Un modèle épidémique structuré par âge pour la transition démographique

(1)

transition démographique

∗

Hisashi Inaba

† ‡

Ryohei Saito

§

Ni olas Ba aër

¶

Résumé

Onproposedans etarti leunmodèleépidémiquestru turéparâgepour

latransitiondémographique.Lesnormes ulturellesqui onduisentàune

fé onditéplusbassesonttransmisesentreindividusdelamêmemanière

quelesmaladiesinfe tieuses.Onformuled'abordlemodèledebase omme

unproblèmedeCau hyabstraithomogènedansunespa edeBana hpour

démontrerl'existen e,l'uni itéetle ara tèrebienposédessolutions.Puis

onétudiel'existen edesolutionsexponentielles nontriviales.Onétudie

ennlastabilité linéairedusystèmeprèsdes solutionsexponentiellesen

utilisant la roissan eexponentielleasyn hrone.Onformulela ondition

destabilitéenutilisantlanotiondereprodu tivité.

Mots- lés:systèmedynamiquehomogène,transitiondémographique,

mo-dèlesépidémiques.

1 Introdu tion

PendantlesXVIII

e

etXIX

e

siè les,lestauxdemortalitédanslespays

déve-loppésd'Europeet d'Amériquedunordontbaisséave le progrèsé onomique

et le développement industriel.Les indi es defé ondité ommen èrentà

bais-ser un peu plus tard; au XX

e

siè le, es pays ont eu des taux de mortalité

et desindi es de fé onditétrès bas,de sorteque lestauxde roissan ede es

populations baissèrent fortement. On appelletransition démographique le

passage du ouple (mortalité, fé ondité) de (élevée, élevée) à (faible, élevée)

puisà(faible, faible).Depuislandelase ondeguerremondiale,despaysen

voiededéveloppementontaussi onnuunetransitiondémographique.Certains

experts avaientprédit queles populations sestabiliseraientaprès latransition

∗

Anage-stru tured epidemi modelfordemographi transition, J.Math.Biol.77(2018)

1299-1339.

†

Départementdemathématiques,UniversitédeTokyo,3-8-1KomabaMeguro-kuTokyo

153-8914Japon, ourriel:inabams.u-tokyo.a .jp(auteur orrespondant)

‡

HisashiInabaareçulesoutiendeMEXTkakenhi.

§

Rei-FrontierIn .,KSBuild.301,2-26-8Taito,Taito-kuTokyo110-0016Japon.

¶

InstitutdeRe her hepourleDéveloppement,CampusdesCordeliers,Paris,Fran e.

(2)

supplémentairede l'indi edefe ondité.Onappellese ondetransition

démo-graphique ettebaissesousleseuilderempla ementetletauxde roissan e

négatifquil'a ompagne (Fig.1).

population

millions

temps

indice

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

80

90

100

110

120

130 1960

1980

2000

2020

2040

Figure1Axede gau he: populationpassée(triangles)et projetée( er les)

duJapon de1950 à 2050(sour e : INED/Nations Unies, 2015). Comparaison

ave lemodèlesimplesansstru tured'âge(enrouge).Axededroite:indi ede

fé ondité.

L'hypothèsebien onnuedelamodernisationinsistesurlefaitquelefaible

indi e de fé ondité résulte de l'adaptation des individus au monde moderne,

'est-à-direàl'industrialisation, àl'urbanisation et auxstandardsédu atifs et

familiaux.D'un autre té, lathéorie de ladiusion pour latransition

démo-graphiquesupposequelesnouvellesnormes ulturellesquidiminuentlenombre

desnaissan espeuventêtretransmisesdesindividus àbassefé ondité(les

in-fe tés) aux individus traditionnels ave une fé ondité élevée (les

sus ep-tibles). Dans l'arti le présent, on propose un modèle épidémique stru turé

parâgepourexpliquerlatransitiondémographiqueenutilisantlathéoriedela

diusion[14,13℄.

Pourillustrerlesprin ipaux aspe tsdeladynamique detransmissiondans

unepopulation roissanteoudé roissante, onsidéronstoutd'abordle assimple

indépendantdel'âge.Soit

S(t)

lenombred'individusave unefé onditéélevée, 'est-à-direlessus eptibles,autemps

t

.Soit

I(t)

lenombred'individusave une faiblefé ondité, 'est-à-direlesinfe tés,autemps

t

.Le systèmesansstru ture parâgepourlatransitiondémographiqueestunsystèmehomogènede Lotka

(3)











dS(t)

dt

= λ

1 S(t) −

βS(t)I(t)

S(t) + I(t)

,

dI(t)

dt

= λ

2 I(t) +

βS(t)I(t)

S(t) + I(t)

,

(1)

où

λ

1

et

λ

2

sontlesparamètresmalthusienspourlespersonnes sus eptibleset infe tées; on a

λ

1 > λ

2

tandis que

β > 0

est le oe ient de transmission. Onsupposequelafor ed'infe tionest donnéeparlaloihomogène

βS/N

ave

N = S + I

, et que la diéren e entre les paramètres malthusiens reète la diéren edefé ondité( 'est-à-direonnégligeladiéren edemortalité)

1

.

Onétudielemodèle(1)danslase tion2.Ilyaessentiellementdeux as:

si

β < λ

1 − λ

2

, alors la population sus eptible roît asymptotiquement omme

e

λ

1 t

, la population infe tée roît ou dé roît asymptotiquement

omme

e

(β+λ

2 )t

,desortequelafra tioninfe téetendvers0;

si

β > λ

1 − λ

2

, alorslapopulationsus eptible roîtou dé roît asympto-tiquement omme

e

(λ

1 −β)t

,lapopulationinfe tée roîtoudé roît

asymp-totiquement omme

e

λ

2 t

,desortequelafra tioninfe téetendvers1.

Onajustelesparamètres

λ

1

,

λ

2

et

β

auxdonnéesdepopulationduJapon:voir lagure1,où

λ

1 =

0,012paran,

λ

2 = −

0,005par an,

β =

0,12par an,

t = 0

orrespondàl'année1950,

N (0) =

82,474millionset

I(0)/N (0) = 1%

.

À partir de la se tion 3, on étend les observations i-dessus à un modèle

stru turéparâge; 'estlesujetprin ipalde etarti leet elapermetdes

om-portementsplus omplexes.Enparti ulier,ilyauntroisième asnondégénéré

oùlesfra tionssus eptiblesetinfe tées roissentoudé roissenttouteslesdeux

asymptotiquement omme

e

λt

ave

λ

1 > λ > λ

2

et où la fra tion infe tée onvergeversunnombrestri tement omprisentre0et 1.

2 Le modèle sans stru ture par âge

Lesystème(1)adeuxsolutionsexponentiellestriviales,

(S, I) = (N (0)e

λ

1 t

_{, 0)}

et

(S, I) = (0, N (0)e

λ

2 t

₎

, qui orrespondent respe tivement à une population

omplètement sus eptible et à une population omplètement infe tée. Notons

que ontrairementaux modèlesépidémiques traditionnels,les personnes

infe -téespeuventpersistersanslessus eptibles.On adon deux problèmes

d'inva-sion:soitlesinfe tésenvahissentlapopulationsus eptible,soitlessus eptibles

envahissentlapopulationinfe tée.

Considéronslaprévalen e

v(t)

déniepar

v(t) :=

I(t)

S(t) + I(t)

.

1. Letauxdemortalitéde haquepopulationest

µ > 0

et

λ

j

=

m

j

− µ

ave

m

1 > m

2

,où

m

j

estletauxdenatalitédela

j

e

(4)

Alors

u(t) := 1 − v(t)

est laproportion de sus eptibles. On voit que

v

vérie l'équationlogistique

v

′

= −hv + hv

2 ,

où

h := λ

1 − λ

2 − β

. Supposons que

0 < v(0) < 1

. La solution de l'équation diérentielleest

v(t) =

1 (1/v(0))e

ht

_{+ (1 − e}

ht

₎

.

Don

v(t) →

0 si β < λ

1 − λ

2 ,

1 si β > λ

1 − λ

2 ,

quand

t → +∞

.Dans le as dégénéréoù

β = λ

1 − λ

2

, on a

v(t) = v(0)

pour tout

t ≥ 0

.

Soit

N (t) = S(t)+I(t)

lapopulationtotale.Lestauxasymptotiquesde rois-san e de lapopulationtotale et des sous-populations infe tées et sus eptibles

sontdonnésdansle asnondégénérépar

N

′

_(t)

N (t)

= λ

1 (1 − v(t)) + λ

2 v(t) →

λ

1 si β < λ

1 − λ

2 ,

λ

2 si β > λ

1 − λ

2 ,

I

′

_(t)

I(t)

= λ

2 + β(1 − v(t)) →

λ

2 + β

si β < λ

1 − λ

2 ,

λ

2 si β > λ

1 − λ

2 ,

S

′

_(t)

S(t)

= λ

1 − βv(t) →

λ

1 si β < λ

1 − λ

2 ,

λ

1 − β

si β > λ

1 − λ

2 ,

quand

t → +∞

.Lagure2présente esdiérents as.

Onpeutformulerla onditiondeseuilpourlapopulationinfe tée( elleave

unefé onditéfaible)enutilisantunindi e d'invasion :

R

₂

₌

β

λ

1 − λ

2 .

(2)

Si

R

2 > 1

,alorslatransitiondémographiquealieu.Si

R

2 < 1

,alorslapopulation ave une fé ondité faible est éliminée enproportion et latransition

démogra-phique n'a pas lieu. En eet, l'équation linéarisée du système pour

(u, v)

au point

(1, 0)

est

v

′

_{= −hv = (λ}

1 − λ

2 )(R

2 − 1)v

.Letauxde roissan einitialde lafra tionave unefé onditéfaibleestpositif, 'est-à-dire

(1, 0)

est instable,si etseulementsi

R

2 > 1

.

D'unautre té,l'équation linéariséedusystèmepour

(u, v)

aupoint

(0, 1)

est

u

′

_{= hu = (λ}

1 − λ

2 − β)u = −(λ

1 − λ

2 )(R

2 − 1)u

. On on lut que

(0, 1)

estinstablesietseulementsi

R

2 < 1

,desortequelatransitiondémographique inverseseproduit si

R

2 < 1

.Ainsiil n'yapasde asbistable(oubi-instable). Commeonverra i-dessous, en'estpasle aspourlemodèlestru turéparâge.

Vu diéremment,l'équation variationnelleprèsdelasolutionexponentielle

triviale

(S, I) = (N (0)e

λ

1 t

_{, 0)}

s'é rit

x

′

=

λ

1 −β

x

,

(5)

λ

2 < 0

λ

2 > 0

0

20

40

60

80

100 120 140 160 180

200

0

200

400

600

100

300

500

700

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

200

400

600

100

300

500

700 β < −λ

2 β < λ

1 − λ

2

0

20

40

60

80

100 120 140 160 180

200

0

200

400

600

100

300

500

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 20 000

40 000

60 000

10 000

30 000

50 000

70 000

−λ

2 < β < λ

1 − λ

2 λ

1 − λ

2 < β < λ

1

0

20

40

60

80

100 120 140 160 180

200

0

100

20

40

60

80

120

140

160

0

20

40

60

80

100 120 140 160 180

200

0 1 000

200

400

600

800 1 200

1 400

λ

1 − λ

2 < β

λ

1 < β

Figure2Populationsus eptible

S(t)

ennoir,populationinfe tée

I(t)

enbleu etpopulationtotale

N (t)

enrougeenfon tiondutemps

t

.Conditioninitiale:

N (0) = 100

,

I(0)/N (0) = 10%

.Colonnedegau he:

λ

1 =

0,01,

λ

2 = −

0,01

< 0

,

β ∈ {

0,005

;

0,015

;

0,05

}

(de haut en bas). Colonne de droite :

λ

1 =

0,02,

(6)

où

(x, y)

estletermedeperturbation.Si

β + λ

2 < 0

,alorslapopulationinfe tée nepeutpas roître.Si

β ∈] − λ

2 , λ

1 − λ

2 [

,alors lasolutionexponentielle sans infe tionestdéstabilisée,maislapopulationinfe téeestéradiquéeenproportion

dela population totale : il ya extin tion relative. Si l'on introduit le tauxde

natalité

m

j

et letauxdemortalité ommun

µ

telsque

λ

j

= m

j

− µ

,alors ette onditions'é rit

R

˜

0,2

< 1 < R

0,2

où

R

0,2

=

m

2 + β

µ

,

R

˜

0,2

=

m

2 + β

m

1 .

(4)

I i

R

0,2

estlareprodu tivitédelapopulationave une fé ondité faibleet

R

˜

0,2

est la reprodu tivité pour la prévalen e de la population ave une fé ondité

faibledans lesystèmenormalisé.Biensûr,

R

˜

0,2

> 1

siet seulement si

R

2 > 1

, ar esontles onditionsd'invasionpourl'étatstationnairesansinfe tiondans

lesystème normalisé.

Inversement, si

R

0,2

< 1 < ˜

R

0,2

, alors

λ

1 < λ

2 + β < 0

, la transition démographiquealieubienquelesdeuxpopulationsaientdestauxde roissan e

négatifs(ilyaendémi itérelative).

De lamêmemanière,l'équation variationnelleprèsdelasolution

exponen-tielletriviale

(S, I) = (0, N (0)e

λ

2 t

₎

est

x

′

y

′

=

λ

1 − β

0 β

λ

2 x

y

.

(5)

Introduisonslesreprodu tivités

R

0,1

=

m

1 µ + β

,

R

˜

0,1

=

m

1 m

2 + β

.

(6)

Si

R

˜

0,1

< 1 < R

0,1

, alorslasolution omplètementinfe tée (ave une fé ondité faible)estdéstabilisée,maislapopulationave unefé onditéélevéeestéradiquée

enproportion.Don latransition démographiqueinversen'apaslieu.

Inversement,si

R

0,1

< 1 < ˜

R

0,1

, alorslapopulationenvahissante ave une fé onditéélevéedé roît,maiselle roîtenproportion.Don latransition

démo-graphiqueinversealieu.

Ces al uls montrentque lesu ès de l'invasion n'implique pas

né essaire-mentl'endémi itédelapopulationenvahissantedansnotresystèmehomogène.

(7)

Considérons maintenant le modèle épidémique stru turé par âge pour la transitiondémographique:











∂p

1 (t, a)

∂t

+

∂p

2 (t, a)

∂a

= −(µ(a) + π(t, a))p

1 (t, a),

∂p

2 (t, a)

∂t

+

∂p

2 (t, a)

∂a

= π(t, a)p

1 (t, a) − µ(a)p

2 (t, a),

p

1 (t, 0) =

Z

∞

0 m

1 (a) p

1 (t, a) da,

p

2 (t, 0) =

Z

∞

0 m

2 (a) p

2 (t, a) da,

(7)

où

m

1 (a)

est le taux de fé ondité par âge de la population sus eptible (ave une fé onditéélevée),

m

2 (a)

est letaux defé ondité par âgede lapopulation infe tée(ave unefé onditébasse)et

µ(a)

estletaux ommundemortalitépar âge.Supposons que lafor e d'infe tion ulturelle

π(t, a)

soit donnéeparlaloi homogène

π(t, a) :=

1 N (t)

Z

∞

0 β(a, σ) p

2 (t, σ) dσ,

où

N (t) :=

Z

∞

0 n(t, a) da,

estlapopulationtotale,

n(t, a) := p

1 (t, a) + p

2 (t, a)

estladensitéparâgedela populationet

β(a, σ)

est le oe ientde transmissionentrepersonnes sus ep-tiblesd'âge

a

etpersonnesinfe téesd'âge

σ

.

Soit

ℓ(a)

laprobabilitédesurviejusqu'àl'âge

a

,déniepar

ℓ(a) = exp

−

Z

a

0 µ(σ)dσ

,

etsoit

Φ

j

(a) := m

j

(a)ℓ(a)

lafon tiondereprodu tionnettedela

j

e

population.

Onsupposeque

m

1 (a) > m

2 (a),

desorteque

R

1 > R

2

,où

R

j

:=

Z

∞

0 m

j

(a)ℓ(a)da

estlareprodu tivitépourla

j

e

population.

Letauxde roissan eintrinsèque

λ

j

(

j = 1, 2

)estlara ineréelledominante del'équation ara téristiquedeLotka[17,18℄:

Z

∞

0 e

−λ

j

a

_Φ

(8)

Don

λ

1 > λ

2

.Onfaitleshypothèseste hniquessupplémentaires:

Hypothèse1. 1.

λ

1 > λ

2 > −µ

,où

µ := inf

a∈R

+

µ(a) > 0

. 2. Supposons que

m

j

∈ L

1 +

(R

+

) ∩ L

∞

+

(R

+

)

,

µ ∈ L

∞

+

(R

+

)

et qu'il existe

β

1 ∈ L

1 +

(R

+

) ∩ L

∞

+

(R

+

)

et

β

2 ∈ L

∞

+

(R

+

)

tels que

β

1 (a)β

2 (σ) ≤ β(a, σ) ≤

κβ

1 (a)β

2 (σ)

ave

κ > 1

, et tels que

β

1

et

β

2

soient des points quasi-intérieursde

L

1 +

.De plus,supposonsque

lim

h→0

Z

∞

0 |β(a + h, σ) − β(a, σ)|da = 0 uniform´ement pour σ ∈ R

+

.

Soit

p(t) = (p

1 (t, ·), p

2 (t, ·))

T

. On onsidère lesystème ommeun système

dynamiquehomogèneabstraitdans

X := L

1 _{(R) × L}

1 _(R)

:

dp

dt

= Ap(t) + F (p(t)),

p(0) = p

0 ,

(8)

où

A

estlegénérateurinnitésimald'un

C

0

-semi-groupepositifdénipar

(Aφ)(a) =







−

dφ

1 da

(a) − µ(a)φ

1 (a)

−

dφ

2 da

(a) − µ(a)φ

2 (a)







etave ledomaine

D(A) :=

φ ∈ W

1,1

(R

+

) : φ

j

(0) =

Z

∞

0 m

j

(a)φ

j

(a)da

,

et

F : X

+

→ X

est unopérateurnonlinéairedonnépar

F (φ)(a) :=

−π(a|φ)φ

1 (a)

π(a|φ)φ

1 (a)

,

où

φ = (φ

1 , φ

2 ) ∈ X

+

,

kφk

X

:=

R

∞

0 (|φ

1 (a)| + |φ

2 (a)|)da

et

π(a|φ) :=

1 kφk

X

Z

∞

0 β(a, σ)φ

2 (σ)dσ.

Alors

F

esthomogènede degréun, 'est-à-dire

F (αφ) = αF (φ)

pour

α > 0

et

F (0) = 0

.

Lemme3.1. L'opérateurhomogène

F

estglobalementlips hitziensur

X

+

etil existe

ǫ > 0

telque

(I + ǫF )(X

+

) ⊂ X

+

.

Démonstration. D'abord,observonsque

π(a|z) ≤ |β|

∞

:= sup

(a,σ)∈R

+

×R

+

|β(a, σ)|

pour tout

z ∈ X

+

. Puis

z

1 − ǫπ(a|z

2 )z

1 ≥ (1 − ǫ|β|

∞

)z

1

.Choisissons

ǫ

telque

1 − ǫ|β|

∞

> 0

. Alors

(I + ǫF )(X

+

) ⊂ X

+

. Posons

|φ|

1 :=

R

∞

0 |φ(σ)|dσ

pour

φ ∈ L

1 _(R

+

)

.Pour

z, w ∈ X

+

, observonsque

|π(a|z

)z

− π(a|w

)w

|

≤

z

1 −

w

1 _¯

β|z

|

+

|w

1 |

1 β|z

¯

− w

|

(9)

≤ ¯

β

|z

1 − w

1 |

1 |z

2 |

1 kzk

X

+ kw − zk

X

|z

2 |

1 |w

1 |

1 kzk

X

kwk

X

+ |z

2 − w

2 |

1 |w

1 |

1 kwk

X

≤ ¯

β

|z

1 − w

1 |

1 + kw − zk

X

|w

1 |

1 kwk

X

+ |z

2 − w

2 |

1 |w

1 |

1 kwk

X

,

oùnousavonsutilisélesrelations

z

1 kzk

X

−

w

1 kwk

X

₁

≤

|z

1 − w

1 |

1 kzk

X

+ |w

1 |

1

1 kzk

X

−

1 kwk

X

et

|kzk

X

− kw

_

X|| ≤ kz − wk

X

pourtout

z, w ∈ X

+

.Don

|π(a|z

2 )z

1 − π(a|w

2 )w

1 |

1 ≤ ¯

β(|z

1 − w

1 |

1 + kz − wk + |z

2 − w

2 |

1 ) = 2 ¯

βkz − wk

X

,

e qui implique que

kF (z) − F (w)k

X

≤ 4 ¯

βkz − wk

X

. Ainsi lafon tion

F

est globalementlips hitzienne.

Proposition 1. Soit

p

0 ∈ X

+

.Alorsleproblème de Cau hy (8)a uneunique solution intégrée

2

p(t) ∈ X

+

qui dénit un semi-groupe

S(t)

tel que

p(t) =

S(t)p

0

et

S(t)(X

+

) ⊂ X

+

.

Démonstration. À la pla e de l'équation originale (6), onsidérons l'équation

équivalente:

dp

dt

=

A −

1 ǫ

p +

1 ǫ

(I + ǫF )p.

Onsaitbienquelasolutionintégréede etteéquationestunesolution ontinue

del'équationintégrale

p(t) = e

−

1 ǫ

t

e

At

f

₀

+

1 ǫ

Z

t

0 e

−

1 ǫ

(t−s)

e

A(t−s)

[p(s) + ǫF p(s)]ds,

oùla onstante

ǫ

est hoisiede sorteque

1 − ǫ ¯

β > 0

.Puisque la perturbation nonlinéaireestglobalementlips hitzienne,lasolutionglobalede etteéquation

intégralepeutêtre onstruiteparitérationpositive:

p

0 (t) = p

0 ,

p

n+1

(t) = e

−

1 ǫ

t

e

At

p

₀

+

1 ǫ

Z

t

0 e

−

1 ǫ

(t−s)

e

A(t−s)

[p

_n

(s) + ǫF p

_n

(s)]ds.

La positivité de

e

At

et

I + αF

nous permet de démontrer par itération que

p

n

∈ X

+

.Commel'opérateur

F

estlips hitzien,lasuite

p

n

(t)

onvergeversune solutionintégréelo aleet positive

p(t) ∈ X

+

.Ilexistedesnombres

M ≥ 1

et

ω

telsque

ke

At

_{k ≤ M e}

ωt

,desorteque

kp(t)k

X

≤ M e

(ω−

1 ǫ

)t

kp

₀

k

X

+

M K

ǫ

Z

t

0 e

(α−

1 ǫ

)(t−s)

kp(s)k

X

ds,

2. Pour la dénition d'unesolution intégrée, voir:A. Du rot, P.Magal, S.Ruan, Une

introdu tion auxmodèlesdedynamiquedepopulationsstru turéesenâgeetauxproblèmes

(10)

où

K := kI + ǫF k

.Onpeutdémontreraussil'estimation:

kp(t)k

X

≤ kp

0 k

X

e

(ω−

1−M K

ǫ

)t

.

Puisque lanormede lasolution lo ale roît auplusexponentiellementave le

temps,on aenfait une solutionglobale.Ainsion peutdénir unsemi-groupe

S(t)

par

S(t)p

0 = p(t)

.

4 Existen e et stabilité des solutions exp

onen-tielles

Ilest lairquel'origineestunpointd'équilibretrivialde(6),quiestinstable

si

λ

1 > 0

et stablesi

λ

1 < 0

.Étantdonnél'homogénéitédusystèmedebase,si

p

∗

estunéquilibre de(6), alors

p(t) = cp

∗

l'estaussipourtout

c > 0

. Ainsiil nepeut yavoird'équilibreattra tifnontrivial.Pourlesystèmehomogène,on

s'intéresseprin ipalementauxsolutionsexponentiellespersistantes,quijouentle

mêmerlequelessolutionsstationnairesdessystèmesdynamiquesnonlinéaires

etnonhomogènes.

Comme[7℄,introduisonslesystèmenormalisé.Soit

θ

lafon tionnellelinéaire bornéede

X

dans

R

dénie par

hθ, zi :=

Z

∞

0 (z

1 (a) + z

2 (a))da,

z = (z

1 , z

2 ) ∈ X,

quidonnelapopulationtotalesi

z ∈ X

+

.Don

hθ, z(t)i > 0

si

z(0) ∈ X

+

\ {0}

. Introduisonsdenouvellesfon tionsquidonnentleprol parâge:

w

1 (t, a) =

p

1 (t, a)

hθ, p(t)i

,

w

2 (t, a) =

p

2 (t, a)

hθ, p(t)i

,

et

w(t) := (w

1 (t, ·), w

2 (t, ·)) ∈ Γ := {φ ∈ X

+

: hθ, φi = 1},

où

Γ

estl'espa edesprolsparâge.

Onpeutrempla erlesystème(6)parlesystèmenormalisé:

dw

(11)

∂w

1 ∂t

+

∂w

1 ∂a

= − µ(a)w

1 (t, a) − w

1 (t, a)

Z

∞

0 β(a, b)w

2 (t, b) db

− w

1 (t, a)

Z

∞

0 [m

1 (b) − µ(b)]w

1 (t, b) db

− w

1 (t, a)

Z

∞

0 [m

2 (b) − µ(b)]w

2 (t, b) db ,

∂w

2 ∂t

+

∂w

2 ∂a

= − µ(a)w

2 (t, a) + w

1 (t, a)

Z

∞

0 β(a, b)w

2 (t, b) db

− w

2 (t, a)

Z

∞

0 [m

1 (b) − µ(b)]w

1 (t, b) db

− w

2 (t, a)

Z

∞

0 [m

2 (b) − µ(b)]w

2 (t, b) db ,

ave les onditionsaubord

w

1 (t, 0) =

Z

∞

0 m

1 (a) w

1 (t, a) da ,

w

2 (t, 0) =

Z

∞

0 m

2 (a) w

2 (t, a) da .

Le système normalisé a une unique solution intégrée globale

S(t)w

0

, et

Γ

est positivementinvariantpar rapport ausemi-groupe

S(t), t ≥ 0

. Si

w

0 ∈ D(A)

, alors

S(t)p

0

devientunesolution lassique.Ilrésulte de(10)que

d

dt

hθ, wi = hθ, (A + F )w(t)i(1 − hθ, w(t)i).

Ainsi

hθ, w(t)i = 1 − (1 − hθ, w(0)i)e

−

R

0 t

hθ,(A+F )w(s)ids

,

d'oùl'on on lutque

S(t)(Γ) ⊂ Γ

pourtout

t > 0

.Sil'onutiliselasolution

w(t)

dusystèmenormalisé(10),lasolution

p(t)

dusystèmededépartestdonnéepar

p(t) = w(t) exp

Z

t

0 hθ, (A + F )w(s)ids

hθ, z(0)i.

Ainsileproblèmeoriginal est réduitàunproblèmedans l'espa e

Γ

desprols parâge.

Notez que

hθ, (A + F )wi

est une forme linéairesur

X

. Si l'on introduit la formelinéaire

H

de

X

+

→ R

déniepar

H(φ) :=

Z

∞

0 [(m

1 (a)−µ(a))φ

1 (a)+(m

2 (a)−µ(a))φ

2 (a)]da,

φ = (φ

1 , φ

2 ) ∈ X

+

.

etsi

w

estunesolutiondusystèmenormalisé,alors

H(w(t))

donneleparamètre malthusien pourlapopulationtotale:

H(w(t)) = hθ, Aw + F (w)i =

1 hθ, p(t)i

dhθ, p(t)i

(12)

nentiellespersistantes.Soit

w

∗

_{∈ Γ}

unéquilibredusystèmenormalisé.Alorson

aleproblèmedevaleurproprenon linéairesuivant:

λ

∗

w

∗

= Aw

∗

+ F (w

∗

),

w

∗

∈ D(A) ∩ Γ,

(10) où

λ

∗

_{= hθ, (A + F )w}

∗

_i

.Ilest lairque

e

λ

∗

t

_w

∗

est une solutionpersistante du

systèmededépart.Inversement,s'ilexisteune solutionexponentielle

e

λ

∗

t

_z

∗

du

systèmehomogène(8),alors

λ

∗

et

w

∗

_{= z}

∗

_{/hθ, z}

∗

_i

doitvérier(10),etdon

w

∗

estunéquilibredusystèmenormalisé.

Pourdémontrerla stabilité linéairede lasolutionexponentielle,laformule

d'Eulerpourlesystème homogèneest ru iale[20℄.

Proposition2. Si

F

estdiérentiableausensde Fré het en

x ∈ X

+

,alorson ala formuled'Euler

F

′

_{[x]x = F (x)}

,où

F

′

_[x]

estla dérivéede Fré het en

x

.De plus,

F

′

_{[x] = F}

′

_[cx]

pour tout

c > 0

.

Démonstration. Supposons que

F

soitdiérentiableau sensde Fré heten

x ∈

X

+

.Pour

h ∈ X

+

et

c > 0

,posons

G

c

(h) := F (cx+ h)− F (cx)− F

′

_[x]h

.Comme

F

est diérentiable au sens de Fré het en

x

, il existe une fon tion ontinue roissante

L : R

+

→ R

+

telle que

L(0) = 0

et

kG

1 (h)k

X

≤ L(khk

X

)khk

X

pour

h ∈ X

+

. Ave l'homogénéité, ona

G

c

(h) = cG

1 (h/c)

pour

h ∈ X

+

et

c > 0

. Ainsisi

h = x

, ona

F (cx + x) − F (cx) − F

′

_{(x)x = F (x) − F}

′

_{[x]x = G}

c

(x) = cG

1 (x/c).

Alors

kF (x) − F

′

_[x]xk

X

≤ L(

kxk

c

X

)kxk

X

, e qui implique que

F

′

_{[x]x = F (x)}

par e qu'on peut hoisir

c

arbitrairement grand.La fon tion omposée

F (cx)

est aussi diérentiable au sens de Fré het en

x

, don il existe une fon tion ontinue roissante

L : R

˜

+

→ R

+

telle que

L(0) = 0

˜

et

kF (c(x + h)) − F (cx) −

F

′

_[cx]chk

X

≤ ˜

L(khk

X

)khk

X

pour

h ∈ X

+

.Ave l'homogénéité,ona

kF (x + h) − F (x) − F

′

_[cx]hk

X

≤ ˜

L(khk

X

)khk

X

/c.

Comme

kF (x + h) − F (x) − F

′

[x]hk

X

≤ L(khk

X

)khk

X

,

onobtient

kF

′

_{[cx]h − F}

′

_[x]hk

X

≤ ˜

L(khk

X

)khk

X

/c + L(khk

X

)khk

X

.Alors

kF

′

_[cx](h/khk

X

) − F

′

[x](h/khk

X

)| ≤ ˜

L(khk

X

)/c + L(khk

X

),

equiimpliqueque

F

′

_{[cx]h = F}

′

_[x]h

si

khk

X

= 1

.Comme

F

′

_[cx]

et

F

′

_[x]

sont

touslesdeuxdesopérateurslinéaires,ona

F

′

_{[cx] = F}

′

_[x]

.

Ainsi,si

F

est diérentiableau sensde Fré hetau pointd'équilibre

w

∗

du

systèmenormaliséave

(A+F )w

∗

_{= λ}

∗

_w

∗

,alors

w

∗

estunve teurproprepositif

del'opérateurlinéaire

(13)

asso iéàlavaleurpropre

λ

∗

,et

B

estindépendantdesmultipli ateurss alaires positifspour

w

∗

.

Dansuneséried'arti les[4,5,6℄,Hadeleretses ollaborateursontdéveloppé

unethéoriedessystèmesdynamiqueshomogènes.Laméthodedenormalisation

aenparti ulierétéutiliséepourunsystèmeendimensioninnieparIannelliet

Mart heva[7℄.

Soit

ζ(t) := w(t) − w

∗

_{∈ X}

θ

:= {ζ ∈ X : hθ, ζi = 0}

. Alors le système normalisés'é rit ommeuneéquationdans

X

θ

:

dζ(t)

dt

= Bζ(t) − hθ, Bζ(t)iw

∗

_{− λ}

∗

_{ζ(t) + G(ζ(t))}

= Cζ(t) + G(ζ(t)),

(11) où

Cζ := Bζ − hθ, Bζiw

∗

− λ

∗

ζ,

estunopérateurlinéaireet

G(ζ)

estletermed'ordredeux,ave

kG(ζ)k

X

/kζk

X

→

0

quand

ζ → 0

.

Lemme4.1.

X

θ

estinvariant par

C

,

e

tC

et

G

.Si

ζ(0) ∈ X

θ

,alors la solution intégréede (13)est lasolution de l'équation intégrale dans

X

θ

:

ζ(t) = e

Ct

_{ζ(0) +}

Z

t

0 e

C(t−s)

G(ζ(s))ds.

(12)

Démonstration. Onvoitfa ilementque

hθ, Cζi = 0

,

hθ, Gζi = 0

si

ζ ∈ X

θ

,don

C

et

G

laissent

X

θ

invariant.Considérons l'équation

(λ − C)z = (λ + λ

∗

)z − Bz + hθ, Bziw

∗

= f ∈ X

θ

,

pour

λ ∈ ρ(C)

où

ρ(C)

estl'ensemblerésolvantde

C

.Alors

(λ+λ

∗

_{)hθ, zi = 0}

, e

quimontreque

z ∈ X

θ

par eque

ℜ(λ + λ

∗

_{) > 0}

.Don ona

(λ − C)

−1

_X

θ

⊂ X

θ

. Ave l'approximationdeYosidapour

e

tC

,onsaitque

e

tC

_X

θ

⊂ X

θ

.

Si pour tout

ǫ > 0

, il existe

δ > 0

tel que

kζ(t)k

X

< ǫ

pour tout

t >

0

lorsque

kζ(0)k

X

< δ

, alors on dit que

w

∗

est stable. Si

w

∗

est stable et

lim

t→∞

kζ(t)k

X

= 0

quand

kζ(0)k

X

< δ

′

pourun

δ

′

_{> 0}

,alorsonditque

w

∗

est

asymptotiquementstable. Ondit que

w

∗

est instables'il n'estpasstable. Une

solutionexponentielledusystèmededépartestditestable(ausensdeHadeler

[5℄)sil'équilibre orrespondantdusystèmenormaliséestlo alementstable.On

dit qu'elle est instable si l'équilibre orrespondant du système normalisé est

instable.

Pourtout opérateur linéaire

T

, on note

ρ(T )

l'ensemble résolvantde

T

et

P

σ

(T )

lespe trepon tuel de

T

. Soit

C

θ

larestri tion de

C

à

X

θ

, 'est-à-dire

C

θ

= C

sur

D(C

θ

) = {φ ∈ D(C) ∩ X

θ

: Cφ ∈ X

θ

}

.Alors

C

θ

est legénérateur innitésimald'unsemi-groupefortement ontinu

e

tC

θ

sur

X

θ

.

Lemme4.2. Soit

λ

∗

unevaleurproprede

B

asso iéeà

w

∗

ave unemultipli ité

algébrique égaleàun. Alors

P

σ

(C) \ {−λ

∗

_{} = P}

σ

(C

θ

)

.

(14)

Démonstration. Ave ettehypothèse,

−λ

∗

estunevaleurproprede

C

asso iée à

w

∗

, ave une multipli ité algébrique égaleàun. Supposons que

Cx = λx

et

λ 6= −λ

∗

.Alors

hθ, Cxi = −λ

∗

_{hθ, xi = λhθ, xi}

.Ainsiona

(λ + λ

∗

_{)hθ, xi = 0}

, e

qui montre

hθ, xi = 0

par e que

λ + λ

∗

_{6= 0}

. Ainsi

P

σ

(C) \ {−λ

∗

_{} ⊂ P}

σ

(C

θ

)

. D'un autre té,on a

P

σ

(C

θ

) ⊂ P

σ

(C)

et

−λ

∗

n'estpasune valeurproprede

C

θ

par eque l'espa epropreasso ié est dedimension un,engendré par

w

∗

et

w

∗

_{∈ X}

_/

θ

.

Soit

T

un opérateur linéaire fermé dans l'espa e de Bana h omplexe

X

. Le spe tre essentiel de

T

, noté

E

σ

(T )

, est l'ensemble des

λ ∈ σ(T )

tels que au moins l'une des onditions suivantes soit satisfaite : (i)

Im(λ − T )

n'est pas fermé; (ii)

λ

est dans l'adhéren e de

σ(T )

; (iii)

N

λ

(T )

est de dimension innie, où

N

λ

(T )

est l'espa e propregénéralisé de

T

parrapport à

λ

, 'est-à-direlepluspetitsous-espa eferméde

X

qui ontient

∪

∞

k=1

Ker((λ − T )

k

)

.Soit

ω

0 (A)

la borne de roissan e d'un semi-groupe fortement ontinu

e

At

, dénie

par

ω

0 (A) := lim

t→∞

t

−1

_log(ke

At

_k)

. Onpeut montrer ([18℄, proposition 4.13)

que

ω

0 (A) = max

(

ω

1 (A),

sup

λ∈σ(A)\E

σ

(A)

ℜλ

)

,

où

E

σ

(A)

est le spe tre essentiel de

A

. La borne de roissan e essentielle est

ω

1 (A) := lim

t→∞

t

−1

log(α[e

At

])

,où

α[T ]

est lamesuredenon- ompa itéd'un opérateurlinéaireborné

T

.Si

λ ∈ σ(A)\E

σ

(A)

,alors

λ

estunplede

(λ−A)

−1

et

λ

estdanslespe trepon tuel

P

σ

(A)

([19℄, proposition2.1). L'équationlinéariséede(12)est

ζ

′

_{= Cζ}

.Onpeutdon utiliserlaproposition

4.13de[18℄pourobtenirla on lusionsuivante:

Proposition3.Si

ω

0 (C

θ

) < 0

,alors

w

∗

estasymptotiquementstable.S'ilexiste

λ

†

∈ σ(C

θ

)

telque

ℜλ

†

> 0

et

max

(

ω

1 (C

θ

),

sup

λ∈σ(C

θ

)\(Eσ(C

θ

)∪{λ

†

})

ℜλ

)

< ℜλ

†

,

alors

w

∗

estinstable.

Pourle système dynamique homogène (6) , en utilisant le on eptof

rois-san eexponentielleasyn hronedeWebb[3,19,20℄,onpeutdonnerune

ondi-tionsimpledestabilité.

Dénition4.3. Soit

T (t), t ≥ 0

,unsemi-groupefortement ontinud'opérateurs linéairesbornés dansl'espa ede Bana h

X

.Alors

T (t)

,

t ≥ 0

,aune roissan e exponentielleasyn hroneave letauxde roissan eintrinsèque

λ ∈ R

s'ilexiste unopérateur

P

de rang undans

X

telque

lim

t→∞

e

−λt

_{T (t) = P}

,où la limite

estdansla topologiede la norme d'opérateurs.

(15)

Proposition4. Supposonsquel'opérateurlinéarisé

B = A + F

′

_[w

∗

_]

soitle

gé-nérateurinnitésimald'unsemi-groupefortement ontinud'opérateurslinéaires

bornés,

T (t)

,

t ≥ 0

, etqu'il y aitune roissan e exponentielleasyn hrone telle que

lim

t→∞

e

−λ

∗

_t

T (t) = P

,où

P

est unopérateur de rangundans

X

.Alorsil existe

δ > 0

telque, si

x ∈ U

δ

:= {x ∈ X

+

\{0} : k(I − P )xk

X

/kP xk

X

< δ}

, alors

Qx := lim

t→∞

e

−λ

∗

_t

p(t)

existe,où

Qx ∈ Im(P )

et

Qx 6= 0

.

Ave lerésultat i-dessus,onobtientune onditionsusantepourlastabilité

dessolutionsexponentielles:

Proposition 5. Un équilibre

w

∗

_{∈ Γ}

est asymptotiquement stable au sens de

Hadeler si

B = A + F

′

_[w

∗

_]

aune roissan e exponentielleasyn hrone ave un

tauxde roissan e intrinsèque

λ

∗

.

Démonstration. Supposonsque

B = A+F

′

_[w

∗

_]

soitlegénérateurd'un

C

0

-semi-groupe

T (t)

,

t ≥ 0

, et qu'il existeun opérateurde rang un

P

dans

X

telque

lim

t→∞

e

−λ

∗

_t

T (t) = P

.Alors

P

estuneproje tionsurl'espa epropreengendré par

w

∗

et

T (t)P = P T (t) = e

λ

∗

t

_P

. D'après la proposition 4, il existe

δ > 0

telque si

x ∈ U := {x ∈ X

+

\{0} : k(I − P )xk

X

/kP xk

X

< δ}

alorsla limite

Qx := lim

t→∞

e

−λ

∗

t

_p(t)

existe ave

p(0) = x

,

Qx ∈ Im(P )

et

Qx 6= 0

.Soit

K

lanormed'opérateurde lafon tionnelle

θ

ave

|hθ, φi| ≤ Kkφk

X

pour

φ ∈ X

. Supposons que

kw(0) − w

∗

_k

X

< ǫ < 1/(2K)

pour

w(0) ∈ Γ

. Observonsque

kP (w(0)−w

∗

_)k

X

≤ kw(0)−w

∗

k

X

< ǫ

,

k(I −P )w(0)k

X

≤ ǫ+kP (w(0)−w

∗

_)k

X

<

2ǫ

et

kP w(0)k

X

≥ kw(0)k

X

− k(I − P )w(0)k

X

> K

−1

_{− 2ǫ > 0}

, par e que

P w

∗

_{= w}

∗

et

Kkw(0)k

X

≥ |hθ, w(0)i| = 1

. Alors

w(0) ∈ U

δ

si l'on hoisit

δ =

_1−2ǫK

2ǫK

.Considéronslesystèmeoriginal(6)ave la onditioninitiale

p(0) =

w(0)

. D'après notre hypothèse,

Qw(0) := lim

t→∞

e

−λ

∗

t

_p(t)

existe,

Qw(0) ∈

Im(P ) \ {0}

et

Im(P )

estengendréepar

w

∗

.Ainsi

lim

t→∞

w(t) = lim

t→∞

p(t)

hθ, p(t)i

=

Qw(0)

hθ, Qw(0)i

= w

∗

_,

equiimpliqueque

w

∗

estasymptotiquementstabledanslesystèmenormalisé.

On peut étendre l'idée de roissan e exponentielle asyn hrone aux

semi-groupesnonlinéaires[3℄.Inversement,sil'onsupposel'existen ed'unéquilibre

exponentiellement asymptotiquement stable dans le système normalisé, alors

p(t)

alo alementune roissan eexponentielleasyn hrone:

Proposition 6. Soit

z(0)

une ondition initiale non triviale. Si un équilibre

w

∗

_{∈ Γ}

estexponentiellement asymptotiquement stabledans lesystème

norma-lisé,alors ilexiste

C > 0

telque

lim

t→∞

e

−λ

∗

t

_{p(t) = Cw}

∗

sileprolparâge de

p(0)

estsusammentpro he de

w

∗

.

Démonstration. Supposonsqu'ilexiste

M > 0

et

ǫ > 0

telsque

kw(t) − w

∗

_k

X

≤

M e

−ǫt

_{kw(0) − w}

∗

_k

X

si

kw(0) − w

∗

_k

X

< δ

. Supposons

kw(0) − w

∗

_k

X

< δ

et posons

F (t) := −λ

∗

t +

Z

t

0 H(w(s))ds =

Z

t

0 H(w(s) − w

∗

)ds.

(16)

|F (u) − F (v)| ≤

Z

v

u

|H(w(s) − w

∗

)|ds

≤ sup

j,a

|m

j

(a) − µ(a)|

M

ǫ

|e

−ǫu

_{− e}

−ǫv

_{|kw(0) − w}

∗

_k

X

,

equimontreque

lim

t→∞

F (t) = F (∞)

existe. Par onséquent,

lim

t→∞

e

−λ

∗

t

_{p(t) = lim}

t→∞

w(t) exp

Z

t

0 H(w(s) − w

∗

)ds

hθ, p(0)i

= w

∗

e

F

(∞)

hθ, z(0)i.

Ce i montre que

p(t)

aune roissan e exponentielle asyn hroneave un taux intrinsèquede roissan e

λ

∗

.

5 Existen e de solutions exponentielles

Lesystème(2)adeuxsolutionsexponentiellestrivialesqui orrespondentà

deséquilibres sur le borddu système normalisé.Si

p

2 = 0

, alors il existe une solutionexponentielletrivialetelle que

p

∗

1 (t, a) = e

λ

1 t

w

1 (a),

w

1 (a) := (c

1 (a), 0),

où

c

1 (a) :=

e

−λ

1 a

_ℓ(a)

R

∞

0 e

−λ

1 x

ℓ(x)dx

est le prol par âge stable de la population sus eptible (ave une fé ondité

élevée).D'unautre té,si

p

1 = 0

,alorsilexisteuneautresolutionexponentielle trivialetelleque

p

∗

2 (t, a) = e

λ

2 t

w

2 (a),

w

2 (a) := (0, c

2 (a)),

où

c

2 (a) :=

e

−λ

2 a

ℓ(a)

R

∞

0 e

−λ

2 x

ℓ(x)dx

estleprolparâgestabledelapopulationinfe tée(ave unefé ondité basse).

5.1 Rédu tion à un problème de point xe

Notre problème fondamental est maintenantde déterminer si un équilibre

positif

(u

∗

_{, v}

∗

_{) > 0}

(17)

Soit

w

∗

_{= (u}

∗

_{, v}

∗

_{) ∈ Γ}

unéquilibrepositif.Ilrésultede(10)que

du

∗

_(a)

da

= −H

∗

_u

∗

_{(a) − (µ(a) + π}

∗

_(a))u

∗

_(a),

dv

∗

_(a)

da

= −H

∗

_v

∗

_{(a) − µ(a)v}

∗

_{(a) + π}

∗

_(a)u

∗

_(a),

u

∗

_{(0) =}

Z

∞

0 m

1 (a)u

∗

(a)da,

v

∗

(0) =

Z

∞

0 m

2 (a)v

∗

(a)da,

où

π

∗

_{(a) :=}

Z

∞

0 β(a, σ)v

∗

_(σ)dσ,

_H

∗

_{= H(w}

∗

_).

Ainsiona

u

∗

(a) = u

∗

(0)ℓ(a)e

−H

∗

a−

R

0 a

π

∗

_(z)dz

,

v

∗

(a) = v

∗

(0)ℓ(a)e

−H

∗

a

+ e

−H

∗

a

ℓ(a)(1 − e

−

R

0 a

π

∗

_(z)dz

)u

∗

(0).

(13) Notonsque

d

da

(u

∗

_{(a) + v}

∗

_{(a)) = −(µ(a) + H}

∗

_)(u

∗

_{(a) + v}

∗

_(a)),

d'oùilrésulteque

u

∗

(a) + v

∗

(a) = (u

∗

(0) + v

∗

(0))ℓ(a)e

−H

∗

a

_.

Ave la ondition

|w

∗

_|

1 = 1

,ona

(u

∗

_{(0) + v}

∗

₍₀₎₎

Z

∞

0 ℓ(a)e

−H

∗

_a

da = 1.

(14) Comme

u

∗

_{(0) =}

R

∞

0 m

1 (a)u

∗

_(a)da

, il résulte dela onditionau bord pour

u

∗

que

1 =

Z

∞

0 m

1 (a)ℓ(a)e

−H

∗

_a−

R

a

0 π

∗

_(σ)dσ

da.

(15)

Puisque(15)auneuniquera ineréelle

H

∗

pour haque

π

∗

,onpeutdénirune

fon tion ontinue

Ψ : L

1 _{→ R}

telleque

H

∗

_{= Ψ(π}

∗

₎

vérie(15).Autrementdit,

pourtout

φ ∈ L

1 +

(R

+

)

,ona

1 =

Z

∞

0 m

1 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a−

R

a

0 φ(σ)dσ

da,

d'où

Ψ(φ) ≤ λ

1

et

Ψ(0) = λ

1

.

(18)

Enmultipliantpar

m

2

desdeux tésdel'équationpour

v

∗

dans(13)eten intégrantde0à

∞

, onobtient

v

∗

(0)

1 −

Z

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−H

∗

_a

da

= u

∗

(0)

Z

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−H

∗

_a

(1 − e

−

R

0 a

π

∗

_(ζ)dζ

)da.

Ave (14), onobtient

u

∗

(0) =

R

∞

1

0 ℓ(a)e

−Ψ(π

∗

_)a

da

1 −

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(π

∗

_)a

da

1 −

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(π

∗

_)a−

R

a

0 π

∗

(z)dz

da

,

v

∗

(0) =

R

∞

1

0 ℓ(a)e

−Ψ(π

∗

_)a

da

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(π

∗

_)a

(1 − e

−

R

a

0 π

∗

_(z)dz

)da

1 −

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(π

∗

_)a−

R

a

0 π

∗

(z)dz

da

.

En utilisant (13)et ladénition de

π

∗

, on obtientune équation depointxe

pourlafor ed'infe tionin onnue

π

∗

:

π

∗

_{(a) = G(π}

∗

_)(a),

où

G

est unopérateurnonlinéairede

L

1 _(R

+

)

danslui-mêmedénipar

G(φ)(a) :=

Z

∞

0 β(a, σ)b

0 (φ)ℓ(σ)e

−Ψ(φ)σ

h

g

2 (φ) + (1 − e

−

R

σ

0 φ(z)dz

)g

₁

(φ)

i

dσ.

Lesfon tions

g

j

(j = 1, 2)

de

L

1 +

(R

+

)

dans

R

sontdéniespar

g

1 (φ) :=

1 −

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a

_da

1 −

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a−

R

a

0 φ(z)dz

da

,

g

2 (φ) :=

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a

_{(1 − e}

−

R

a

0 φ(z)dz

)da

1 −

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a−

R

a

0 φ(z)dz

da

,

ave

φ ∈ L

1 +

et

b

0 (φ) :=

1 R

∞

0 ℓ(a)e

−Ψ(φ)a

da

.

Notonsque

g

1 (φ) + g

2 (φ) = 1

.

Lemme5.1. L'opérateur

G

estpositifetdénipourtout

φ ∈ L

1 +

(R

+

)

.Deplus, on a

G(U ) ⊂ M

0

,où

U := {φ ∈ L

1 +

(R) : Ψ(φ) ≥ λ

2 }

et

M

0 := {φ ∈ L

1 +

(R) :

|φ|

∞

≤ |β|

∞

, |φ|

1 ≤ κ|β

1 |

1 |β

2 |

∞

}

.

Démonstration. Observonsque,pour

φ ∈ L

1 +

,

1 −

Z

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a−

R

a

0 φ(z)dz

da

> 1 −

Z

∞

m

(a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a−

R

a

φ(z)dz

da = 0,

(19)

equimontrequeledénominateurde

g

j

estpositif.Deplus,pour

φ ∈ L

1 +

(R

+

)

, ona

g

2 (φ) + (1 − e

−

R

σ

0 φ(z)dz

)g

₁

(φ) = 1 − g

₁

(φ)e

−

R

σ

0 φ(z)dz

.

D'un autre té, on a

g

1 (φ) = 1 − g

2 (φ) ≤ 1

par e que

g

2 (φ) ≥ 0

. Ainsi

1 −

g

1 (φ)e

−

R

σ

0 φ(z)dz

≥ 0

,etl'onpeut on lureque

G(φ) ≥ 0

.Deplus,si

φ ∈ D(G)

,

ona

1 −

Z

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a

da ≥ 1 −

Z

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−λ

2 a

da = 0.

Ainsi

g

1 (φ) ≥ 0

et

g

2 (φ) + (1 − e

−

R

σ

0 φ(z)dz

)g

1 (φ) ≤ 1,

equiimpliqueque

G(φ) ∈ M

0

.

Soit

G

′

_[0]

ladérivéedeFré hetàl'origine.Alors,pour

φ ∈ L

1 +

,

(G

′

[0]φ)(a) = b

0 (0)

Z

∞

0 β(a, σ)ℓ(σ)e

−λ

1 σ

_dσ

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−λ

1 a

R

a

0 φ(z)dzda

1 −

R

∞

0 m

2 (a)ℓ(a)e

−λ

1 a

da

+ b

0 (0)

Z

∞

0 β(a, σ)ℓ(σ)e

−λ

1 σ

Z

σ

0 φ(z)dzdσ,

où

b

0 (0) =

1 R

∞

0 ℓ(a)e

−λ

1 a

da

.

Pourmontrer l'existen e d'unéquilibre positif, onutilise une te hniquede

pointxesemblableà elle deKrasnoselskii([12℄,théorème4.11).

Proposition 7. Supposons que

λ

1 − λ

2 > |β|

∞

:= sup

(a,σ)∈R

+

×R

+

|β(a, σ)|

et

r(G

′

[0]) > 1

.Soit

M

ǫ

:= {φ ∈ L

1 +

: |φ|

1 ≤ (1 + ǫ)C, |φ|

∞

≤ (1 + ǫ)|β|

∞

},

où

C := κ|β

1 |

1 |β

2 |

∞

et

ǫ > 0

est hoisidesorteque

λ

1 − λ

2 > (1 + ǫ)|β|

∞

.Alors

G

aaumoinsunpointxe positif

φ

∗

dans

M

0

telque

g

j

(φ

∗

_{) > 0}

pour

j = 1, 2

.

Démonstration. Si

φ ∈ M

ǫ

,alors

Ψ(φ) ≥ λ

1 − (1 + ǫ)|β|

∞

> λ

2

, par eque

Z

∞

0 m

1 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a−(1+ǫ)|β|

∞

a

≤

Z

∞

0 m

1 (a)ℓ(a)e

−Ψ(φ)a−

R

a

0 φ(z)dz

da

= 1 =

Z

∞

0 m

1 (a)ℓ(a)e

−λ

1 a

da.

Don

M

ǫ

⊂ U

. Il résulte du lemme 4.1 que

G(M

ǫ

) ⊂ G(U ) ⊂ M

0 ⊂ M

ǫ

. Dénissonsl'opérateur

Ψ

η

dans

L

1 +

ave unparamètre

η ∈ [0, ǫ]

par

G

η

(x) =

(

G(x),

si |x|

1 ≥ η,

(20)

où

v

0

est le ve teur propre positif de

G

′

_[0]

orrespondant à la valeur propre

λ

0 > 1

etpourlequel

v

0 ∈ M

0

.Alors

G

η

estaussipositif, omplètement ontinu dans

L

1

et dénisur

M

ǫ

, ave

G

η

(M

η

) ⊂ M

η

.Puisque

M

η

est borné, onvexe et fermé dans

L

1

, il résulte du théorème de S hauder que

G

η

a unpoint xe

x

η

∈ M

η

.Lanorme

L

1

de

x

η

estplusgrandeque

η

si

η

estassezpetit.Si haque opérateur

G

η

a unpointxe dontla norme

L

1

n'ex ède pas

η

, alors on peut onstruireunesuite

x

n

∈ L

1 +

telleque

0 < |x

n

|

1 ≤ η

n

,où

ǫ > η

1 > η

2 > · · · >

η

n

→ 0

quand

n → ∞

et

G(x

n

)+(η

n

−|x

n

|

1 )v

0 = x

n

.Comme

G

′

_[0]

est ompa t,

onpeutsupposersanspertedegénéralitéque

G

′

_[0](x

n

/|x

n

|

1 )

onvergeversun élément

z ∈ X

+

.Observonsque

η

n

|x

n

|

1 − 1

v

0 =

x

n

|x

n

|

1 −

G(x

n

) − T x

n

|x

n

|

1 − G

′

[0]

x

n

|x

n

|

1 ,

equiimpliqueque

|v

0 |

1 lim sup

n→∞

η

n

|x

n

|

1 − 1

≤ 1 + |z|

1 .

Par onséquent, on peut supposer sans perte de généralité que

η

n

/|x

n

|

1 − 1

onvergeversunnombre

γ ≥ 0

.Lasuite

x

n

/|x

n

|

1

onvergealorsversunve teur

u

0 ∈ X

+

telque

|u

0 |

1 = 1

et

u

0 = G

′

_[0]u

0 + γv

0

.Ainsi

γ > 0

,par eque

G

′

_[0]

n'apasdeve teurpropredans

X

+

ave unevaleurpropreégaleàl'unité.Soit

k

0 := sup Λ

où

Λ := {k ∈ R

+

: u

0 ≥ kv

0 }

. Alors

k

0 > 0

par e que

γ ∈ Λ

. D'un autre té,

u

0 ≥ G

′

_[0](k

0 v

0 ) + γv

0 = (k

0 λ

0 + γ)v

0

, e qui ontredit la dénitionde

k

0

par eque

k

0 λ

0 + γ > k

0

.Ainsiilexiste

η > 0

telque

|x

η

|

1 ≥ η

. Dans e as,

x

η

= G(x

η

) ∈ M

0

, don

x

η

est unpoint xe positif de

G

dans

M

0

.Notonsquelepointxeobtenu i-dessusn'estpaslepointxesurlebord orrespondantà

u

∗

_{= 0}

,puisque

G

1 (φ) > 0

pour

φ ∈ M

ǫ

.

Comme on lemontre dansla se tion 6, lerayonspe tral de

G

′

_[0]

est égal

à eluide l'opérateurde pro hainegénération pourlapopulationave une

fé- ondité basse dans lesystème normalisé,don l'hypothèsede laproposition 7