Correction du contrôle (sujet A)
I
(a) (un) est définie par :un=2n2−3n+1.
On a : u0=1 ;u1=0 etu2=3
(b) (un) est définie par :
u0=2
un+1=un−1 un
.
u0= 2 ;u1=u0−1 u0
=2−1 2 = 1
2 et u2=u1−1
u1
=
1 2−1
1 2
= −
1 2 1 2
= −1
II
1. (un) est définie par :
u0=5
un+1=un+ 1 n+1
.
Pour toutn,un+1−un= 1
n+1>0 donc la suite (un) estcroissante.
2. (un) est définie par :
½ u0= −3
un+1=u2n+un+2 . Pour toutn,un+1−un=u2n+2>0 (car le carré d’un réel est toujours positif) donc la suite (un) estcroissante.
III
1. un=2n+3 est une fonction affine den, donc la suite (un) estarithmétique.
2. un= 1−5n 2 = −5
2n+1
2; c’est encore une fonc- tion affine den, donc la suite (un) estarithmé- tique.
3.
½ u0=5
un+1=un−3 . Pour tout n, un+1−un = −3 qui est une constante, donc (un) est arithmé- tique (de raison -3).
4.
½ u0= −2
un+1=un−n . Pour toutn, un+1−un = −n qui n’est pas une constante, donc (un)n’est pas arithmétique.
IV
(un) est arithmétique,u5=3 etr=1 2. On sait que, pour toutnet toutpÉn: un=up+(n−p)r.
Alors :u7=u5+(7−5)×1
2=3+2×1
2=4 : u7=4 u30=u5+(30−5)×1
2=3+25×1 2=31
2 : u30=31 2
V
Comme (un) est arithmétique, on a :
½ u17=u0+17r u40=u0+40r ⇔
½ u0+17r=24 (1) u0+40r=70 (1)
(2)-(1) donne : 40r−17r=70−24, c’est-à-dire 23r=46. On en déduitr=2.
Alors :u0=24−17r=24−17×2= −10.
u0= −10 etr=2
VI
SoitS=23+26+29+32+ · · · +128.
C’est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, de raison 3.
On poseu0=23 etr=3.
Cherchons le rang de 128 : 128=un=u0+nr=23+3n donc 3n=128−23=105 etn=35.
S=u0+ · · · +u35= 36×(u0+u35)
2 = 36×(23+128)
2 =
18×151=2 718
S=2 718
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Correction du contrôle (sujet B)
I
(a) (un) est définie par :un=3n2−2n+1.
On a : u0=1 ;u1=2 etu2=9
(b) (un) est définie par :
u0=3
un+1=un−1 un
.
u0= 3 ;u1=u0−1 u0
=3−1 3 = 2
3 et u2=u1−1
u1
=
2 3−1
2 3
= −
−1
3 2 3
= −1 2
II
1. (un) est définie par :
u0=5
un+1=un− 2 n+1
.
Pour toutn,un+1−un= − 2
n+1<0 donc la suite (un) estdécroissante.
2. (un) est définie par :
½ u0= −3
un+1=u2n+un+3 . Pour toutn,un+1−un=u2n+3>0 (car le carré d’un réel est toujours positif) donc la suite (un) estcroissante.
III
1. un=3n+2 est une fonction affine den, donc la suite (un) estarithmétique.
2. un= 3−7n 2 = −3
2n−7
2; c’est encore une fonc- tion affine den, donc la suite (un) estarithmé- tique.
3.
½ u0=5
un+1=un+5 . Pour toutn,un+1−un=5 qui est une constante, donc (un) est arithmétique (de raison 5).
4.
½ u0= −2
un+1=un+n+1 . Pour tout n, un+1−un = n+1 qui n’est pas une constante, donc (un)n’est pas arithmétique.
IV
(un) est arithmétique,u4=2 etr=3 2. On sait que, pour toutnet toutpÉn: un=up+(n−p)r.
Alors :u7=u4+(7−4)×3
2=2+3×3 2=13
2 : u7=13 2 u30=u4+(30−4)×3
2=2+26×3
2=2+39 : u30=41
V
Comme (un) est arithmétique, on a :
½ u17=u0+17r u40=u0+40r ⇔
½ u0+17r=24 (1) u0+40r=70 (1)
(2)-(1) donne : 40r−17r=70−24, c’est-à-dire 23r=46. On en déduitr=2.
Alors :u0=24−17r=24−17×2= −10.
u0= −10 etr=2
VI
SoitS=26+26+29+32+ · · · +131.
C’est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, de raison 3.
On poseu0=26 etr=3.
Cherchons le rang de 131 : 131=un=u0+nr=26+3n donc 3n=131−26=105 etn=35.
S=u0+ · · · +u35= 36×(u0+u35)
2 = 36×(26+131)
2 =
18×157=2 826
S=2 826
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