ARTheque - STEF - ENS Cachan | Le dessin perspectif

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LE DESSIN PERSPECTIF

_{par Mr R IBREAU} professeur en classes de Mathématiques Supérieures et spéciales au lycée Sr-Louis - PAR IS Notre Collègue nous propose un article qui se rapporte plus particulièrement aux enseignements professés dans ces classes de préparation aux concours des grandes écoles. Imposé par la nature des sujets proposés cet enseignement est encore actuellement presqu'exclusivement orienté vers la repré-sentation de solides avec une certaine prédilection pour le dessin perspectif.

Mr Ribreau a mis au point un cours à la fois théorique et pratique qui peut apporter une aide à ses collègues enseignant en math-sup, et math-spé. et aux autres.

DESSIN PERSPECTIF - DESSIN GEOMETRAL 1/ PROJECTION CONIQUE - PROJECTION CYLINDRIQUE (oblique, orthogonale) 11/ Projection conique:

12/ Projection cylindrique:

~~,~

,

Soient T un plan appelé plan de projection,

Œ

un point appelé centre de projection, M un point quelconque de l'espace,

alors

DE

Ms'appelle la projetante du point M, et le point m ou elle rencontre le plan T est la projection coni-que (ou centrale) du point M sur le plan T.

La projection m est nommée aussi perspective car m est l'image de M pour un oeil placé en

Of.

Le point

Œ

est alors le point de vue, le plan T est le tableau et les projetantes sont des rayons perspectifs.

Tout point M situé dans un plan parallèle au tableau et contenant le point de vue (soit le plan de vue) a une pers-pective rejetée à l'infini.

Une projection conique dont le centre s'éloigne à l'infini

dan~une direction ~ devient une projection cylindrique.

Si ~ n'est pas perpendiculaire à T, la projection est dite oblique.

Si S) est perpendiculaire à T la projection est dite ortho-gonale.

Soit Œ l'œil d'un observateur qui regarde une surface ~.

Les rayons perspectifs (visuels) tangents à la surface forment un cône circonscrit appelé cône de contour apparent ; sa ligne de contact

e

avec la surface est le contour apparent de la surface relatif au point Œ ; sa trace c ' sur un tableau T est la perspective de

e.

Le lecteur établira de lui-même les conclusions relatives aux projections cylindriques.

trace

=

intersection avec T. 13/ Principe de projection d'un objet.

131/ Un objet est formé par l'intérieur d'un ensemble de surfaces. La projection d'un objet se ré-duità la projection des contours et des intersections des surfaces.

Les intersections des surfaces sont encore appelées arêtes.

Par principe les arêtes et contours vus seront représentés en traits continus (cf CH. III) et les arêtes et contours cachés seront représentés en traits interrompus (cf CH. III).

132/ Contours apparents des surfaces.

OC

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-28-2/

LES DIFFÉRENTES VUES D'UN OBJET. 21/ Repérage.

Soit un objet lié à un repère orthonormé E (OXYZ) de l'espace. Ayant figuré le repère projeté e (oxvz) sur un tableau T, on détermine chaque point M de l'objet par ses trois coordonnées.

Si

rr

est un vecteur caractérisant une normale du plan T, Si

r7

est un vecteur directeur de

:J),

on peut définir les directions de T et.:l>dans le repère E par les cosinus directeurs de"'t et

n".

Soient respectivement sur OX-OY-OZ : (a, b,

cl

et a', b', c',) avec a 2 + b2 + c2 = 1 et a,2 + b,2 +c,2= 1 22/ Classification --J>-

-

~ n'· n' n' 1 concourants oblique /

..L

enŒ T T

~~

_n _n' , b' ,

_n'II

_n ai' i' ci a', b', c'

T

J..

ox

1, .0, 0 perspective perspective vues

~

T .i, OY 0, 1, 0 conique cavalière géométrales

T

..L

OZ 0, 0, 1

CI>_

""O~

- c

T perspective ~!5!_+-'0.

oblique a, b, c axone- cCI>

dans E métrique E of- CI>

--

Cl C CIl .c_(,) T

Il

OX 0, b, c vues _Il

T

Il

OY a, 0, c obliques T

Il

OZ a, b, 0

De préférence, la projection d'un axe vertical du repère E est parallèle àune direction de référence du plan T ; soit le plus souvent un des bords de la feuille caractérisant le plan T.

3/ LES DIFFERENTES REPRÉSENTATIONS D'UN OBJET.

311Les dessins perspectifs:

Perspective conique: bandes dessinées - peintures - sculptures - gravures - photographies (l'"Vvision monoculaire) .

Perspective cavalière: page Perspective axonométrique: page

Vue oblique : elle peut être un dessin perspectif montrant seulement deux faces principales de l'objet.

Les perspectives cavalières, axonométriques et les vues obliques sont employées pour le dessin d'architecture et de machines.

321Les projections cotées :

La méthode des projections cotées consiste à définir un objet de l'espace par sa projection orthogo-nale sur un plan T, accompagnée de cotes numériques qui mesurent algébriquement les distances des points de l'objet à ce plan. '

Cette méthode est employée en topographie et dans l'industrie par le charpentier.

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-29-33/ Le dessin géométral (plan industriel) : page

Pour définir simplement l'objet, il suffit de choisir deux projections orthogonales sur deux plans perpendiculaires. Il est souvent utile d'adjoindre en plus, une (des) coupe (s) ou/et une (des) projec-tions (s) auxiliaire Is).

L'ensemble des projections ainsi obtenues selon une disposition imposée forme le dessin géométral. L'ensemble des méthodes qui permettent de construire le dessin géométral constitue la géométrie descriptive.

Tous les dessins définis ci-dessus sont exécutés avec précision en s'aidant d'instruments. 34/ Le croquis: page

Le croquis est un dessin réalisé rapidement au crayon, sans aide d'instrument.

Il est employé surtout pour relever sur place, dans un atelier ou sur un chantier, les formes et les dimensions (ou cotes) d'un objet, ou pour donner un ordre d'exécution lorsqu'il s'agit d'un objet isolé et que le temps manque.

PERSPECTIVE CAVALIERE

1 • DEFINITION

Etant donné un plan T de l'espace appelé tableau, on appellera projection oblique m" du point M : l'intersection de la droite passant par M et parallèle à une direction fixe ~,avec T.

Si M appartient à une figu re à représenter, on peut le rapporterà un repère orthonormé dont les trois directions peuvent être: trois arêtes, trois axes, une arête et deux axes, une arête un axe et une direction choisie. Si une direction du repère est perpendiculaireà T, la projection oblique de la figure s'appelle perspective cavalière.

2· PERSPECTIVE CAVALIERE DU REPERE (Figure 1)

z

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-30-4 - RELATION ENTRE

- L'origine se projette obliquement en 01'

- Si on repère la direction ;[) par les angles

1

et

e

tels que:

'r

=

(OX, OX')

et

e

=

(OZ,

OZ")

avec OX'

J..

3J ,

--.

~

les axes se projettent dans T suivant un repère plan où l'on définit l'angle 0( = (01 x1' 01z1) tel que

0<

=

rr/2

+

't' .

Par convention un des axes du repère plan sera représenté verticalement sur le tableau. - Les normes

--- .... -;-t-_{1, J, "} _{se transforment en u1' v1' w1 et on a: u1}- - - - ---11>---:+₌ ₁

--4>0

-rl-v1

=

J

Il'W1r

=

1/tg

~

où

a

=

(Tt/2 .

e)

représente l'inclinaison de

J)

/T.

-

--

--On définit les vecteurs unitaires i₁= u1,j1 = v1,k₁ = w1 t g

r

3 - PERSPECTIVE CAVALIERE D'UN POINT M (X, Y, Z)

---.

On projette obliquement le vecteur OM selon le vecteur 01 m 1 de composantes dans le repère plan: x1

=

X

Y1

Y

avec k

=

1/tg'6' z1

=

kZ

ET k : AUCUNE

o

«0<. «

2Tl et 0

«

'6'

«

1112

L'indépendance des paramètres introduit diverses représentations d'une même figure dans une position donnée par rapport à T ;

ainsi pour un cube, si

rx..

est fixé et ~ variable on obtient la FG. 2a si

ex

est variable et

l'

fixé on obtient la FG. 2b.

FIGURE 2a

_ .

-~

,

1

G

, I f

_ll;

.

~1i

_ - . J \ 1 1

f

₁ l', _{1 1 1}

_f

_101i

\T-T

1 : , ₁ i-l..l.+L

r·

1 " 1

FIGURE 2b

' 1 1

Il

1 I,.,L,,- -'Lt-LI-~_{-3 1}

₁₁₀

'{.., LL

FIGURE

3

')0 ' - ,r_{{.'Î -}1 1 '-Li \1

Ç2J

'L

,

-:

o \

x

1

-1 \ z1

Tl

5 -

ECHELLE

«e»

DE LA PERSPECTIVE CAVALIERE

-A l'échelle «e» ona, OM'

=

- - * "

---01 m'1

=

e 01 m1' Soient:

-e OM, par conséqu-ent dans l-e r-epèr-e plan on a,

X' e X x'1

=

e X Y'

=

e Y y'1

=

e Y Z'

=

e Z z'1

=

e k Z 31 -A SUIVRE Sur bulletin nO 16