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réelr, appelé raison de la suite, tel que, pour toutn ∈N, u_n+1=u_n+r.

III (3,5 points)

On considère la suite (u_n) définie par





 u₀=3 u_n⁺₁=4

5u_n−1 .

1. • u₁=4

5u₀−1=4

5×3−1=12

5 −1= 7 5 .

• 7

5<3 donc u₁<u₀

2. SoitP_nla propriétéu_n+1<u_npour toutn∈N. Effectuons une démonstration par récurrence :

• Initialisation : on a déjà montréu₁<u₀à la question précédente doncP₀est vraie.

• SupposonsP_nvraie pour un entiernquelconque, doncu_n+1<u_n. La fonction f :x7→4

5x−1 est croissante (coefficient directeur positif), doncf respecte l’ordre.

Puisqueu_n+1<u_n, f (u_n+1)<f (u_n) doncu_n+2<u_n+1; la propriétéP_nest donc héréditaire.

Autre méthode: u_n>u_n+1⇒4

5u_n>4

5u_n+1⇒4

5u_n−1<>4

5u_n+1−1 d’oùu_n+2>u_n+1

D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn.

La suite (u_n) est doncdécroissante.

IV (3,5 points)

SoitP_nla propriété : «S_n=1+3+5+ · · · +(2n−1)=n²» pournÊ1.

Démontrons cette propriété par récurrence.

• initialisation : la sommeS_n contientn termes au rang n donc pourn =1, S₁=1 et la partie droite est 1²=1=S1doncP1est vraie.

• Hérédité : SupposonsPnvraie pour un entiernquelconque, doncun+1>un, donc 1+3+5+· · ·+(2n−1)=n². Au rangn+1 :S_n+1=S_n+(2(n+1)−1)=S_n+2n+1=n²+2n+1=(n+1)²(identité remarquable).

P_n+1est donc vraie ; elle est donc héréditaire.

D’après l’axiome de récurrence, elle est vraie pour toutnÊ1.Démontrer par récurrence surnque, pour tout entiernÊ1,

1+3+5+ · · · +(2n−1)=n².