Correction du Devoir de contrôle n°1

2010-2011

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Exercice 1 : 1) on a :

1 1

1 1

1 1

lim lim lim 0

1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 1 2

lim lim lim lim 2

² 1 1 1 1 1

² 1 1 1

² ² ²

0 lim ( ) 2

x x x

x x x x

x

x x x x

x x x

x x

x x

x x x x

x x x

x x x

donc f x

  

   



     

   

        

       

   

        

     

           

   

 

2) on a :

0 0

lim ( ) lim 0 lim ( ) limsin 1

lim ( ) 1

x x

x x

x

g x x

et f x x

x donc h x



 

 



 

 

 3)

1 ( )

( )

BM AM

iz i z i z i

iIR signifie iIR et z i signifie IR et z i

z i z i z i

signifie z IR et M A signifie BM et AM sont colinéaires et M A z

signifie M décrit la droite AB privée de A

        

  

  

Exercice 2 : a)

( 1)

lim ( )

x

f x

  . ?

3

1 1

1

lim ² 1 4 lim 2 ² 2 0

lim ( )

x x

x

x x x et x

donc f x

 





 



      

 

b)

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1 1 1 1

1

lim ( ) lim lim lim

2 ² 2 2( ² 1) 2( 1)( 1)

² 1 2 1

lim2( 1) 4 2

x x x x

x

f x x x x x

x x

   



  

   

   

 c)

1

lim ( ) 1 2

x f x

  donc f est prolongeable par continuité en 1 et :

( ) ( ) 1

(1) 1 2

f x f x si x

f

  



 

1)

x -1 0 0

g’(x) ---

g(x) +∞

1 2

2)

a) on a h’(x)=g’(x)+2x et g’(x)<0 et 2x<0 pour x∈ ]-1,0] donc h’(x)<0 alors h est strictement décroissante sur ]-1,0]

b) on a :

× h continue sur ]-1,0[

× h est strictement décroissante sur ]-1,0[

× h(0)=g(0)+0=

1 1

1 lim ( ) lim ( ) ²

2 et ^x _h x ^x _g x x

      donc 1 compris

entre h(0) et

1

lim ( )

x _h x



donc h(x)=1 admet dans ]-1,0[ une unique solution

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c) h(x)=1 admet dans ]-1,0[ une unique solution donc g(x)+x²=1 admet dans }-1,0[ une unique solution donc g(x)=-x²+1 admet dans ]-1,0[ une unique solution

Exercice 3:

1)

 

6

6

2 arg( ) , 2 2 2

2 3 6

2

3 1

2 2 cos sin 2 3

6 6 2 2

A A

i A

i A

z OA et z u OA k k k

donc z e

on a z e i i i





  

  

 

        



 

 

        

2) Soit f l’application de P\{O} dans P qui à tout point d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z ' 3z i z .

a) on a z_C e donc OCⁱ³ z_C eⁱ³ 1

 

    ; donc C appartient au cercle (Γ)

de centre O et de rayon 1.

b) on a z e^i , IR ;donc

6 6 6

' 3 ( 3 ) 2 2 2

i i i

i i

z z i z z i e e e e e

   

  ^ ^{ }

       .

c) D=f(C) ;

6 3

3 2 2 6 2 cos( ) sin( ) 3

6 6

i i i

C D D

z e donc z e e donc z i i

 ^_ ^{ }_ ^     

         

d) on a : z_OD z_D  3i et z_BA z_A z_B  3 i 2i  3i donc ODAB est un parallélogramme ; de plus OB=AB donc c’est un losange.

3) a) on a M∈ (Γ) donc z 1 donc

' ' 3 ( 3 ) 3 3 2

OM  z  z i z  z i  z  i z  i donc M’ est un point du cercle ( ) .

b)

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  ^{ }

 

arg( ) arg( 3 ) 2 arg( ) 2 , 2

6 6

z i k z  k  u OM k

          

. d) on place un point M de (Γ) ; le point M’∈ ( ) d’une part et à la demi droite

[Ox) faisant un angle ^₆ ^

 

Exercice 4:

Soit la suite U définie sur IN* par : _{n n 1}n U

2 ^

 . 1) on a ;

n 1 n n n 1 n n n

n 1 n n 1 2 n 1 n

U U 0 pour n 1 ( n IN *)

2 2 2 2 2

 

  

        

donc U est décroissante

U décroissante minorée par 0 donc U est convergente.

2) on a :

n 1 n n n n 1 n n n

n 1 n 1 1 n 1 1 1

U U ; n IN *

2 2

2 2 2 2 2 2

 

        

n 1 n n

1 1

U U

2 2

  

3) U converge vers L ; on a _{n 1} 1 _n 1_n

U U

2 2

   comme

1

1 1

lim lim lim 0 ( )

2 2

n n n

n U n U _ L et n suite géométrique de raison

     

alors ¹ 0 ¹ 0 0

2 2

L  L donc L  donc L  4) On pose pour tout nIN*, _n ⁿ _k

k 1

S U

  ^.

a) on a

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2 1 1

3 2 2

n n 1 n 1

1 1

U U

2 2

1 1

U U

2 2

. . .

1 1

U U

2 ^ 2 ^

 

 

 

on faisant la somme terme à terme on obtient :

1

1

1

1 2

1 1

1 1 2

( )

2 2 1 1

2

1 1 1

1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2 2

4 2 1 2 4 1 1

2

n

n n n

n n n n

n n n

n n n

n n n

S U S U

S S U

S U

S U

S U







   

    

 

   

  

 

 

    

   

   

 

     

 

b) _{n n}

n n n

lim S lim U 4 ( 1 1 ) 0 4 ( 1 0 ) 4

    2     .