1 ES-L : correction du contrôle sur la dérivation (sujet A)
I Dériver les fonctions suivantes
• f1(x)=7x2−2x+3
f1′(x)=7×2x−2= 14x−2
• f2(x)=2x3−5p x f2′(x)=2×3x2−5× 1
2p
x = 6x2− 5 2p
x=12x3−5p x 2x
• f3(x)= −2 x+3x f3′(x)= −2×
µ
− 1 x2
¶
+3= 2
x2+3=3x2+2 x2
• f4(x)=(3x+1) µ
1+5 x
¶
f4=uvavecu(x)=3x+1 etv(x)=1+5 x. f4′=(uv)′=u′v+uv′avecu′(x)=3 et v′(x)=5×
µ
− 1 x2
¶
= − 5 x2 Alors :f4′(x)=3
µ 1+5
x
¶
+(3x+1)× µ
− 5 x2
¶
= 3 µ
1+5 x
¶
−5(3x+1) x2
=3 µx+5
x
¶
−15x+5
x2 =3x2+15x−15x−5 x2
= 3x2−5 x2
• f5(x)= 3
2x−1=3× 1 2x−1. f5=3×1
u avecu(x)=2x−1.
Alorsf5′=3× µ1
u
¶′
=3× µ
−u′ u2
¶
avecu′(x)=2.
Par conséquent :f5′(x)=3× µ
− 2 (2x−1)2
¶
= − 6 (2x−1)2
• f6(x)=(5x+3)¡ x2−1¢
f6=uvavecu(x)=5x+3 etv(x)=x2−1.
f6′=u′v+uv′avecu′(x)=5 etv′(x)=2x.
Alors :f6′(x)=5¡ x2−1¢
+(5x+3)×2x
= 15x2+6x−5
II
1. On considère la fonctionf définie surRpar f(x)=5x2−2x+3.
L’équation réduite de la tangente àCf au point d’abscisseaesty=f′(a)(x−a)+f(a).
Aveca=2, on obtienty=f′(2)(x−2)+f(2).
f′(x)=10x−2 doncf′(2)=18.
f(2)=19.
L’équation est alors : y = 18(x−2)+19 soit y=18x−17
2. On considère la fonctiong définie surR∗par g(x)= 2
x+3x2. g′(x)= −2
x2+6xdoncg′(−1)= −8 ;g(−1)=1.
L’équation de la tangente àCg en -1 est : y=g′(−1)(x−(−1))+g(−1) donc
y= −8(x+1)+1 soit y= −8x−7
III
On considère les fonctionsf :x7−→(x+1)p xet g :x7−→x3+1
x sur l’intervalle ]0 ;+∞[.‘
f(1)=2 etg(1)=2 donc les deux courbes passent parC(1 ; 2).
f′(x)=1×p
x+(x+1)× 1 2p
x donc f′(1)=2 g′(x)=3x2− 1
x2 doncg′(1)=2.
f′(1) =g′(1) ; les tangentes àCf et Cg ont le même coefficient directeur, donc les deux courbes sont tan- gentes enC.
IV
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée, étudier son signe et en déduire le tableau de variation.
1. f1(x)=x2−6x+1 ; f1′(x)=2x−6= 2(x−3). f1′(x)=0 pourx=3 etf1′(x)>0 pourx=3.
On en déduit letableau de variationde f1:
x −∞ 3 +∞
f′(x) − 0 + f1(x) ❅❅
❅
❘
−8
✒
2. f2(x)= x+3
x−4; f2= u
v aecu(x)=x+3 etv(x)= x−4.
f2′ = u′v−uv′
v2 avec u′(x) = 1 et v′(x) = 1 donc f2′(x)=1(x−4)−1(x+3)
(x−4)2 = − 7
(x−4)2<0 sur l’ensemble de définition qui est ] −
∞; 4[∪]4 ; +∞[
Le tableau de variation est alors :
x −∞ 4 +∞
f2′(x) − − f2(x) ❅❅
❅
❘
❅❅
❅
❘
3. f3(x)=x3−27x+10 f3′(x)=3x2−27=3¡
x2−9¢
= 3(x+3)(x−3) qui s’annule en -3 et 3.
f3′(x) est positif (du signe du coefficient dex2) à l’extérieur des racines.
Tableau de variation:
x −∞ −3 3 +∞
f3′(x) + 0 − 0 +
f3(x) ✒
64
❅❅
❅
❘
−44
✒
V
Soitf la fonction définie surRpar f(x)=2x3+3x2−12x+1.
f′(x)=2×3x2+3×2x−12=6x2+6x−12
=6¡
x2+x−2¢ .
Le discriminant dex2+x−2 est∆=9>0.
Les racines dex2+x−2 sont -2 et 1.
On en déduit 6x2+6x−12=6(x−1)(x+2) donc f′(x)=6(x−1)(x+2).
f′(x) est positif (du signe du coefficient dex2) à l’ex- térieur de l’intervalle formé par les racines.
On en déduit le tableau de variation def :
x −∞ −2 1 +∞
f′(x) + 0 − 0 +
f(x) ✒
21
❅❅
❅
❘
−6
✒
1 ES-L : correction du contrôle sur la dérivation (sujet B)
I Dériver les fonctions suivantes
• f1(x)=5x2−3x+5 ;f1′(x)= 10x−3
• f2(x)=5x3−2p
x; f2′(x)=5×3x2−2× 1 2p x
= 15x2− 1
px =15x3−p x x
• f3(x)= −3
x+2x= −3×1 x+2x f3′(x)= −3×
µ
− 1 x2
¶
+2= 3
x2+2=2x2+3 x2
• f4(x)=(2x+1) µ
1+3 x
¶
f4=uvavecu(x)=2x+1 etv(x)=1+3 x f4′=u′v+uv′avecu′(x)=2 etv′(x)= − 3
x2 Alors :f4′(x)= 2
µ 1+3
x
¶
+(2x+1)× µ
− 3 x2
¶
=2x2−3 x2
• f5(x)= 5
2x−1=5× 1 2x−1 f5=5×1
u avecu(x)=2x−1.
f5′=5× µ1
u
¶′
=5−u′
u2 avecu′(x)=2.
f5′(x)=5× µ
− 2 (2x−1)2
¶
= − 10 (2x−1)2
• f6(x)=(3x+5)¡ x2−1¢
f6=uvavecu(x)=3x+5 et v(x)=x2−1.
f6′=u′v+uv′avecu′(x)=3 etv′(x)=2x.
Alors :f6′(x)=3¡ x2−1¢
+(3x+5)×2x
= 9x2+10x−3
II
1. On considère la fonction f définie surRpar f(x)=3x2−5x+1.
L’équation réduite de la tangente à la courbeCf enaesty=f′(a)(x−a)+f(a).
f′(x)=6x−5 doncf′(2)=7 ;f(2)=3.
L’équation de la tangente est doncy=7(x−2)+3 donc y=7x−11
2. On considère la fonctiong définie surR∗par g(x)= 2
x+5x2. g′(x)= −2
x2+10xdoncg′(−1)= −12 ;g(−1)=3.
L’équation de la tangente àCg au point d’abs- cisse -1 estt=g′(−1)(x−(−1))+g(−1) d’où y= −12(x+1)+3, soit y= −12x−9
III
On considère les fonctionsf :x7−→(x+1)p xet g :x7−→x3+1
x sur l’intervalle ]0 ;+∞[.‘
f(1)=2 etg(1)=2 donc les deux courbes passent parC(1 ; 2).
f′(x)=1×p
x+(x+1)× 1 2p
x donc f′(1)=2 g′(x)=3x2− 1
x2 doncg′(1)=2.
f′(1) =g′(1) ; les tangentes àCf et Cg ont le même coefficient directeur, donc les deux courbes sont tan- gentes enC.
IV
1. f1:x7−→x2−8x+1 ; f1′(x)=2x−8=2(x−4) qui s’annule pourx=4 et est positif pourx>4.
On en déduit letableau de variation:
x −∞ 4 +∞
f′(x) − 0 +
f1(x) ❅❅
❅
❘
−15
✒
2. f2:x7−→x+3 x−5
; f2=u
v aecu(x)=x+3 etv(x)=x−5.
f2′ = u′v−uv′
v2 avec u′(x) = 1 et v′(x) = 1 doncf2′(x)=1(x−5)−1(x+3)
(x−5)2 = − 8
(x−5)2 <0 sur l’ensemble de définition qui est ] −
∞; 5[∪]5 ; +∞[
Letableau de variationest alors :
x −∞ 5 +∞
f2′(x) − − f2(x) ❅❅
❅
❘
❅❅
❅
❘
3. f3:x7−→x3−48x+1 f3′(x) =3x2−48=3¡
x2−16¢
= 3(x+4)(x−4) qui s’annule en -4 et 4.
f3′(x) est positif (du signe du coefficient dex2) à l’extérieur des racines.
Tableau de variation:
x −∞ −4 4 +∞
f3′(x) + 0 − 0 +
f3(x) ✒
129
❅❅
❅
❘
−127
✒
V
Soitf la fonction définie surRpar f(x)=2x3+3x2−12x+1.
f′(x)=2×3x2+3×2x−12=6x2+6x−12
=6¡
x2+x−2¢ donc
f′(x)=6(x−1)(x+2). Le discriminant dex2+x−2 est∆=9>0.
Les racines dex2+x−2 sont -2 et 1.
On en déduit 6x2+6x−12=6(x−1)(x+2).
f′(x) est positif (du signe du coefficient dex2) à l’ex- térieur de l’intervalle formé par les racines.
On en déduit letableau de variationde f :
x −∞ −2 1 +∞
f′(x) + 0 − 0 +
f(x) ✒
21
❅❅
❅
❘
−6
✒
