1ES3 : contrôle (sujet A) (20 points)
I
Une fonction f est représentée ci-dessous par sa courbeCet on a représenté la tangenteT àCf au point d’abscisse 1.
T recoupeCf enA(3 ; 1)
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4 O
Cf T
b bA
Que vaut le nombre dérivé f′(1) ?
II
Pour chacune des fonctions f suivantes, calculer f′(x) où f′est la fonction dérivée def.
1. f(x)=3x8surR.
2. f(x)= 1
x5 surR∗.
3. f(x)=3x2+5x−1 surR.
4. f(x)=(5x2−4x+2)p
xsur ]0 ;+∞[.
5. f(x)= 1
3x2+2x+7 surR.
6. f(x)=5x+1
3x+2surR\
½
−2 3
¾
III
Soit la fonction f définie sur R\ {1} par : f(x) = x3+1
x3−1.
On note C sa courbe représentative dans un repère
³ O; −→
i ;→− j ´
.
Donner une équation de la tangente à C au point d’abscissea= −1.
IV
Soit f la fonction définie surR par : f(x)= −x3+ 3x+1.
1. Calculer f′(x) où f′ est la dérivée de la fonction f.
2. Étudier alors les variations def et donner son ta- bleau de variations.
V
Une entreprise fabrique une certaine quantité d’ob- jets. Les coût totaux de production sont donnés en eu- ros par la fonctionCdéfinie par :
C(q)=0,02q3−16,2q2+5 000q.
Chaque unité est vendue 2 970 euros.
1. Montrer que la recetteRest donnée en euros, en fonction deq, par :R(q)=2 970q.
2. Calculer alors en fonction deq le bénéficeB(q) en fonction deq.
3. Déterminer l’intervalle dans lequel doit se situer qpour qu’il y ait rentabilité de l’entreprise.
4. Déterminer les variations de la fonctionB. Déterminer alors la quantitéqm à produite pour que le bénéfice soit maximal.
1ES3 : contrôle (sujet B) (10 points)
I
Une fonction f est représentée ci-dessous par sa courbeCet on a représenté la tangenteT àCf au point d’abscisse 1.
T recoupeCf enA(3 ; 1)
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4 O
Cf T
b bA
Que vaut le nombre dérivé f′(1) ?
II
Pour chacune des fonctions f suivantes, calculer f′(x) où f′est la fonction dérivée def.
1. f(x)=2x7surR.
2. f(x)= 1
x6 surR∗.
3. f(x)=4x2−7x+2 surR.
4. f(x)=(3x2−5x+3)p
xsur ]0 ;+∞[.
5. f(x)= 1
2x2+3x+5 surR.
6. f(x)=3x−4
2x+3surR\
½
−3 2
¾
III
Soit la fonction f définie sur R\ {1} par : f(x) = x3+2
x3−1.
On note C sa courbe représentative dans un repère
³ O; −→
i ;→− j ´
.
Donner une équation de la tangente à C au point d’abscissea= −1.
IV
Soit f la fonction définie surR par : f(x)= −x3+ 3x+1.
1. Calculer f′(x) où f′ est la dérivée de la fonction f.
2. Étudier alors les variations def et donner son ta- bleau de variations.
V
Une entreprise fabrique une certaine quantité d’ob- jets. Les coût totaux de production sont donnés en eu- ros par la fonctionCdéfinie par :
C(q)=0,02q3−16,2q2+5 000q.
Chaque unité est vendue 2 970 euros.
1. Montrer que la recetteRest donnée en euros, en fonction deq, par :R(q)=2 970q.
2. Calculer alors en fonction deq le bénéficeB(q) en fonction deq.
3. Déterminer l’intervalle dans lequel doit se situer qpour qu’il y ait rentabilité de l’entreprise.
4. Déterminer les variations de la fonctionB. Déterminer alors la quantitéqm à produite pour que le bénéfice soit maximal.
