I.Partiesconvexes Index Plan Rédactionincomplète.Versionbeta Convexité

Convexité

Rédaction incomplète. Version beta Plan

I. Parties convexes . . . . 1

II. Fonctions convexes . . . . 2

1. Dénition . . . . 2

2. Caractérisations . . . . 3

1. Croissance des taux d'accroissements . . . . 3

2. Cas des fonctions dérivables . . . . 4

Index

associativité des barycentres, 1 fonction concave, 3

fonction convexe, 2 inégalité de convexité, 3 inégalité de Jensen discrète, 3

moyenne arithmétique, 5 moyenne géométrique, 5 moyenne harmonique, 5 partie convexe, 1

stabilité par barycentration positive, 1

I. Parties convexes

Dans cette section, on se place dans un R espace vectoriel E dont les éléments seront considérés comme des points ou des vecteurs.

Dénition (Segment). Soit x et y deux points de E , le segment (noté [x, y] ) d'extrémités x et y est déni par : [x, y] = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]}

Remarques. On peut adopter un point de vue barycentrique. Le point λx + (1 − λ)y est le barycentre des points x et y aectés des masses λ et 1 − λ . Le segment [x, y] est donc formé par l'ensemble des barycentres de x et y aectés de coecients positifs et de somme 1.

On peut aussi adopter un point de vue cinématique. La fonction t → x + t(y − x) pour t ∈ [0, 1] représente le mouvement d'un point qui part de x et va vers y à la vitesse constante y − x . Le segment [x, y] est alors la trajectoire du mouvement.

On passe d'un point de vue à l'autre par λ = 1 − t . Un sous-espace ane de E est une partie convexe.

y x

Fig. 1: Partie convexe

Fig. 2: Partie non convexe

Preuve. à rédiger

Proposition. Une partie A de E est convexe si et seulement si pour tout entier n ≥ 2 , pour toute famille (x

, · · · , x

) de points de A , pour toute famille (λ

, · · · , λ

) de réels positifs tels que λ

+ · · · + λ

= 1 on a :

λ

x

+ · · · + λ

x

∈ A

Preuve. Lorsque la propriété est vériée pour tous les n , elle l'est en particulier pour n = 2 ce qui donne exactement la dénition de la convexité.

Dans l'autre sens, le passage de 2 à n se fait par récurrence. Il s'agit essentiellement de l'associativité des barycentres. Tout repose sur la relation :

λ

x

+ · · · + λ

x

= λ

x

+ (1 − λ

)

λ

λ

+ · · · + λ

x

+ · · · + λ

λ

+ · · · + λ

x

valable car 1 − λ

= λ

+ · · · + λ

.

Proposition. Une intersection de parties convexes est convexe.

Preuve. Immédiat avec les dénitions.

Proposition. Les partie convexes de R (considéré comme un R-espace vectoriel) sont les intervalles.

Preuve. Ceci résulte de la propriété de la borne supérieure. La démonstration de ce résultat gure dans la section Axiomatique du corps des réels

Proposition. L'image d'une partie convexe par une application ane est convexe.

Preuve. Immédiat avec les dénitions.

Exemples. Un demi-espace est convexe. Un sous-espace ane est convexe.

II. Fonctions convexes

Dans toute cette partie f désigne une fonction à valeurs réelles et dénie dans un intervalle I non réduit à un point.

1. Dénition

Dénition (Fonction convexe). Soit I un intervalle de R non réduit à un point. Une f une fonction à valeurs réelles dénie dans I est convexe lorsque :

∀(x, y) ∈ I

, ∀λ ∈ [0, 1] : f (λ

x + λ

y) ≤ λ

f (x) + λ

f (y)

Remarque. La dénition précédente peut aussi s'écrire (en adoptant le point de vue barycentrique)

∀(x, y) ∈ I

, ∀(λ

, λ

) ∈ [0, 1]

tels que λ

+ λ

= 1 : f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf(y) ou encore (en adoptant le point de vue cinématique)

∀(x, y) ∈ I

, ∀λ ∈ [0, 1] tels que : f (x + λ(y − x)) ≤ f (x) + λ(f (y) − f (x) Dénition (Fonction concave). Une fonction f est concave si et seulement si −f est convexe.

Proposition. Une fonction f est convexe si et seulement si Γ

est une partie convexe de R

et f est concave si et seulement si Γ

est une partie convexe de R

. Les parties Γ

et Γ

étant dénies par :

Γ

= {(x, y) ∈ I × R tq y ≥ f (x)} , Γ

= {(x, y) ∈ I × R tq y ≤ f (x)}

a b Γ

Γ

Fig. 3: Dénition Γ

et Γ

Fig. 4: Le graphe d'une fonction convexe est au dessous de ses cordes

Notation. On désigne par M

le point de coordonnées (x, f(x)) du graphe de f . un segment [M

, M

] dont les extrémités sont deux points du graphe est une corde du graphe.

Proposition. Une fonction est convexe si et seulement si son graphe est au dessous de ses cordes.

Proposition (Inégalité de convexité). Une fonction f est convexe si et seulement si pour tout entier n ≥ 2 , pour toute famille (x

, · · · , x

) d'éléments de I , pour toute famille (λ

, · · · , λ

) de réels positifs tels que λ

+· · ·+λ

= 1 on a :

f(λ

x

+ · · · + λ

x

) ≤ λ

f(x

) + · · · + λ

f (x

) Remarque. Cette inégalité est aussi appelée inégalité de Jensen discrète.

2. Caractérisations

Dans la pratique les fonctions dont on a à étudier la convexité sont C

et on exploite cette propriété avec l'inégalité de convexité.

1. Croissance des taux d'accroissements

Notation (Taux d'accroissement). Pour tout x ∈ I , on désigne par Φ

la fonction dénie dans I \ {x} par : Φ

(t) = f (t) − f (x)

t − x = f (x) − f (t)

x − t

∀(u, v) ∈ (I \ {x})

: u ≤ v ⇒ Φ

(u) ≤ Φ

(v)

Preuve. Convexité entraîne croissance des taux On suppose la fonction convexe. On considère un x quel- conque dans I , on veut montrer la croissance de Φ

. Soit u et v dans I \ {x} avec u < v . Plusieurs cas sont possibles mais il y a toujours un point dans l'intervalle formé par les deux autres. On peut former une inégalité de convexité attachée à cette conguration (bien prendre garde aux signes des coecients).

x < u < v ⇒ u = x + u − x

v − x (v − x) ⇒ f (u) ≤ f (x) + u − x

v − x (f (v) − f (x)) ⇒ Φ

(u) ≤ Φ

(v)

u < x < v ⇒ x = u + x − u

v − u (v − u) ⇒ f(x) ≤ f(u) + x − u

v − u (f (v) − f (u))

| {z }

f(v)−f(x)+f(x)−f(u)

⇒

1 − x − u v − u

(f (x) − f (u)) ≤ x − u

v − u (f(v) − f (x)) ⇒ Φ

(u) ≤ Φ

(v)

u < v < x ⇒ v = u + v − u

x − u (x − u) ⇒ f(v) ≤ f (u) + v − u

x − u (f (x) − f (u))

⇒ f(v) − f (x) ≤

−1 + v − u x − u

(f (x) − f (u))

⇒ f (v) − f (x) ≤ − x − v

x − u (f (x) − f (u)) ⇒ Φ

(u) ≤ Φ

(v) Croissance des taux entraîne convexité Soit x et y dans I (on peut supposer x < y ) et λ ∈]0, 1[ . On pose

u

= x + λ(x − y) . On vérie alors facilement que

Φ

(x) ≤ Φ

(y) ⇒ f (x) ≤ λ(f (y) − f (x))

La proposition suivante n'est pas au programme de MPSI mais se déduit facilement de la croissance des taux.

Proposition. Soit f une fonction convexe dans un intervalle I et ˚ I l'intervalle privé de ses extrémités.

f est continue dans ˚ I

f est dérivable à droite (dérivée f

) et à gauche (dérivée f

) dans ˚ I f

et f

sont croissantes et vérient

∀(x, y) ∈ ˚ I

tels que x < y : f

(x) ≤ f

(x) ≤ f (y) − f (x)

y − x ≤ f

(y) ≤ f

(y) 2. Cas des fonctions dérivables

Dans cette partie, f est une fonction continue et dérivable dans I . Proposition. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes

f est convexe f

est croissante

le graphe de f est au dessus de ses tangentes

Remarque. Dans le cas où la fonction est deux fois dérivable dans I , elle est convexe si et seulement si la dérivée seconde ne prend que des valeurs positives.

Preuve. Ici f est dérivable, on utilisera la caractérisation de la convexité par la croissance des taux. Avant de prouver les implications, remarquons que le graphe de f est au dessus de ses tangentes se traduit par :

∀(x, y) ∈ I

: f (y) ≥ f (x) + f

(x)(y − x)

Fig. 5: Le graphe d'une fonction convexe est au dessus de ses tangentes

Convexité entraîne dérivée croissante. Soit x et y deux éléments dans I tels que x < y . Pour tout u et v dans ]x, y[ tels que u < v , on peut écrire :

Φ

(x) ≤ Φ

(v) = Φ

(u) ≤ Φ

(y)

Par passage à la limite dans l'inégalité quand u → x dans ]x, y[ , on obtient :

∀v ∈]x, y[ : f

(x) ≤ Φ

(y)

Par passage à la limite dans l'inégalité quand v → y dans ]x, y[ , on obtient : f

(x) ≤ f

(y)

Dérivée croissante entraîne graphe au dessus de ses tangentes. Soit x et y dans I avec x 6= y . D'après l'inégalité des accroissements nis entre x et y puis en exploitant la croissance de f

f

(min(x, y)) ≤ f (y) − f (x)

y − x ≤ f

(max(x, y)).

Si x < y alors y − x > 0 et on utilise l'inégalité de gauche. Si y < x alors y − x < 0 et on utilise l'inégalité de droite. Dans les deux cas on aboutit à :

f(y) ≥ f (x) + f

(x)(y − x)

Graphe au dessus de ses tangentes entraîne convexité. Soit y un élément quelconque de I . On veut mon- trer que Φ

est croissante. Le point important est que la dérivabilité de f entraîne la possibilité de prolonger Φ

par continuité en y . On pose donc Φ

(y) = f

(y) . En revanche Φ

n'est dérivable que dans I \ {y} avec :

∀x ∈ I \ {y} : Φ

(x) = 1

(x − y)

(f

(x)(x − y) − f (x) + f (y)) ≥ 0

car le graphe est au dessus de ses tangentes. La croissance dans chaque intervalle de dérivabilité et la continuité dans l'intervalle complet entraîne la croissance des Φ

donc la convexité de f .

Exemples. Pour x > 0 : ln

(x) = −

donc ln est concave et − ln est convexe.

Écrire l'inégalité de convexité avec n réels x

, · · · , x

strictement positifs et tous les coecients égaux à

En changeant les signes et en composant par l'exponentielle qui est croissante, on obtient (x

. · · · x

)

≤ x

+ · · · + x

n g ≤ a

avec

a = x

+ · · · + x

n g = (x

· · · x

)

h = n

1 x

+ · · · + 1 x

Si on pose y

=

i

dans l'inégalité de convexité, on obtient

− ln 1

n 1

y

+ · · · + 1 n

1 y

≤ + 1

n ln(y

) + · · · + 1 n ln(y

)

En composant par l'exponentielle qui est croissante, on obtient la comparaison entre les moyennes des y

mais tous ces nombres sont quelconques. Donc :

h ≤ g

Dans [0,

] , la fonction − sin est convexe. En écrivant les propriétés de position du graphe par rapport à une corde et une tangente, on obtient :

2

π x ≤ sin x ≤ x