Correction du contrôle
I
g(x)=f(x+2)=f(x−(−2))=f(x−a) aveca= −2 donc Cg s’obtient à partir deCf par la translation de vecteur 2−→
i . h(x)= −1
2f(x) donc on multiplie toutes les ordonnées par -0,5.
On obtient les courbes ci-dessous.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4 0
Cf
b b b b b b bCg
Ch
II
a) Soit f : x 7→ 1
x2−3x−10. Pour que cette fonction soit définie, le dénominateur ne doit pas être nul.
On cherche donc les valeurs qui annulent celui-ci.
C’est un trinôme du second degré de la forme ax2+bx+c.∆=49>0. Il y a donc deux racines : x1=3−p
49
2 = −2 etx2=3+p 49 2 =5.
L’ensemble de définition def est : Df =R\ {−2 ; 5}
b) Soit g : x 7→p
x+5. g(x) existe si, et seulement si, x+5Ê0.
x+5Ê0⇔xÊ −5 donc l’ensemble de définition de g est : Dg =[−5 ; = ∞[.
c) Soith:x7→ 1
(x+2)(x−3)(x−7).
h(x) est une fraction rationnelle ; il faut excure les valeurs qui annulent le dénominateur. Ce sont de manière évidente les nombres -2, 3 et 7.
L’ensemble de définition dehest : Dh=R\ {−2 ; 3 ; 7}.
III
Soitf :x7→ 1
x−3x−12 définie surR∗. f =u+vavecu(x)= 1
x etv(x)= −3x−12.
uest décroissante sur ]0 ;+∞[ ;vaussi (fonction affine, dont le coefficient directeur, -3, est négatif).
On en déduit que f est décroissante sur ]0 ; +∞[ comme somme de deux fonctions décroissantes.
IV
f(x)=x+3 etg(x)= 1 x2+1.
• f ◦g(x)=f(g(x))=f
µ 1
x2+1
¶
=f(y)=y+3
= 1
x2+1+3 avecy= 1 x2+1.
• g◦f(x)=g(f(x))=g(x+3)=g(z)= 1 z2+1
= 1
(x+3)2+1avecz=x+3.
Par conséquent : f ◦g(x)= 1
x2+1+3 et g◦f(x)= 1 (x+3)2+1
V
f(x)=(x+3)2−5. On veut écriref comme la composée d’une fonctiong suivie d’une fonctionh.
Il y a deux façons :
• f :x−→g (x+3)2−→h (x+3)2−5 ; f =h◦g avec g(x)=(x+3)2eth(x)=x−5.
• f :x−→g (x+3)−→h (x+3)2−5 ;f =h◦g avec g(x)=(x+3) eth(x)=x2−5.
VI
1. Il y a plusieurs façons de trouver.
Par exemple, la paraboleC3 est tournée vers le haut, donc la fonction associée est du typex7→
ax2+bx+c avec a > 0 ; seule la fonction g convient.
On peut aussi regarder les différentes images de 0 : on trouvef(0)=1,g(0)= −2 eth(0)=5.
On en déduit :
Courbe C1 C2 C3 Fonction associée f h g
2. On cherche les abscisses exactes des points d’in- tersection deC1avec l’axe des abscisses ; ce sont les solutions de l’équationf(x)=0.
f(x)=0⇔ −2x2+3x+1=0.
∆=32−4×(−2)×1=17>0. Il y a deux solutions.
x1=−3+p 17
−4 =3−p 17
4 etx2=3+p 17
4 .
C1 coupe l’axe des abscisses aux points d’abs- cisses3−p
17
4 et 3+p 17
4 .
