Exercices d’oral – 2

2021

Préparation aux oraux – 2

Exercice 1

On munit M2(R) du produit scalaire défini par hA | Bi = tr(ATB). Soit F =  a _b −_{b a} ! ∈ M_2(R)    (a, b) ∈ R 2_.

a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M2(R). b. Déterminer le projeté orthogonal de J = 1 1

1 1

!

sur F⊥. c. Calculer la distance entre J et F .

Exercice 2

Soit α > 1. On pose pour tout n ∈ N∗, In(α) =

Z+∞

0

dt (1 + tα₎n.

a. Montrer que In(α) est bien définie.

b. Etablir une relation de récurrence liant In(α) et In+1(α).

c. Déterminer la limite de la suite (In(α))n>1.

d. Montrer l’existence de k(α) > 0 tel que In(α)_n→+∞∼ k(α)

n1/α.

Exercice 3

Soit T une variable aléatoire à valeurs dans N. On suppose que pour tout n ∈ N, P(T > n) > 0. On pose, pour tout n ∈ N, θ_n= P(T = n | T > n).

a. Montrer que les θnsont dans [0, 1[.

b. Exprimer P(T > n) en fonction des θn, puis montrer que la série

X

θ_ndiverge. c. Réciproquement, si (θn) est une suite d’éléments de [0, 1[ telle que la série

X

θ_ndiverge, montrer l’existence d’une variable aléatoire T à valeurs dans N telle que P(T > n) > 0 et P(T = n | T > n) = θnpour tout n ∈ N.

Exercice 4

Pour n ∈ N∗et (a1, . . . , an) ∈ (R ∗ +)non pose : D(a1, . . . , an) =                  a1 −1 0 · · · 0 1 a2 −1 . .. ... 0 1 a3 . .. 0 .. . . .. ... ... −1 0 · · · _{0 1 an}                  et [a1, . . . , an] = a1+ 1 a2+ 1 a3+ · · · + 1 an−1+ 1 an

Montrer que pour tout n > 2 on a [a1, . . . , an] =

D(a1, . . . , an)

D(a2, . . . , an)

.

Exercice 5

Soit a > 0 et X une variable aléatoire telle que E(X) = V (X) = a. a. Donner un exemple de variable aléatoire vérifiant ces conditions. b. Montrer que P(X > 2a) 6 P(X − a + 1)2>_{(a + 1)}2_.

c. Montrer que P(X > 2a) 6 1

a + 1.

Exercice 6

Soit E un espace euclidien muni d’une base (e) = (e1, . . . , en). On considère l’endomorphisme f de E défini par :

∀_{x ∈ E, f (x) =}

n

X

i=1

h_ei |_xiei a. Montrer que f est un automorphisme symétrique de E.

b. Montrer que Sp(f ) ⊂ R∗₊.

c. Montrer qu’il existe un automorphisme symétrique g tel que g ◦ g = f−1. g est-il unique ?

d. Soit g un automorphisme symétrique tel que g ◦ g = f−1. Montrer que (g(e1), . . . , g(en)) est une base orthonormée de E.

Exercice 7

Soit Γ : x 7→ Z+∞

0

tx−1e−tdt.

a. Déterminer le domaine de définition de Γ . b. Soit x > 0. Pour n ∈ N∗on pose Tn(x) =

Z n 0 tx−1  1 − t n n dt. Calculer Tn(x).

c. Montrer que Γ (x) = lim

n→+∞

nxn! x(x + 1) · · · (x + n).

Exercice 8

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N telle que P(X , 0) > 0 et d’espérance finie. On définit une variable aléatoire b

X par : ∀k ∈ N, P(bX = k) =kP(X = k) E(X) .

a. Trouver X lorsque X et bX suivent la même loi.