R=0 N = 10P  P<N P est C et N est C d’après la règle (2)

(1)

A124 – Un algorithme venu du froid

Solution

Le tableau ci-après montre les étapes de l’algorithme pour créer la liste des nombres entiers naturels de 1 à 50 (repérés en bout de chaque ligne par la case jaune). Il apparaît que les nombres se terminant par 8 et 9 sont les plus « coriaces ».

Quand un entier N peut être calculé avec l’algorithme venu du froid (désigné ci-après A) , on dira que N est C (comme calculable).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 2 1

4 2

4 2 24 12 6 3 4

4 2 20 10 5 4 2 24 12 6

4 2 1 14 7

4 2 24 12 6 64 32 16 8 4 2 1 14 144 72 36 18 9 4 2 20 10

4 44 22 11 4 2 24 12

4 2 20 10 104 52 26 13 4 2 1 14

4 2 24 12 6 60 30 15 4 2 24 12 6 64 32 16 4 2 24 12 6 3 34 17 4 2 1 14 144 72 36 18

4 2 24 12 6 60 30 304 152 76 38 19 4 2 20

4 2 24 12 6 64 32 16 8 84 42 21 4 44 22

4 2 1 14 144 72 36 18 184 92 46 23 4 2 24

4 2 20 10 100 50 25 4 2 20 10 104 52 26 4 2 20 10 5 54 27 4 44 22 224 112 56 28

4 2 1 14 144 72 36 18 184 92 46 464 232 116 58 29 4 2 24 12 6 3 30

4 2 24 12 124 62 31 4 2 24 12 6 64 32

4 2 20 10 104 52 26 264 132 66 33 4 2 24 12 6 3 34

4 2 1 14 7 70 35 4 2 1 14 144 72 36 4 2 1 14 7 74 37

4 2 24 12 6 60 30 304 152 76 38 4 2 24 12 124 62 624 312 156 78 39 4 40

4 2 24 12 6 64 32 16 164 82 41 4 2 24 12 6 64 32 16 8 84 42 4 2 24 12 6 3 34 344 172 86 43 4 44

4 2 1 14 144 72 36 18 9 90 45 4 2 1 14 144 72 36 18 184 92 46 4 2 1 14 144 72 36 18 9 94 47

4 2 24 12 6 60 30 304 152 76 38 384 192 96 48 4 2 24 12 124 62 624 312 156 78 784 392 196 98 49 4 2 20 10 100 50

(2)

Supposons qu’il existe un nombre N qui est le plus petit entier qui est non C. Ce nombre N est de la forme 10P+R avec P>4 (voir supra les résultats obtenus pour N=1 à 50).

On va démontrer que quel que soit R=0,1,2, …,9, il y a une contradiction et que N ne peut pas être non C.

On rappelle les règles de A : (1) N est divisé par 2 (2) N est multiplié par 10

(3) N est multiplié par 10 et on ajoute 4 au produit.

R=0

N = 10P  P<N P est C et N est C d’après la règle (2).

R=1

N=10P+1[d’après la règle (1)] 20P+2 est non C [d’après la règle (1)] 40P+4 est non C

[d’après la règle (3)] 4P est non C. Or 4P < 10P +1 P>4.D’où contradiction.

R=2

N=10P+2 [d’après la règle (1)] 20P+4 est non C [d’après la règle (3)] 2P est non C. Or 2P <

10P+2 P>4.D’où contradiction.

R=3

N=10P+3 [d’après la règle (1)] 20P+6 est non C  [d’après la règle (1)] 40P+12 est non C 

[d’après la règle (1)] 80P + 24 est non C [d’après la règle (3)] 8P+2 est non C. Or 8P+2 < 10P+3

P>4.D’où contradiction.

R=4

N=10P+4 [d’après la règle (3)] P est non C. Or P<10P+4. D’où contradiction.

R=5

N=10P+5  [d’après la règle (1)] 20P+10 est non C  [d’après la règle (2)] 2P+1 est non C. Or 2P+1<10P+5 ? D’où contradiction.

R=6

N=10P+6 [d’après la règle (1)] 20P+12 est non C  [d’après la règle (1)] 40P+24 est non C[d’après la règle (3)] 4P+2 est non C. Or 4P+2 < 10P+6. D’où contradiction.

R=7

N=10P+7 [d’après la règle (1)] 20P+14 est non C  [d’après la règle (3)] 2P+1 est non C. Or 2P+1 < 10P+7. D’où contradiction.

R=8

N=10P+8  [d’après la règle (1)] 20P+16 est non C [d’après la règle (1)] 40P+32 est non C

[d’après la règle (1)] 80P+64 est non C [d’après la règle (3)] 8P+6 est non C. Or 8P+6 < 10P+8.

D’où contradiction.

R=9

N=10P+9  [d’après la règle (1)] 20P+18 est non C  [d’après la règle (1)] 40P+36 est non C 

[d’après la règle (1)] 80P+72 est non C  [d’après la règle (1)] 160P+144 est non C  [d’après la règle (3)] 16P+4 est non C. On ne peut pas conclure car 16P+4 est > 10P+9.

Il convient donc de poser P=5Q+i avec i=0,1,2,3,4

(3)

1) P=5Q N=50Q+9  [d’après la règle (1)] 100Q+18 est non C  [d’après la règle (1)] 200Q + 36 est non C  [d’après la règle (1)] 400Q+72 est non C  [d’après la règle (1)] 800Q + 144 est non C  [d’après la règle (3)]80Q+14 est non C  [d’après la règle (3)] 8Q+1 est non C . Or 8Q+1 < 50Q+9.D’où contradiction.

2) P=5Q+1 N=50Q+19  [d’après la règle (1)] 100Q+38 est non C  [d’après la règle (1)]

200Q + 76 est non C  [d’après la règle (1)] 400Q+152 est non C  [d’après la règle (1)]

800Q + 304 est non C  [d’après la règle (3)]80Q+30 est non C  [d’après la règle (2)] 8Q+3 est non C . Or 8Q+3 < 50Q+19.D’où contradiction.

3) P=5Q+2N=50Q+29  [d’après la règle (1)] 100Q+58 est non C  [d’après la règle (1)]

800Q + 464 est non C  [d’après la règle (3)]80Q+46 est non C  [d’après la règle (1)]

40Q+23 est non C . Or 40Q+23 < 50Q+29.D’où contradiction.

800Q + 784 est non C  [d’après la règle (3)]80Q+78 est non C  [d’après la règle (1)]

R=0 N = 10P  P&lt;N P est C et N est C d’après la règle (2)

R=0 N = 10P  P<N P est C et N est C d’après la règle (2)