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Géométrie analytique 2ème Sciences et Informatiques
Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , ,
Exercice 1
On donne les points 1 , 2 ; −1 , 1 et 3 , −2 1) Donner une équation cartésienne de la droite
2) a) Donner une équation cartésienne de la droite ∆ perpendiculaire à et passant par .
b) Vérifier que le point ∈ ∆
c) En déduire la nature du triangle . Exercice 2
Soit les droites ∆ : 2 – 1 – 5 + 3 + 19 + 7 = 0 où est un paramètre réel.
1) Tracer les droites ∆ ; ∆ et ∆ et vérifier qu’elles sont concourantes en un point dont on déterminera les coordonnées.
2) En déduire que toutes les droites de cette famille passent par . 3) Déterminer le réel dans chacun des cas suivant :
pour que
a) La droite ∆ ait pour coefficient directeur 2. b) La droite ∆ a pour vecteur directeur ! = 3" − # .
c) La droite ∆ soit parallèle à la droite $ ∶ + – 3 = 0.
d) La droite ∆ soit perpendiculaire à la droite $ ∶ + – 3 = 0. e) La droite ∆ ait pour vecteur normal ! &−3
2 '. Exercice 3
Soit ζ l’ensemble des points ( , tel que )+ ) − 2 − 6 + 6 = 0. 1) Montrer que ζ est un cercle que l’on déterminera le centre + et le rayon ,. 2) Soit la droite $ d'équation : x + y − 2 = 0.
a) Montrer que ζ et $ sont sécants.
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersections de ζ et $. Exercice 4
Soient ζ = /( , /2( ) + ( ) =
1 )2 et les points 1 , −1 et 0 , 2 . 1) Montrer que ζ est un cercle dont on déterminera le centre + et le rayon ,.
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2) Montrer que I est le barycentre des points pondérés , 2 et , −1 . Exercice 5
Soient les points 1 , 3 , −3 , 0 et −1 , −1 1) a) Faire une figure.
b) Montrer que le triangle est rectangle. 2) a) Vérifier que le point + &−1 ,
)' est le milieu du segment 3 4.
b) En déduire une équation cartésienne du cercle ζ circonscrit au triangle .
3) Montrer que la droite $ d’équation : 4 + 3 − 13 = 0 est tangente au cercle ζ en . 4) a) Déterminer une équation cartésienne de la droite $′ parallèle à et passant par . b) La droite $′ recoupe le cercle ζ en 7, Déterminer les coordonnées du point 7.
Exercice 6
On considère les points −1 , −6 et 3 , 2
1) a) Montrer qu’une équation cartésienne de la droite est 2 − − 4 = 0
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite ∆ passant par 8 est perpendiculaire à
2) Soit C le cercle de diamètre 38 4 a) Donner une équation du cercle C
b) Montrer que C est circonscrit au triangle 8
3) Soit D la droite d’équation : −3 + 2 + 9 = 0. Montrer que D est la tangente au cercle C issue de
4) Soit Dm la droite d’équation = où est un paramètre réel
a) Déterminer pour que Dm soit parallèle à
b) Montrer que Dm est tangente à C si et seulement si = −)
Exercice 7
On considère les points 4 , 2 et 1 , −1
1) Montrer qu’une équation cartésienne de est − − 2 = 0
2) Soit C l’ensemble des points ( , du plan vérifiant : )+ )− 2 − 4 − 4 = 0 a) Montrer que C est un cercle de centre + 1 , 2 et déterminer son rayon
b) Calculer 9:+ , ; et interpréter le résultat obtenu c) Montrer que et appartiennent au cercle C
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2) Soit 7 le symétrique du point par rapport à + a) Donner les coordonnées du point 7
b) Donner une équation cartésienne de la droite < tangente à C en 7
c) Déterminer les coordonnées du point = intersection de < et . Déduire que = ∗ =
Exercice 8
Soit C l’ensemble des points ( , du plan vérifiant : )+ )− 2 − 4 − 15 = 0 1) Montrer que C est un cercle de centre + 1 , 2 et déterminer son rayon
2) Soient les points 5 , 0 et ′ −3 , 4
a) Vérifier que 3 ′4 est un diamètre du cercle C
b) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C et l’axe des abscisses 3) Soit ∆ la droite d’équation 2 − − 10 = 0
a) Vérifier que ∆ est tangente à C en
b) Ecrire une équation cartésienne de la deuxième tangente ∆′ à C est parallèle à ∆ 4) Soit le point 9 , 3 , la droite recoupe le cercle C en un point 7
a) Vérifier que les droites 8 ′ et son perpendiculaires b) En déduire que les points 8, ′ et 7 sont alignés
