Théorie du point fixe et programmation logique

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UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

N° d’ordre 2316

THÈSE DE DOCTORAT

Présentée par

Mlle Sara BOUAMAMA

Discipline : Mathématiques

Spécialité : Mathématiques Appliquées

THEORIE DU POINT FIXE ET PROGRAMMATION

LOGIQUE

Soutenue le 03 Novembre 2006 devant le jury Président :

Mr Aboubakr LBEKKOURI

Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat

Examinateurs :

Mr Ali ALAMI-IDRISSI

Mr Abderrahim BENAZZOUZ

Professeur à l’ENS

Mr Zine-el-abidine GUENNOUN

Mr Ismaïl KASSOU Professeur à l’E.N.S.I.A.S

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Table des matières

Introduction générale... 3

0.1 Positionnement du problème ... 7

0.2 Plan de la thèse ... 9

Bibliographie... 10

Partie 1 THEORIE DU POINT FIXE 1 Espaces métriques généralisés ... 12

1.1- Distances généralisées ... 12 1.1.1 Définitions ... 12 1.1.2 Exemples ... 13 1.2 Hyperconvexité:... 18 1.2.1 Définitions ... 19 1.2.2 Exemples ... 19 1.3 La rétraction : ... 21 1.3.1 Rétractes absolus... 22 1.3.2 Injectivité ... 23

1.3.3 Graphes, ensembles ordonnés et espaces métriques ordinaires ... 25

2 Points fixes dans les espaces ultramétriques... 32

2.1 Introduction... 32

2.2 Les espaces ut ramétriques hyperconvexes ... 33

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Introduction g´en´erale

L’informatique théorique a toujours puisé dans des spécialités mathématiques assez éloignées comme la topologie et les structures métriques mettant en exergue l’utilisation de points fixes d’opérateurs spécifiques. Qu’il s’agisse de programmation impérative (là où l’exécution des programmes indique pas à pas à l’ordinateur la procédure qu’il doit effectuer) ou déclarative (qui consiste à représenter dans un formalisme adéquat les données du problème à partir des-quelles un résultat pourrait être déduit), l’association d’un opérateur mathématique à chaque programme et l’existence de points fixes pour ces opérateurs est sans doute de loin le premier arbitre de la convergence de l’exécution du programme et le meilleur garant de la légitimité des résultats obtenus.

Cette th`ese s’insrit dans cette perspective. Elle se compose de deux parties:

La première partie est consacrée à la théorie des espaces métriques généralisés et étend cette ´

etude aux espaces ultramétriques généralisés en établissant des théorèmes de points fixes que ¸ca soit pour les applications univoques ou multivoques .

La seconde partie présente une investigation de ces résultats en programmation logique. Le principal objectif est de donner la syntaxe des programmes logiques qui admettent des modèles dans le cas non disjonctif et des ensembles de réponses dans le cas disjonctif tout en s’inspirant de la sémantique du plus petit modèle ou la ”clark’s completion semantic”.

La première partie commence par un bref rappel sur les espaces métriques généralisés ( là

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où la distance est à valeurs dans une algèbre de Heyting) et introduite par Jawhari, Misane et Pouzet en 1986 [5]. Le schéma de classification pour ces espaces métriques met en relief les notions de rétraction, d’injectivité et d’hyperconvexité. Ces caractérisations sont d’autant plus pertinentes dans la mesure qu’elles confèrent à la catégorie de ces espaces, la structure de variété (classe close par rétraction et par passage au produit direct).

L’approche métrique s’etend ensuite à la catégorie des structures discrètes telles que les en-sembles ordonnés et les trois classes de garphes (Graphes orientés, graphes orientés symétriques et graphes réflexifs); dans ces cas, ces trois notions coincident comme il apparait clairement dans les théorèmes de B.Banachewski, G.Bruns établis en 1967 [1] et qui plongent ces struc-tures dans des puissances d’ensembles finis par des morphismes bien adéquats. Partant de la constatation que la rétraction conserve la propriété de point fixe dans chacune des catégories choisies, nous pouvons alors déduire les théorèmes de point fixe de A.Tarski [13] pour les ensembles ordonnés et de R.Sine, P.M.Soardi [12] pour les espaces métriques ordinaires. Du coup, le premier chapitre vient amorcer la recherche de points fixes dans des métriques peu ordinaires et qu’on va étendre aux espaces ultramétriques généralisés.

Une distance ultram´etrique est une application d’un ensemble E dans une alg`ebre de Heyting involutive satisfaisant les conditions suivantes:

1◦) d(x,y) = 0 si et seulement si x = y;

2◦) d(x,y) = d(y,x) pour tout x,y appartenant `a E;

3◦) d(x,y)_{≤ d(x,z) ⊕ d(z,y) pour tout x,y et z appartenant `a E.}

Nous allons alors introduire les notions d’hyperconvexité pour ces espaces et qui va nous permettre d’énoncer un nouveau théorème de type Hahn Banach et qui a fait l’objet d’une publication dans ”New Zealand Journal of Mathematics”. Nous allons par la suite voir une extension de ce théorème au cas multivoque et qui a également une forme semblable à la version multivoque du théorème de Hahn Banach pour les applications contractantes. Ces mêmes théorèmes peuvent être formulés pour les ultramétriques munis de la propriété de complétude sphérique, une nouvelle notion qui englobe la première et qui coincide avec elle dans le cas où la distance est à valeurs dans un ensemble totalement ordonné. Ces théorèmes sont une généralisation des théorèmes de Priess-Crampe et Ribenboim [7], [8] et [9] dans le

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cas univoque et multivoque. Les résultats obtenus dans la première partie sont tributaires des approches mathématiques de la programmation logique et qui constituent l’objet de la deuxième partie.

Comme son nom l’indique, la programmation logique est concernée par l’utilisationn de la logique comme langage de programmation. elle a été initiée en 1930 par J.Herbrand au cours de ses recherches sur le calcul des prédicats sur la logique du premier ordre (qui n’utilise pas de quantificateur existentiel sur les prédicats). Elle fut introduite ensuite par J.A.Robinson en 1965 comme principe de résolution. L’année 1970 enregistre les premières utilisations de pratiques par R.Kowalski et A.Colmeauer [6] et [3]. En 1972, P. Roussel et A.Colemeauer présente le premier interprète Prolog à l’université de Marseille. Quant au premier compila-teur Prolog, il fut con¸cu par D.H.D. Warren à l’université d’Edimburg. Les années 1985-1995 furent témoin du projet cinquième génération.

Le paradigme de la programmation logique consiste à spécifier deux lectures ou sémantiques du programme: La première déclarative qui explicite la signification implicite du programme logique et qui répond à la question, le ”que faire” plutôt que ”le comment faire”. En gros, la lecture logique ne fournit aucune information quant à la manière dont le programme, en tant que processus de preuve, s’exécute.

La deuxième lecture du programme est procédurale. L’appel de la procédure se fait par une question. L’exécution du programme revient à donner une preuve et le passage aux paramètres se fait par un mécanisme d’unification ( substitution qui rend tous les termes égaux).

L’aspect fondamental de la programmation logique est une correspondance complète entre les deux sémantiques, déclaratives et opérationnelles. La performance d’un mécanisme d’exécution est évaluée par son comportement face à la spécification prodiguée par la sémantique déclarative. Idéalement, la programmation devrait spécifier uniquement l’aspect logique de l’algorithme, le contrôle devrait alors s’exécuter automatiquement. Malheureusement, cet idéal n’est pas encore atteint par les systèmes actuels..

Par un programme logique, nous désignons un ensemble fini de clauses (on se restreint aux clauses de Horn) i.e de la forme A _{← L}1,L2,...,Lm; où A est un atome (littéral positif ) et

L1,L2,...,Lm sont des littéraux ou prémisses. A est appelé la tête de la clause ”Head”, les

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il admet nécessairement un modèle de Herbrand. La recherche de modèles est du ressort des sémantiques déclaratives. Celles-ci ont pour but de rechercher des modèles minimaux qui donnent le sens explicite d’un programme et qui par ailleurs sont des points fixes d’un opérateur TP associé au programme. Les opérateurs sont définies sur la classe des interprétations

de Herbrand qui est par ailleurs identifiable à l’ensemble des parties de la base de Herbrand BP (Là où les termes ne contiennnent pas de variables (termes clos ou libres). Les éléments

de la base de Herbrand sont appelés atomes libres ou clos ”ground atoms”. A un programme P, on lui fait associer l’opérateur de Van-emden kowalski, [6] [14], Tp défini sur l’ensemble des

interpr´etations de Herbrand Tp :P(Bp)−→ P(BP) par

TP(I) = {A ∈ BP; Il existe une clause dans ground(P)

A_{←− A}1,...An,¬B1,...,¬Bl telle que les (Ai)∈ I et les (Bj) /∈ I}.

L’exemple le plus classique de sémantiques déclaratives en programmation logique est celui du plus petit modèle considéré pour les programmes positifs dits aussi définis. Dans ce cas, la syntaxe est simple. Le programme est constitué par un ensemble de clauses de la forme A _{← A}1,...,Am où les Ai sont des littéraux positifs c’est à dire avec que des littéraux positifs

dans les clauses ). Ceci est illustré par le théorème de Apt, Kowalski et Van emden [14], où lf p(TP) dénote le point fixe minimal de l’opérateur Tp, MP le modèle expecté du programme

P et ω le premier ordinal dénombrable. Ces composantes sont reliées par le théorème suivant. Théorème 1 Pour un programme défini ou postif, nous avons MP = lf p(TP) = TPω(∅)

La preuve de ce théorème repose sur la monotonicité de TP pour les programmes positifs et

de l’application du th´eor`eme de knaster Tarski [13].

Néanmoins, l’opérateur TP n’est plus monotone si on rajoute des littéraux négatifs dans le

corps des clauses .

Dans cette th`ese, nous allons consid´erer une extension des clauses de programmes de fa¸con `

a inclure la négation dans le corps des clauses, les programmes obtenus sont alors appelés pro-grammes logiques normaux. Ce changement de syntaxe, aussi simple soit-il, élargit considérablement le champ de connaissances et d’expressions mais il entraˆıne le problème suivant:

§0.1 Positionnement du probl`eme

7

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(1) L’opérateur TP n’est plus monotone et par conséquent, le théorème de knaster-Tarski

n’est plus appliquable, donc il faut chercher d’autres alternatives pour trouver des points fixes de TP.

(2) Certaines formes du théorème précédent restent appliquables dans le nouveau contexte. Plusieurs approches ont vu le jour dans cette direction incluant les topologies sur les treillis; l’utilisation de métriques et du principe de contraction de Banach ou de métriques pour les applications multivoques dans le cas des programmes logiques disjonctifs [9].

Dans le chapitre 6 et 7 de cette thèse, nous nous proposons de donner une réponse en terme de fonctions niveaux et d’inégalités entre les valeurs de l(A) et l(Ai),l(Bj) dans chaque

ins-tance close A _{← A}1,...,Ak1,¬B1,...,¬Bl1 de chaque clause dans le programme logique nor-mal où l prend des valeurs dans un ordinal dénombrable arbitraire γ (un ordinal est une extension des entiers naturels). Brièvement, P est dit (1) décroissant , respectivement, (2) strictement décroissant, respectivement, (3) semi-strictement décroissant par rapport à une fonction niveau si, respectivement, les inégalités suivantes sont vérifiées pour tout i,j: (1) l(A) _{≥ l(A}i),l(Bj),(2)l(A) > l(Ai),l(Bj),(3)l(A) ≥ l(Ai),l(A) > l(Bj). La classe des

pro-grammes définis par (3) coincident exactement avec la classe des programmes localement stratifiés définis par Przymusinski. Ce dernier auteur propose une sémantique procédurale pour trouver une preuve d’exécution pour ces programmes. La méthode qu’on va adopter est purement topologique. Elle emprunte le pas à celle utilisée par Seda et Hitzler [11], où ils montrent que pour la classe (2), l’opérateur TP est strictement contractant dans le sens

de Sybilla Priess-Crampe et Ribenboim [7], [8] et [9] relativement à un espace ultramétrique et le programme a un modèle supporté unique. Quant à la classe (3), nous montrons qu’en utilisant, le théorème de Van Emden- Kowalski énoncé précédemment , que P admet un modèle supporté minimal. Notre méthode est plus directe et moins encombrante que celles des preuves constructives mentionnées dans [10], [11] et qui incorpore un nombre large de connecteurs, ce qui les rendent inopérables dans le cas disjonctif (avec plus d’un atome dans la tête des clauses). D’ailleurs, elle constitue un bon point de départ pour le dernier cha-pitre qui consiste à trouver des ensenbles de réponses pour des programmes disjonctifs, i.e où les clauses sont de la forme A1,\,...,\,An ← An+1,...,Am,¬B1,...,¬Bl1 auquels nous associons

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l’op´erateur multivoque de Gelfond-Lifchitz [4].

§0.2 Plan de la th`ese

Dans le premier chapitre, nous allons étudier les espaces métriques à valeurs dans une algèbre de Heyting et établir les théorèmes de points fixes dans ces espaces. S’ensuit alors l’introduction des espaces ultramétriques généralisés dans le chapitre 2 où nous allons parler de la notion d’hyperconvexité pour ces espaces et annoncer les théorèms de point fixe. Dans le chapitre 3, nous dotons ces espaces d’une notion plus générale qui est celle de sphériquement complet et nous allons reproduire les théorèmes vus dans le chapitre précédent. La deuxième partie est entamée par un survol de la programmation logique , les sémantiques déclaratives sont abordés dans le chapitre 5 , le chapitre 6 montre l’existence de modèle supporté pour les programmes localements stratifiés et le dernier chapitre est consacré à la recherche d’ensembles de réponse dans le cas disjonctif.

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Bibliographie

[1] B. Banaschewski, G. Bruns, Categorical characterisation of the MacNeille comple-tion, Archiv. der Math. Basel 18 (1967), 369-377.

[2] S. Bouamama, D. Misane, Hyperconvex ultrametric spaces and fixed point theory, New Zealand journal of Mathematics, 34 (2005), 25-29.

[3] A. Colmerauer, H. Kanoui, R. Pasero and P. Roussel, Un syst`eme de communi-cation Homme Machine en Fran¸cais, Technical report, Groupe d’Intelligence Artificielle Universitaire d’Aix-Marseille II, Marseille, 1973.

[4] Michael Gelfond and Vladimir Lifschitz,The stable model semantics for logic programming., Proc. of the Fifth Int’l Conf. and Symp., pages 1070-1080, 1988.

[5] E. Jawhari, Les rétractions dans les graphes Applications et généralisations, Thèse de 3ième cycle, N 1318 (juillet 1983), Lyon.

[6] R. Kowalski, Logic for Problem Solving, North Holland, New york, 1979. [7] S.Priesse-crampe and P. Ribenboim, Fixed points , combs and generalized power

series, Abh. Math. Sem. Univ. Hambourg 63(1993),227-244.

[8] S. Priesse-crampe and P. Ribenboim, Generalized Ultrametric Spaces I,Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 66 (1996), 55-73.

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[9] S. Priesse-crampe and P. Ribenboim, Generalized Ultrametric Spaces II, Abh. Math. sem. Univ. Hamburg 67 (1997), 19-31.

[10] A.K.Seda, Quasi-metrics and the semantics of Logic Programs. Fundamenta Informa-ticae, 29 (1997), 97-117.

[11] Seda, A.K. and Hitzler, P., Topology and Iterates in Computational Logic, Pre-print, November 1997, 24 pages.

[12] P. M. Soardi, Existence of fixed points of nonexpansive mappings in certain Banach lattices, Proc. A.M.S. (1979), 25-29.

[13] A. Tarski, A lattice theoretical fixed point theorem and its applications, Pacific J. Math. 5 (1955), 285-309.

[14] M. H. Van Emden and R. A. Kowalski, The semantics of Predicate Logic as a programming Language, J. ACM, 23 (4), 1976, 733-742.

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1 Espaces métriques généralisés

Nous introduisons ici la notion d’espace métrique à valeurs dans une algèbre de Heyting telle qu’elle a été formulée par M. Pouzet et I.G. Rosemberg [17]. Ensuite, nous parlerons d’hyperconvexité, d’injectivité et de rétraction sur ces espaces que nous allons illustrer par quelques exemples. Nous allons clore ce chapitre par quelques théorèmes de points fixes sur les structures dicrètes et sur les ensembles métriques ordinaires.

§1.1 Distances généralisées:

1.1.1 D´

efinitions

Une algèbre de Heyting consiste en un ensemble H, un ordre _{≤ sur H, une} opération binaire notée _{⊕ tels que:}

H1- (H,≤) est un treillis complet: toute partie X a une borne sup´erieure sup, et une borne

inférieure inf, le plus petit élément de _{H est noté 0 et le plus grand élément est noté 1;} H2- (H,⊕ ,0) est un semi-groupe avec 0 comme élément neutre;

H3- L’op´eration ⊕ est distributive par rapport `a l’ordre:

inf_{xi; i∈ I} ⊕ inf{yj; j ∈ J} = inf{xi⊕ yj; i∈ I,j ∈ J}.

En particulier, l’op´eration_{⊕ est compatible avec l’ordre ≤, i.e. si x ≤ y alors x ⊕ z ≤ y ⊕ z}

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et z_{⊕ x ≤ z ⊕ y pout tout z ∈ H.}

L’algèbre sera dite involutive si H est muni d’une involution qui préserve l’ordre et renverse l’opération_{⊕ i.e.:}

H4- Pour tout x ert y appartenent à H, x⊕ y = y ⊕ x et x ≤ y équivaut à x ≤ y.

Soit _{H = (H, ≤ , ⊕ ,) une algèbre de Heyting involutive. Etant donné un ensemble E, nous} appelons distance sur E à valeurs dans _{H, toute application satisfaisant les conditions} sui-vantes:

d1) d(x,y) = 0 si et seulement si x = y;

d2) d(x,y) = d(y,x), pour tout x,y appartenant `a E;

d3) d(x,y)≤ d(x,z) ⊕ d(z,y), pour tout x,y et z appartenant `a E.

Nous appelons espace m´etrique `a valeurs dans _{H le couple (E,d).}

Pour tout x _{∈ E et 0 < r ∈ H, on définit la boule B(x,r) par: B(x,r) = {y ∈ E/d(x,y) ≤ r}.} Etant donnés deux espaces métriques sur une algèbre de Heyting (E,d) et (E0,d0), nous disons qu’une application h : E _{−→ E}0 est contractante (ou non expansive) si pour tout x et y de E, on a : d0(h(x),h(y))_{≤ d(x,y).}

1.1.2 Exemples

Exemple 1 Ensembles ordonn´es

On prend H le treillis complet à quatre éléments: 0,_{{a}, {b}, 1 avec {a} et {b} incomparables,} représentés par la Figure ci-dessous:

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dε(x,y) = 1 si (x,y) /∈ ε ∪ ε−1∪ ∆E;

dε(x,y) = {a} si (x,y)∈ ε\ε−1;

dε(x,y) = {b} si (x,y)∈ ε0−1\ε;

dε(x,y) = {a,b} si (x,y) ∈ (ε ∩ ε−1)\∆E;

dε(x,y) = 0’si (x,y)∈ ε ∩ ∆E;

dε(x,y) = 0 si (x,y)∈ ∆E\ε;

est une distance sur E.

On v´erifie que ces deux correspondances sont inverses l’une de l’autre. Applications contractantes:

Montrons que ce sont, dans ce cas, les applications préservant les arêtes. Soient (V,d) et (V’,d’) deux espaces métriques sur H.

A d (respectivement d’), on fait correspondre ε (repectivement ε0)

Soit f : V _{−→ V}0 une application contractante de (V,ε,d) dans (V0,ε0,d0). Montrons que c’est une application qui préserve les arêtes de G = (V,ε) dans G0 = (V0,ε0) ( c’est à dire (x,y) _{∈ ε} implique que (f (x),f (y))_{∈ ε}0).

Si (x,y)_{∈ ε ∩ ∆}E alors x=y, qui implique que (f (x),f (y))∈ ε0∩ ∆V0. Ce qui donne d0(f (x),f (y)) = 00 = d(x,y).

Si (x,y) _{∈ ∆}E\ε alors d(x,y) = 0. Ceci implique que (f(x),f(y)) ∈ ∆V0\ε0. Ce qui donne d0(f (x),f (y)) = 00

Ainsi les applications contractantes sont exactement celles pr´eservant les arˆetes. Exemple 3

Graphes orientés réfléxifs:

Prenons comme treillis complet, l’ensemble: 0 =_{{∅,a,b} < 1/2 < {a},{b} < 1 repr´esent´e par}

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Montrons que l’hyperconvexit´e entraˆıne la compl´etude.

Soit P = (E, _{≤) un ensemble ordonn´e hyperconvexe. Soit X une partie de P .} X+ ₌_{{y/x ≤ y pour tout x ∈ X}. Consid´erons la famille des boules}

((B(x,_{{a})/x ∈ X, ,B(y,{b})/y ∈ X}+).

Comme précédemment, on montre que cette famille vérifie d(x,y)_{≤ r ⊕ s avec r,s = {a} ou} {b}. Ainsi, T{B(x,{a})/x ∈ X} T{B(y,{b})/y ∈ X+_{} 6= ∅. Soit x}

0 dans cette intersection,

donc pour tout x_{∈ X, on a d(x,x}0)≤ {a} et pour tout y ∈ X+, d(y,x0)≤ {b}. D’o`u x ≤ x0

pour tout x _{∈ X et x}0 ≤ y pour tout y ∈ X+, i.e. x ≤ x0 pour tout x ∈ X et x0 ≤ y pour

tout y qui vérifie x _{≤ y pour tout x ∈ X. D’où x}0 est exactement la borne supérieure dans

X. Donc toute partie de P admet un sup. D’o`u P est un treillis complet.

Graphes

Sur les algèbres de Heyting représentés figures 2,3,4, les graphes vus comme espaces métriques sur ces algèbres sont hyperconvexes s’il existe un sommet x0 tel que pour chaque

sommet y, on ait (x0,y)∈ ε ∩ ε−1

Condition n´ecessaire:

Supposons que G = (V,ε) est hyperconvexe .

Consid´erons la famille des boules (B(x,_{{a}),B(y,{b}); (x,y) ∈ V ∗ V ).} On a pour tout x et y dans V ,

d(x,y)_{≤ 1 = {a} ⊕ {b} = {a} ⊕ {a};} =_{{b} ⊕ {a} = {b} ⊕ {b};} =_{{a} ⊕ {a} = {a} ⊕ {b}.}

D’o`u T{B(x,{a})/x ∈ V } ∩ {B(y,{b})/y ∈ V } 6= ∅.

Soit x0 dans cette intersection, donc pour tout y ∈ V on a : d(x0,y)≤ {a} et d(x0,y) ≤ {b}.

Ceci implique que (x0,y)∈ ε et (y,x0)∈ ε, i.e. que (x0,y)∈ ε ∩ ε−1.

Condition suffisante:

Supposons qu’il existe x0 ∈ V tel que (x0,y)∈ ε ∩ ε−1 pour tout y∈ V .

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Si nous considérons la catégorie des ensembles ordonnés, alors les morphismes sont les appli-cations préservant l’ordre et les corétractions sont des injections (i.e. les applications f telles que x _{≤ y équivaut à f(x) ≤ f(y)). En effet, soient P et Q deux ensembles ordonnés et f} une corétraction de P dans Q. Par définition, il existe g : Q _{−→ P telle que g ◦ f = id}Q.

Supposons que f(x)=f(y). Ceci donne g_{◦ (f(x)) = g ◦ (f(y)), donc x = y.}

Dans chacune des trois catégories des graphes , les morphismes sont les applications préservant les arêtes tandis que les corétractions sont les plongements (une application f : (V,ε) _−→ (V0,ε0) est un plongement si elle est injective et si (x,y)_{∈ ε équivaut à (f(x),f(y)) ∈ ε}0.

1.3.1 R´

etractes absolus

Identifiant une propriété générale, qu’on va appeler (p), que les corétractions satisfont dans la catégorie considérée. Par exemple dans le cas de la catégorie des ensembles ordonnés, la corétraction est une injection qui préserve l’ordre ( ce qui se traduit par x_{≤ y est équivalent} `

a f (x) _{≤ f(y)). Considérons (p) comme une approximation des corétractions. Les objets P} pour lesquels, chaque morphisme de source P et avec la propriété (p) est une corétraction, sont appelés rétractes absolus. Il y a deux raisons pour cette approche. La première est que les rétractes absolus ont souvent une caractérisation simple. La seconde est qu’ils sont des candidats naturels pour la propriété du point fixe (f.p.p). En effet, un objet P a la propriété du point fixe (f.p.p) revient à dire que chaque morphisme f : P _{−→ P admet un point fixe.} Nous remarquons à ce stade que si Q a la propriété du point fixe, alors chaque rétracte P a la f.p.p. (En effet, à un morphisme h : P _{−→ P , associons le morphisme k = f ◦ h ◦ g : Q −→ Q,} où f : P _{−→ Q et g : Q −→ P sont respectivement la corétraction et la rétraction; l’image} par g de chaque point fixe de k est un point fixe de h). Nous pouvons alors affirmer que pour qu’un rétracte absolu possède la f.p.p., il suffit qu’il s’injecte par une approximation (p) dans un certain objet avec la f.p.p. Ce qui à largement la chance de se produire.

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supposons Ψ(x) = Ψ(x0) et on v´erifie de la mˆeme fa¸con que x=x’.

Maintenant, nous verrons que les notions de structure de treillis complet est équivalente aux notions d’injection et de rétraction absolue pour les ensembles ordonnés.

Théorème 2 (B. Banaschewski, G. Bruns 1967, [3]) Soit E un ensemble ordonné, les assertions suivantes sont équivalentes:

(i) E est r´etracte absolu;

(ii) Pour chaque ensemble ordonné B, chaque application préservant l’ordre f : A _{−→ E} définie sur un sous ensemble A de B se prolonge en une application préservant l’ordre définie sur B;

(iii) E est un treillis complet;

(iv) E est un rétracte d’une puissance de la chaˆıne à deux éléments 2 =_{0,1}

Preuve. Tout d’abord, nous remarquons que l’algèbre de Heyting pour les ensembles ordonnés est à quatre éléments, donc elle donne le produit d’une chaˆıne à deux éléments par elle même. Par conséquent (iv) équivaut à dire que E est un rétracte de H.

(ii)_{⇐= (i) c’est le i) de la proposition 1.3.1.}

(i) =_{⇒ (iv) d’après la proposition 1.3.2, l’ensemble E se plonge injectivement en conservant} l’ordre dans une puissance de H. Puisque E est rétracte absolu, il est rétracte d’une puissance de H,.

(iv) =_{⇒ (iii) H est un treillis complet et observons que le r´etrate d’un treillis complet est un} treillis complet .

(iii) =_{⇒ (ii) Soit E un treillis complet, f : A −→ E et l’injection préservant l’ordre g : A −→} B. Nous pouvons alors traduire ce fait par A_{⊂ B du fait que g est injectif et préserve l’ordre} puisque ceci nous assure que g(A) contient plus d’éléments que A.

Nous notons alors f : A_{⊂ B −→ E . Consid´erons l’ensemble A form´e par les couples (A’,f’)} tels que:

1◦) A_{⊆ A}0 _{⊆ B;}

2◦) f’ est une application pr´eservant l’ordre de A’ dans E; 3◦) f_/A0 = f .

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Nous munissons A de la relation d’ordre suivante: (A0,f0)_{≤ (A”}0,f ”)_{⇔ A}0 _{⊆ A”etf”}/A0 = f0.

L’ensemble A est non vide puisqu’il contient (A,f). De plus il est inductivement ordonné. Donc d’après l’axiome de Zorn, il existe dans A un élément maximal (A0,f0). Si A0 = B la preuve

est finie ; sinon soit x0 ∈ B\A0. Posons z = inf (sup{f0(x),x ≤ x0},inf{f0(x),x > x0}).

Consid´erons l’application ˜f0 : A0 ∪ {x0} −→ E d´efinie par: ˜f0(x) = f0(x) si x ∈ A0 et

˜

f0(x0) = z. Par construction ˜f0 pr´eserve l’ordre, ce qui contredit la maximalit´e de A0. Par

cons´eqent A0 = B.

Nous déduisons de ce théorème le théorème de point fixe suivant concernant les ensembles ordonnés.

Théorème 3 Chaque application préservant l’ordre sur un treiilis complet admet un point fixe.

Preuve. Nous la déduisons directement du (iv) du théorème précédent du fait qu’une puis-sance de _{{0,1} admet la propriété du point fixe et de ce fait, tout rétracte l’a aussi.}

Graphes:

Nous rappelons qu’un graphe vu comme espace m´etrique, est hyperconvexe si et seulement s’il existe un sommet x0 tel que pour chaque sommet y on ait (x0,y) ∈ ε ∩ ε−1; un graphe

satisfaisant cette condition est appelé graphe central. les morphismes sont les applications préservant les arêtes et les approximations des corétractions sont les plongements (les appli-cations f : (V,ε)_{−→ (V}0,ε0) injectives préservant les arêtes).

Considérons les graphes suivants représentés ci-dessus:

(34)

(35)

(36)

classes de graphes (graphes orientés, graphes orientés symétriques et graphes réflexifs) admet un point fixe.

Preuve. Nous la déduisons directement du (iv) du théorème précédent du fait qu’une puis-sance du graphe associé de _G_C admet la propriété du point fixe et de ce fait tout rétracte l’a aussi.

Espaces m´etriques ordinaires:

Comme indiqué dans l’exemple 5, les espaces métriques sur IR_{∪{+∞} sont en quelque sorte} ,des sommes directes d’espaces métriques ordinaires (i.e. sur lesquels la distance ne prend que des valeurs finies); de ce fait, il ya une similarité entre le théorème de Banaschewski-Bruns, le théorème de Tarski et les théorèmes suivants opérés sur la catégorie des espaces métriques, où les morphismes sont les applications non-expansives (et les approximations sont les isométries). Pour ce qui est du (iv) du théorème 2, une puissance de H = IR+∪ {+∞}, soit HI, doit être

remplac´ee par un ensemble de suites born´ees de la forme L∞ IR(I).

Théorème 6 (N. Aronszajn et P. Panitchpakdi 1956), [1]) Soit E un espace métrique (sur IR+). Il y a équivalence entre

(i) E est r´etracte absolu;

(ii) Pour chaque espace métrique F, chaque application non expansive f : A _{−→ E définie} sur le sous-ensemble A de F se prolonge en une application non expansive définie sur F; (iii) E est hyperconvexe (ce qui revient à dire que si l’intersection d’une famille de boules fermées B(xi,ri) est non vide implique que d(xi,xj)≤ ri+ rj pour chaque i,j);

(iv) E est un r´etracte d’un certain l∞(I).

Ce théorème a le même contenu que le théorème 2 énoncé dans le paragraphe précédent d’un point de vue syntactique puisque la rétraction absolue et la propriété du point fixe dépendent plus essentiellement des morphismes et des approximations choisies que des struc-tures adoptées (ensembles ordonnés ou espaces métriques).

Dans le même contexte, concluons par un théorème de point fixe dans le cas d’un espace métrique ordinaire.

Théorème 7 (R.Sine, 1979, P.M.Soardi, 1979, [25]) Si E est un espace métrique

(37)

vexe et borné (e.g. une boule fermée d’un l∞), alors toute application contractante de E dans lui même a un point fixe.

(38)

(39)

2 Points fixes dans les espaces ultram´etriques

Dans ce chapitre, nous allons introduire la notion d’hyperconvexité dans les espaces ul-tramétriques généralisés, i.e. où la distance est à valeurs dans un treillis complet. Ensuite, nous allons établir un théorème de point fixe de type Hahn Banach dans ces espaces. Finalement, nous allons étendre ce theorème aux applications contractantes multivoques. Les résultats ´

enoncés dans ce chapitre ont été publiés dans ”New zealand journal of mathematics”, voir [6].

§2.1 Introduction

Il est indéniable que le théorème de point fixe le plus classique dans les espaces métriques est le théorème de Hahn Banach. Depuis, plusieurs résultats intéressants sont apparus pour ´

etendre ce théorème à d’autres espaces également munis d’une distance. Dans ce contexte, les espaces hyperconvexes ont été introduits. En 1979, Sine [24] et Soardi [25] ont prouvé indépendemment la propriété du point fixe pour les applications non expansives sur les es-paces hyperconvexes bornés. Ce chapitre perpétue cette tradition et élargit l’ensembble des valeurs de la distance à un treillis complet au lieu de IR+ . Nous considérons ici une distance

ultramétrique obtenue à partir de la définition standard en rempla¸cant l’inégalité triangulaire par l’assertion d(x,y) _{≤ γ et d(y,z) ≤ γ =⇒ d(x,z) ≤ γ. Nous donnons une généralisation du} théorème de Hahn Banach sur ces espaces qui va aboutir à d’autres résultats et corollaires.

(40)

Le concept de chercher des points fixes d’un point de vue topologique ou m´etrique nous donne une extension naturelle de cette approche au cas multivoque.

§2.2 Les espaces ultram´etriques hyperconvexes

Nous commen¸cons par énoncer le théorème de Banach apparu pour la première fois dans sa thèse en 1922.

Th´eor`eme 8 (Banach, 1922)

Soient (X,d) un espace m´etrique complet et T : X _{−→ X une application telle qu’il existe} k _{∈]0,1[ tel que}

d(T (x),T (y))_{≤ kd(x,y)} pour tout x,y _{∈ X.}

Alors T a un point fixe unique

L’hypothèse restrictive de l’existence de k < 1 implique l’unicité du point fixe. Le résultat n’est plus appliquable quand il existe plus d’un point fixe. En effet, dans plusieurs problèmes, il arrive que l’équation sur laquelle on veut appliquer ce théorème admette plus d’une so-lution. On est amené alors à trouver des généralisations de ce théorème dans les espaces ultramétriques généralisés entraˆınant des conditions moins contraignantes.

Soit X un ensemble et (Γ,_{≤) un treillis complet de plus petit ´el´ement 0 et de plus grand} ´

el´ement 1.

Soit d : X_{∗ X −→ Γ une application qui v´erifie les conditions suivantes:} Pour tout x,y,z _{∈ X et γ ∈ Γ:}

(0) d(x,y) = 0 si et seulement si x = y; (1) d(x,y) = d(y,x);

(2) Si d(x,y)_{≤ γ et d(y,z) ≤ γ, alors d(x,z) ≤ γ} Le triplet (X,d,Γ) est appel´e espace ultram´etrique.

(41)

Soit 0 < γ _{∈ Γ et a ∈ X. L’ensemble B}γ(a) = {x ∈ X; d(x,a) ≤ γ} est appel´e boule.

Un espace ultramétrique avec la propriété que pour tout x_{∈ X et γ ∈ Γ, il existe y ∈ X tel} que d(x,y) = γ est dit solide.

Nous énon¸cons la propriété suivante pour un espace ultramétrique (X,d,Γ). (1.1) Si 0_{6= α ≤ β et B}α(a)∩ Bβ(b) 6= ∅, alors Bα(a)⊆ Bβ(b).

Preuve. Soit x _{∈ B}α(a), alors d(x,a) ≤ α. D’autre part, il existe y ∈ Bα(a)∩ Bβ(b). Ainsi

d(y,a) _{≤ α et d(y,b) ≤ β. Il vient par (1), (2) que d(x,y) ≤ α ≤ β et alors d(x,b) ≤ β. D’o`u} x_{∈ B}β(b).

(2.2) Soit (X,d,Γ) un espace solide et soit 0 _{6= α,β ∈ Γ. Si B}α(a) ⊆ Bβ(b), alors α < β

et si Bα(a) = Bβ(b), alors α = β.

Preuve. Par hypoth`ese, il existe z _{∈ X tel que d(z,a) = α. Alors z ∈ B}α(a) ⊆ Bβ(b).

D’o`u d(z,b) _{≤ β, qui avec d(a,b) ≤ β entraˆıne d(z,b) ≤ β. Ainsi, α ≤ β. Si α = β alors} b _{∈ B}α(a) et par cons´equent, Bα(a) = Bβ(b). Il vient que Bα(a) ⊆ Bβ(b) implique α < β. Si

Bα(a) = Bβ(b), alors on a montr´e que α < β. Par sym`etrie on a aussi β ≤ α.

Definition 2.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique. X est dit hyperconvexe s’il vérifie les deux propriétés suivantes:

i) 2-Helly: Pour chaque famille (B(xi,γi))i∈I de boules ferm´ees de X:

Si B(xi,γi)∩ B(xj,γj)6= ∅ pour tout i,j, alors

T

i∈I

B(xi,γi)6= ∅;

ii) Convexit´e: Pour tout x,y _{∈ X et γ}1,γ2 ∈ Γ

Si d(x,y) _{≤ sup(γ}1,γ2), alors il existe z∈ X tel que d(x,z) ≤ γ1 et

d(z,y)_{≤ γ}2.

Proposition 2.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique. X est hyperconvexe si et seulement si toute famille de boules fermées de (B(xi,γi))i∈I de X vérifie la propriété P:

(42)

T

i∈I

B(xi,γi)6= ∅ si et seulement si d(xi,xj)≤ sup(γi,γj) pour tout i,j∈ I.

Preuve. Nous montrons d’abord que: T

i∈I

B(xi,γi)6= ∅ implique que d(xi,xj)≤ sup(γi,γj) pour tout i,j ∈ I.

Soit z _∈ T

i∈I

B(xi,γi), alors pour tout i,j ∈ I d(xi,z)≤ γi et d(xj,z)≤ γj et donc

d(xi,xj)≤ sup(γi,γj).

Maintenant, soit X un espace hyperconvexe et (B(xi,γi))i∈I une famille de boules de X avec

d(xi,xj) ≤ sup(γi,γj) pour tout i,j ∈ I. Donc pour tout i,j ∈ I, il existe z ∈ X tel que

d(xi,z)≤ γi et d(xj,z)≤ γj (`a partir de la convexit´e). Ainsi

T

i∈I

B(xi,γi)6= ∅ d’apr`es 2-Helly.

Réciproquement, supposons que toutes les familles de boules fermées de X vérifient la pro-priété _{P et soit (B(x}i,γi))i∈I une famille de boules de X avec B(xi,γi)∩ B(xj,γj) 6= ∅ pour

tout i,j _{∈ I. Soit z ∈ B(x}i,γi)∩ B(xj,γj) alors d(xi,z)≤ γi et d(xj,z)≤ γj.

Donc d(xi,xj)≤ sup(γi,γj) pour tout i,j ∈ I et ainsi T i∈I

B(xi,γi)6= ∅ à partir de la propriété

P.

Soient x,y _{∈ X et γ}1,γ2 ∈ Γ tels que d(x,y) ≤ sup(γ1,γ2) alors B(x,γ1)∩ B(y,γ2)6= ∅ `a partir

de _{P . Soit z ∈ B(x,γ}1)∩ B(y,γ2) alors d(x,z) ≤ γ1 et d(z,y)≤ γ2.

Exemple 7

Soit H un ensemble. On d´efinit d : _{P(H) ∗ P(H) −→ P(H) en posant}

d(A,B) = A_{4 B = {a ∈ H; a ∈ A si et seulement si a /}_{∈ B} (la diff´erence sym´etrique entre} A et B).

P(H) muni de l’inclusion est un treillis complet.

(_{P(H),d,P(H)) est un espace ultram´etrique qui est hyperconvexe}

Il est facile de v´erifier que d est une distance ultram´etrique. En effet, si A _{6= B alors} d(A,B) _{6= ∅. Egalement, pour C,T ⊆ H avec d(A,B) ⊆ T et d(B,C) ⊆ T . Si h ∈ H avec} h /_{∈ T , alors h /}_{∈ d(A,B) et h /}_{∈ d(B,C). Donc h ∈ A si et seulemnt si h ∈ B si et seulement} si h_{∈ C. Ainsi h /}_{∈ d(A,C)}

Montrons que (_{P(H),d,P(H)) est solide. Soient A ∈ P(H) et S ∈ P(H). On d´efinit B ∈ P(H)} de la fa¸con suivante. Soit a _{∈ H, si a /}_{∈ S alors on prend a ∈ B si et seulement si a ∈ A. Si}

(43)

a_{∈ S alors on prend a ∈ B si et seulement si a /}_{∈ A. On a bien d(A,B) = S.}

Ensuite nous montrons que (_{P(H),d,P(H)) est hyperconvexe. Soit B = {B}Si(Ai); i∈ I} une famille de boules de _{P(H) avec d(A}i,Aj)⊆ sup(Si,Sj) = Si∪ Sj. Soit S =

T

i∈I

Si et d´efinissons

A _{∈ P(H) comme suit: si b ∈ S alors on prend b ∈ A. Si b /}_{∈ S, alors il existe i ∈ I tel} que b /_{∈ S}i. Nous prenons b ∈ A si et seulement si b ∈ Ai. S’il existe un autre j ∈ I tel que

b /_{∈ S}j, alors comme d(Ai,Aj) ⊆ Si∪ Sj, b ∈ Ai si et seulement si b ∈ Aj car b /∈ (Si∪ Sj).

Ainsi A_{∈ P(H) est bien d´efini. Finalement d(A,A}i)⊆ Si pour tout i∈ I, ce qui montre que

A_∈_{T B.}

Proposition 2.2.2 L’intersection non vide de boules ferm´ees d’un espace hyperconvexe est hyperconvexe.

Preuve. Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et soit B = B(x,r) une boule de X.

Soit (Br(xi,ri))i∈I une famille de boules de B (Br(xi,ri) = B∩ B(xi,ri)) qui v´erifie:

d(xi,xj)≤ sup(ri,rj). Soit i∈ I, on a Br(xi,ri)6= ∅. Soit yi ∈ Br(xi,ri),

donc B(yi,ri) = B(xi,ri) d’après (1.1). On peut donc supposer sans perte de généralité que

les xi sont dans B. Les boules B(xi,ri) vérifient la propriété P dans X hyperconvexe. D’où

T

i∈I

B(xi,ri)6= ∅. Soit y dans cette intersection, donc d(y,xi)≤ ri ≤ sup(r,ri) pour tout i ∈ I.

D’o`u y _{∈ B. Ce qui montre que B est hyperconvexe.}

Nous proc´edons de la mˆeme fa¸con pour l’intersection de deux boules et par suite d’une famille quelconque de boules.

Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique et T : X _{−→ X une application. T est dite non} expan-sive ou contractante si d(T (x),T (y)) _{≤ d(x,y) pour tout x,y ∈ X. Si pour tout x,y ∈ X, tels} que x _{6= y, d(T (x),T (y)) < d(x,y) alors T est strictement contractante. Soit x ∈ X, l’orbite} de x par T est l’ensemble_{{x,T (x),T}2_(x),...,Tn_(x),..._{}. T est dite strictement contractante sur}

orbites si pour tout x_{∈ X tel que T (x) 6= x, nous avons d(T}2_{(x),T (x)) < d(T (x),x).}

On définit _{B comme l’ensemble des intersections non vides de boules fermées de X et nous} posons ¯A =T{B ∈ B; A ⊆ B} pour tout A ⊆ X et δ(A) = sup{d(x,y); x,y ∈ A} le diamètre

(44)

de A.

Le r´esultat suivant a fait l’objet d’une publication dans ”New Zealand Journal of Mathema-tics”, [6]

Théorème 2.2.1 (S. Bouamama, D. Misane, 2005, [6]) Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique hyperconvexe et T : X _{−→ X une application non expansive, alors T admet un point fixe ou} il existe un espace hyperconvexe non vide S de X tel que T (S)_{⊆ S, S = T (S) et}

δ(S) = d(x,T (x)) pour tout x _{∈ S.}

Preuve. Supposons que T n’admet pas de point fixe.

Soit _BT = {B ∈ B; T (B) ⊆ B}. BT 6= ∅ car X = B(x,1) pour tout x ∈ X, donc X ∈ BT.

Montrons que_BT a un élément minimal. D’après le lemme de Zorn, il suffit de montrer queBT

est inductivement ordonn´e ou ce qui revient `a montrer que chaque chaˆıne _BT a un infinimum

(une chaˆıne est une famille d’éléments d’un espace ordonné telle que les éléments de la chaˆıne soient comparables deux à deux).

Soit (Bk)k∈K une chaˆıne de BT ( Bk = T i∈Ik

B(xk_i,γ_ik)).

Soit k _{∈ K. B}k 6= ∅. Soit z ∈ Bk alors d(xki,z)≤ γik et d(xkj,z)≤ γjk pour tout i,j ∈ Ik. Ainsi

d(x_ik,xk_j)_{≤ sup(γ}_ik,γ_jk) pour tout i,j _{∈ I}k.

Soient k1,k2 ∈ K (k1 6= k2); Supposons que Bk1 ⊆ Bk2 (comme (Bk)k∈K est une chaˆıne). Donc z _{∈ B}k1 d’o`u d(x k1 i ,z) ≤ γ k1 i et d(z,x k2 j ) ≤ γ k2

j pour tout i ∈ Ik1 et j ∈ Ik2. Il s’ensuit que d(xk1 i ,x k2 j )≤ sup(γ k1 i ,γ k2 j ).

Nous concluons que la famille (B(xk_i,γ_ik))k∈K,i∈Ik vérifie la propriétéP de la Proposition 2.2.1 dans X hyperconvexe. Ainsi T

k∈K Bk= T k∈K T i∈Ik B(xk i,γik)6= ∅ et T (T k∈K Bk) = T ( T k∈K T i∈Ik B(xk i,γik) ⊆ T k∈K T (T i∈Ik B(xk i,γik)) = T k∈K T (Bk) ⊆ T k∈K Bk puisque tous

les Bk sont dans BT, donc T k∈K

Bk ∈ BT . Ainsi d’après le lemme de Zorn, BT a un élément

minimal S.

S _{∈ B}T d’où T (S)⊆ S d’après la définition de BT. D’où T (S)⊆ S. Il s’ensuit que

T (T (S))_{⊆ T (S), donc T (S) ∈ B}T. Ainsi T (S) = S puisque S est minimal.

S _{∈ B}T donc S peut s’´ecrire sous la forme S = T k∈K

B(xk,γk), d’o`u S est hyperconvexe

comme l’intersection de boules dans un espace hyperconvexe. Soit x _{∈ S, alors d(x,x}k)≤ γk

pour tout k _{∈ K. T (x) ∈ S, alors d(T (x),x) ≤ γ}k car d est ultram´etrique. T (x) 6= x, donc

(45)

B(x,d(x,T (x))_{⊆ B(x}k,γk) pour tout k∈ K d’apr`es (1.1) et par suite B(x,d(x,T (x)) ⊆ S. Soit

y _{∈ B(x,d(x,T (x))) alors d(T (y),T (x)) ≤ d(y,x) ≤ d(x,T (x)) puisque T est non expansive et} donc d(T (y),x)_{≤ d(x,T (x)) comme d est ultram´etrique. Ainsi nous avons}

T (B(x,d(x,T (x)))) _{⊆ B(x,d(x,T (x))) et par cons´equent B(x,d(x,T (x))) ∈ B}T. Par suite,

S = B(x,d(x,T (x))) puisque S est minimal dans _BT. Soient y,z∈ S alors d(y,x) ≤ d(x,T (x))

et d(z,x)_{≤ d(x,T (x)). D’o`u d(y,z) ≤ d(x,T (x)). Il s’ensuit que} δ(S) = sup_{{d(y,z); y,z ∈ S} ≤ d(x,T (x)) ≤ δ(S).}

D’après le théorème 2.2.1, nous obtenons le corollaire suivant:

Corollaire 2.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et

T : X _{−→ X une application non expansive. Supposons de plus que pour chaque x ∈ X} tel que T (x) _{6= x il existe un entier n ≥ 0 tel que d(T}n+2_(x),Tn+1_{(x)) < d(T}n+1_(x),Tn_(x))

(nous prenons T0(x) = x). Alors T a un point fixe et l’ensemble des points fixes de T est hyperconvexe.

Preuve. Nous pourrons déduire facilement d’après le théorème 2.2.1 que T a un point fixe car nous ne pouvons obtenir dans ce cas un tel espace S. Soit F ix(T ) l’ensemble des points fixes de T et soit (BF ix(T )(xi,γi))i∈I une famille de boules de F ix(T ) avec d(xi,xj) ≤ sup(γi,γj)

pour tout i,j _{∈ I (B}F ix(T )(xi,γi) = B(xi,γi)∩F ix(T )). Nous avons B(xi,γi)∩F ix(T ) 6= ∅. Soit

yi ∈ B(xi,γi)∩ F ix(T ), donc B(yi,γi) = B(xi,γi) d’apr`es (1.1). D’o`u nous pouvons supposer

sans perte de généralité que xi ∈ F ix(T ) pour tout i ∈ I. Les boules B(xi,γi) vérifient la

propriété _{P de la proposition 2.2.1 sur X hyperconvexe, d’où F =} T{B(xi,γi)/i ∈ I} 6= ∅

et comme intersection de boules d’un espace hyperconvexe, F est hyperconvexe. En outre T (F )_{⊆ F puisque x}i ∈ F ix(T ), d’où le théorème 2.2.1 appliqué à F donne un x ∈ F ix(T )∩F .

Ainsi la derni`ere intersection est non vide et F ix(T ) est hyperconvexe.

Ce résultat généralise le théorème suivant:

Théorème 2.2.2 Soit (X,d,Γ) un espace hyperconvexe ultramétrique et soit T : X _{−→ X} une application contractante et strictement contractante sur orbites. Alors T a un point fixe. Si de plus T est strictement contractante sur X, alors le point fixe est unique

(46)

§2.3 Un th´eor`eme de point fixe multivoque dans les

espaces ultram´

etriques

Dans ce paragraphe, nous allons prouver un théorème de point fixe pour les appli-cations multivoques dans les espaces ultramétriques qui généralisent le théorème vu dans le dernier paragraphe.

Nous commen¸cons par donner une généralisation du principe de contraction de Banach aux contractions multivoques . Cette version multivoque a été proposée pour la première fois dans [17], [21].

Théorème 9 Soit X un espace métrique complet et F : X _{−→ 2}X _{une application}

multi-voque. On suppose qu’il existe un r´eel 0 < k < 1 tel que pour tout x_{∈ X , pour tout y ∈ X} et pour tout a _{∈ F (x), il existe b ∈ F (x) tel que d(a,b) ≤ kd(x,y) et que pour tout x ∈ X,} l’ensemble F (x) est ferm´e et non vide

Alors F admet un point fixe i.e. il existe x_{∈ X tel que x ∈ F (x)}

Soit X un ensemble et soit (Γ,_{≤) un treillis complet avec 0 comme plus petit élément et} 1 comme plus grand élément. Soit d : X_{∗ X −→ Γ une distance ultramétrique}

F : X _{−→ 2}X est dite multivoque. Un élément x_{∈ X avec x ∈ F (x) est un point fixe de F .} F est dite contractante si pour tout x_{∈ X, pour tout y ∈ X et pour tout a ∈ F (x), il existe} un élément b_{∈ F (y) tel que d(a,b) ≤ d(x,y).}

Une contraction est stricte, si pour tout x,y _{∈ X avec x 6= y et pour tout a ∈ F (x), il existe} b _{∈ F (y) tel que d(a,b) < d(x,y).}

L’application F est dite strictement contractante sur orbites, si pour tout x _{∈ X et pour tout} a _{∈ F (x) avec a 6= x, il existe un élément b ∈ F (a) avec d(a,b) < d(a,x). Si F : X −→ 2}X est une contraction non vide (i.e il existe x _{∈ X avec F (x) 6= ∅), alors F (x) 6= ∅ pour tout} x_{∈ X. En effet, soit x ∈ X tel que F (x) 6= ∅ et soit y ∈ X. Prenons a ∈ F (x). Puisque F est} contractante, il correspond à x,y et a_{∈ F (x), un élément b ∈ F (y) avec d(a,b) ≤ d(x,y). Ainsi} en particulier, F (y)_{6= ∅. Dans la suite, on va utiliser ce fait sans le mentionner explicitement.}

(47)

Avant d’énoncer le théorème si-dessous, nous introduisons quelques notations. Pour F : X _{−→ 2}X_{, soit Π}

x = {d(x,y); y ∈ F (x)} et pour chaque sous ensemble ∆ ⊆ Γ,

désignons par min ∆ l’ensemble des éléments minimaux de ∆

Théorème 2.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique hyperconvexe. Soit

F : X _{−→ 2}X _{une application contractante non vide. Si de plus on suppose que pour tout}

x _{∈ X, min Π}x 6= ∅, alors F admet un point fixe ou il existe un sous ensemble hyperconvexe

non vide S de X tel que le diam`etre de S, δ(S)_{∈ min Π}y pour tout y ∈ S.

Preuve. Supposons que x _{6= F (x) pour tout x ∈ X. Alors pour tout x ∈ X, 0 /}_{∈ Π}x 6= ∅,

puisque F (x) _{6= ∅.}

Posons _BF = {B ∈ B; δ(B) ∈ min Πx pour tout x ∈ B} (B est l’ensemble des intersections

non vides de boules ferm´ees de X et δ(B) est le diam`etre de B).

Soit x _{∈ X et π}x ∈ min Πx. πx 6= 0 et Bπx(x)∈ BF. En effet, posons B = Bπx(x). Soient y,z _{∈ B, alors d(y,x) ≤ π}x et d(z,x)≤ πx. Donc d(y,z)≤ πx. D’o`u

δ(B) = sup_{{d(y,z); y,z ∈ B} ≤ π}x. Soit π∈ Πx tel que π ≤ δ(B), alors π ≤ πx. Donc π = πx

comme πx est minimal. Il s’ensuit que πx = π ≤ δ(B) ≤ πx. D’o`u δ(B) = πx ∈ min Πx. Ainsi

Bπx(x)∈ BF.

Montrons que _BF a un ´el´ement minimal. Soit (Bk)k∈K une chaˆıne de BF

(Bk = T i∈Ik

B(xk_i,γ_ik)) et nous montrons de la même fa¸con que dans la preuve du thérème 2.2.1 que d(xk1 i ,x k2 j ) ≤ sup(γ k1 i ,γ k2

j ) pour tout k1,k2 ∈ K ; i ∈ Ik1 et j ∈ Ik2. Donc la famille (B(xk

i,γik))k∈K,i∈Ik vérifie la propriétéP de la proposition 2.2.1 dans X hyperconvexe. Il vient que T

k∈K

Bk 6= ∅. Soit x ∈

T

k∈K

Bk et soit k ∈ K, nous avons x ∈ Bk. Soit π ∈ Πx tel que

π _{≤ δ(} T

k∈K

Bk), alors π ≤ δ(Bk) comme δ(

T

k∈K

Bk) ≤ δ(Bk). Par cons´equent π = δ(Bk) car

δ(Bk)∈ min Πx. D’o`u δ( T k∈K

Bk) = δ(Bk) ∈ min Πx et par suite T k∈K

Bk ∈ BF. Ainsi, d’apr`es

le lemme de Zorn, _BF a un ´el´ement minimal S.

S _{∈ B}F donc S =

T

k∈K

Bγk(xk). D’o`u S est hyperconvexe comme l’intersection de boules dans un espace hyperconvexe et δ(S) _{∈ min Π}x pour tout x∈ S car S ∈ BF.

(48)

Corollaire 2.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace hyperconvexe ultram´etrique. Soit F : X _{−→ 2}X, une application contractante non vide. On suppose que pour tout x _{∈ X, min Π}x 6= ∅ et que tous

les ´el´ements de Πx ont un minorant dans min Πx. Si on suppose de plus que pour tout x ∈ X

et pour tout a _{∈ F (x), il existe b ∈ X et il existe c ∈ F (b) tels que d(b,c) < d(b,a) ≤ d(a,x)} alors F admet un point fixe

Preuve. Supposons que F n’admet pas de point fixe, alors il existe un sous ensemble S de X tel que δ(S)_{∈ min Π}y pour tout y ∈ S. Soient x ∈ S et δ(S) = d(a,x) avec a ∈ F (x), donc

il existe b _{∈ X et c ∈ F (b) tels que d(b,c) < d(b,a) ≤ d(x,a) = δ(S). D’après l’hypothèse, il} existe π _{∈ min Π}b tel que π≤ d(b,c). La boule Bπ(b)∈ BF (comme dans la preuve du theorème

2.2.1). D’o`u S_{∩ B}π(b)∈ BF comme intersection de boules deBF. D’o`u S∩ Bπ(b) = S puisque

S est minimal dans _BF et par suite b∈ S. Ainsi δ(S) ∈ min Πb. Contradiction.

Ce résultat généralise le théorème suivant

Théorème 2.3.2 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique hyperconvexe et soit F : X _{−→ 2}X une application contractante non vide. Supposons de plus que F est strictement contractante sur orbites et qu’on est dans les mêmes conditions du corollaire 2.3.1, alors F admet un point fixe

Preuve. Pour voir ceci, soit x _{∈ X et soit a ∈ F (x), alors il existe b ∈ F (a) tel que}

d(b,a) _{≤ d(a,x) puisque F est contractante. Il existe donc c ∈ F (b) tel que d(b,c) < d(b,a) ≤} d(a,x) puisque F est strictement contractante sur orbites. D’o`u d’apr`es le corollaire 2.3.1, F admet un point fixe.

Si dans le théorème 2.3.1, F (x) contient exactement un élément x_{∈ X, nous obtenons comme} corollaire le théorème du point fixe univoque (théorème 2.2.1) du paragraphe précédent.

Un ensemble ordonné ∆ est dit bien fondé ”artinian” si ∆ ne contient aucune suite stric-tement décroissante δ1 > δ2 > ...

(49)

Le corollaire suivant dérive immédiatement du thérème 2.3.2.

Corollaire 2.3.2 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et supposons que Γ est bien fond´e. Soit F : X _{−→ 2}X _{une application contractante non vide. Supposons de plus que}

F est strictement contractante sur orbites, alors F admet un point fixe

Proposition 2.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique. Soit _{∅ 6= Y ⊆ X un hyperconvexe.} Pour tout x_{∈ X, on pose Π}x ={d(x,y)/y ∈ Y } alors min Πx 6= ∅ et de plus chaque élément

de Πx a un minorant dans min Πx

Preuve. Si x_{∈ Y alors 0 est le plus petit ´el´ement de Π}x.

Nous supposons maintenant que x /_{∈ Y . Soit δ ∈ Π}x. Nous prenons une chaˆıne maximale K

de _{{γ ∈ Π}x; γ ≤ δ}, alors {Bγ(x); γ ∈ K} est une chaˆıne de boules de X par (1.1). Pour

chaque γ _{∈ K, il existe y ∈ Y tel que d(x,y) = γ, donc l’ensemble B}γ(x)∩ Y est une boule

dans Y puisque Bγ(x)∩ Y 6= ∅. Ainsi {Bγ(x)∩ Y ; γ ∈ K} est une famille de boules telle que

0 = d(x,x) _{≤ sup(γ,γ}0); γ,γ0 _{∈ K, i.e. qu’elle vérifie la propriété P de la proposition 2.2.1} dans Y hyperconvexe. Il existe donc z _∈ T

γ∈K

(Bγ(x)∩ Y ). Soit y1 ∈ Y et prenons γ1 = d(y1,x)

si γ1 ≤ d(z,x). D’o`u γ1 ≤ γ pour tout γ ∈ K, par cons´equent K ∪ {γ1} est une chaˆıne. Il

s’ensuit que γ1 ∈ K car K est maximal et par suite d(z,x) ≤ γ1. Ainsi d(z,x) ∈ min Πx et

d(z,x)_{≤ δ.}

Corollaire 2.3.3 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe. Soit F : X _{−→ 2}X _une

application contractante non vide. Supposons que pour tout x _{∈ X, F (x) est hyperconvexe,} alors F admet un point fixe ou il existe un sous ensemble non vide S de X hyperconvexe tel que δ(S)_{∈ min Π}y pour tout y ∈ S

Corollaire 2.3.4 Soit (X,d,Γ) un espace hyperconvexe ultram´etrique. Soit F : X _{−→ 2}X _une

application contractante non vide. Supposons que pour tout x_{∈ X, F (x) est hyperconvexe. Si} on suppose de plus que F est strictement contractante sur orbites, alors il existe x _{∈ X avec} x_{∈ F (x).}

(50)

(51)

3 Espaces ultram´etriques sph´eriquement complets

Dans ce chapitre, nous allons énoncer un théorème de point fixe univoque et un deuxième multivoque dans les espaces ultramétriques généralisé dits sphériquement complets qui sont une généralisation des théorèmes donnés par Priess-Crampe et Ribenboim dans [18] et [21].

§3.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous considérons toujours les espaces ultramétriques à la différence que l’ensemble des valeurs des distances est un ensemble partiellement ordonné quelconque avec un plus petit élément au lieu d’un treillis complet.

La théorie des espaces ultramétriques a connu ses origines dans la valuation et fut adoptée dans la théorie modulaire: chaque corps valué (K,v) peut être per¸cu comme un espace ul-tramétrique. Krull a montré que (K,v) est un corps de valeurs maximal si et seulement si K est sphériquement complet, cela veut dire que l’intersection de toute chaˆıne de boules est non vide. Récemment, S.Priess Crampe et P.Ribenboim ont développé des idées plus larges sur les espaces ultramétriques dans plusieus papiers [19], [20] et [21]. C’est aussi l’objet des travaux de Kuhlmann et Sch”orner dans [24].

Dans le deuxième paragraphe de ce chapitre, nous donnons un résultat sur les applications contractantes dans les espaces ultramétriques sphériquement complets qui généralisent les théorèmes de Sybilla Priess Crampe et Ribenboim.

(52)

La procédure utilisée a l’avantage de contourner les difficultés de la topologie de Scott men-tionnée dans [23] et qui appliquée aux espaces ultrmétriques donnent des résultats plus res-trictifs.

§3.2 Espaces ultram´etriques sph´eriquement complets

Soit X un ensemble et soit (Γ,_{≤) un ensemble ordonné avec un plus petit élément. Soit} d : X_{∗ X −→ Γ une distance ultramétrique.}

Nous rappelons les propriétés des espaces ultramétriques: (1.1) Si 0_{6= α ≤ β et B}α(a)∩ Bβ(b) 6= ∅, alors Bα(a)⊆ Bβ(b).

(X,d,Γ) est dit sph´eriquement complet, si pour toute chaˆıne _{C de boules (ce qui veut dire} B,B0 _{∈ C, alors B ⊆ B}0 ou B0 _{⊆ B), l’intersection ∩C est non vide.}

Dans le cas g´en´eral, T est contractante n’implique pas toujours qu’elle admet un point fixe mais ceci devient vrai si on rajoute quelques conditions

Exemple 1 Soit (K,v,Γ) un corps valu´e.

d : K_{∗ K −→ Γ, d(x,y) = v(x − y) et F : K −→ K, F (x) = x + a, o`u a ∈ K et 0 6= a} d(F (x),F (y)) = d(x,y).

F est contractante mais n’admet aucun point fixe

On établit le théorème suivant sur les espaces ultramétriques.

Théorème 3.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique sphériquement complet et soit T : X _{−→ X une contraction. Alors T admet un point fixe ou il existe une boule B = B}π(z) telle

que T (B) ⊆ B et d(y,T (y)) = π pour tout y ∈ Bπ(z).

Preuve. Supposons que T (x) _{6= x pour tout x ∈ X. Alors π}x = d(x,T (x)) 6= 0 pour tout

x _{∈ X. Posons B}x = Bπx(x) et L = {Bx/x ∈ X}. D’apr`es le lemme de Zorn, il existe une chaˆıne maximale _{C ⊆ L. Comme X est sph´eriquement complet, alors il existe z ∈ ∩C.}

Nous montrons que Bz est la plus petite boule de C. Soit Bx ∈ C, alors

d(x,z) _{≤ π}x = d(x,T (x)). D’o`u d(z,T (x)) ≤ d(x,T (x)). De plus, d(T (z),T (x)) ≤ d(z,x)

(53)

puisque T est contractante . Par cons´equent, d(z,T (z))_{≤ d(x,T (x)) d’apr`es (1.1). On conclut} que Bz ⊆ Bx, ainsi{Bz} ∪ C est une chaˆıne. Il s’ensuit que Bz ∈ C et Bz = M inC. Comme C

est une chaˆıne maximale, donc Bz =∩C.

En utilisant le mˆeme argument qu’auparavant nous obtenons que By = M inC pour tout

y _{∈ ∩C. D’o`u y ∈ B}z et par suite d(y,z) ≤ d(z,T (z)). De plus d(T (y),T (z)) ≤ d(y,z) ≤

d(z,T (z)) et donc d(T (y),z) _{≤ d(z,T (z)). Ainsi d(y,T (y)) ≤ d(z,T (z)). y et z jouent un rôle} symétrique. D’où d(T (y),y) = d(T (z),z) pour tout y_{∈ B}z.

Soit x _{∈ B}π(z) alors puisque T est contractante, d(T (x),T (z)) ≤ d(x,z) ≤ d(z,T (z)). Donc

d(T (x),z)_{≤ π}z et par cons´equent T (x)∈ B.

D’après théorème 3.2.1, nous obtenons le corollaire suivant:

Corollaire 3.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique sph´eriquement complet et

T : X _{−→ X une application contractante. Supposons de plus que pour tout x ∈ X avec} T (x) _{6= x, il existe un entier positif n ≥ 0 tel que d(T}n+2(x),Tn+1(x)) < d(Tn+1(x),Tn(x)). Alors T admet un point fixe. Si de plus Γ est totalement ordonn´e alors l’ensemble des points fixes de T est sph´eriquement complet.

Preuve. Nous déduisons aisément d’après le théorème 3.2.1 que T a point fixe. Supposons alors que Γ est totalement ordonné. Soit Fix(T) l’ensemble des points fixes de T et soit BF ix(T )(xi,γi)i∈I une chaˆıne de boules de Fix(T) (BF ix(T )(xi,γi) = B(xi,γi)∩ F ix(T )). Nous

avons B(xi,γi)∩ F ix(T ) 6= ∅. Soit yi ∈ B(xi,γi)∩ F ix(T ), donc B(yi,γi) = B(xi,γi) d’apr`es

(1.1). Alors, nous pouvons supposer sans perte de généralité que xi ∈ F ix(T ) pour tout i ∈ I,

donc les boules B(xi,γi) forment une chaˆıne de boules de X. En effet, si nous avons

BF ix(T )(xi,γi) ⊆ BF ix(T )(xj,γj), alors xi ∈ B(xj,γj). Si γi ≤ γj alors B(xi,γi) ⊆ B(xj,γj)

d’apr`es(1.1), sinon nous avons B(xj,γj) ⊆ B(xi,γi). D’o`u B(xi,γi) et B(xj,γj) sont

compa-rables, et puisque X est sph´eriquement complet, alors _{B =} T{B(xi,γi)/i∈ I} 6= ∅ et comme

intersection de boules dans un sphériquement complet, _{B est sphériquement complet. De plus} T (B)_{⊆ B puisque x}i ∈ F ix(T ). Donc le théorème 3.2.1 appliqué à B donne un x ∈ F ix(T )∩B.

Ainsi la derni`ere intersection est non vide et F ix(T ) est sph´eriquement complet.

Ce résultat généralise le théorème de Sybilla Crampe et Ribenboim dans [20]

(54)

Théorème 3.2.2 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique sphériquement complet et soit F : X _{−→ X une application contractante et strictement contractante sur orbites, alors F admet} un point fixe. Si de plus F est strictement contractante sur X, alors le point fixe est unique.

§3.3 Le cas multivoque

Dans ce paragraphe, nous allons établir un théorème de point fixe pour les applications multivoques qui généralise celui de Priess-Crampe and Ribenboim mentionné dans [21].

Soit X un ensemble et (Γ, _{≤) un ensemble partiellement ordonné avec 0 comme plus} pe-tit élément. Soit d : X_{∗ X −→ Γ une distance ultramétrique}

F : X _{−→ 2}X _{une application multivoque non vide.}

Nous utiliserons les mêmes notations que dans le chapitre précédant. Πx ={d(x,y)/y ∈ F (x)}

et pour un sous ensemble ∆_{⊆ Γ, désignons par min ∆ l’ensemble des éléments minimaux de} ∆.

Théorème 3.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace métrique sphériquement complet et

F : X _{−→ 2}X _{une application contractante non vide. Si de plus on suppose que pour tout}

x _{∈ X, min Π}x est fini et tous les ´el´ements de Πx ont un minorant dans min Πx, alors F a

un point fixe ou il existe une boule Bπ(z) telle que π∈ min Πy pour tout y ∈ Bπ(z).

Preuve. Nous supposons que x /_{∈ F (x) pour tout x ∈ X. Alors pour tout x ∈ X, 0 /}_{∈ Π}x 6= ∅

puisque F (x) _{6= ∅. Posons B = {B}πx(x); x∈ X,πx ∈ min Πx} et soit z ∈ T C.

On montre que pour un πz ∈ min Πz, Bπz(z) =T C.

Soit Bπx(x) ∈ C et πx = d(x,y) avec y ∈ F (x). D’apr`es (1.1), z ∈ Bπx(x) = Bπx(y). Nous obtenons d(z,x) _{≤ π}x et d(z,y) ≤ πx. Comme F est contractante ; il correspond `a x,z et

y _{∈ F (x), un ´el´ement b ∈ F (z) tel que d(b,y) ≤ d(x,z). Ainsi d(b,y) ≤ π}x et d(z,y)≤ πx, ce

qui implique que d(z,b)_{≤ π}x. On a donc pour un π ∈ min πz, π≤ d(z,b) ≤ πx . Ainsi

(*) Bπ(z)⊆ Bπx(x) (o`u π depend de x).

(55)

Par hypoth`ese, min Πz ={π1,...,πk}. Nous supposons que pour tout i = 1,...,k,

Bπi(z) /⊆T C. Donc il existe Bπxi(xi)∈ C avec Bπi(z) /⊆ Bπxi(xi) pour i = 1,...,k. Comme_{C est une chaˆıne, il existe B}πu(u)∈ C telle que Bπu(u)⊆

T

1≤i≤k

Bπ_xi(xi). Ainsi pour tout

i = 1,...,k, Bπi(z)/⊆ Bπu(u), qui contradit (*). Ainsi il existe πz ∈ min Πz avec Bπz(z)⊆ T C et donc _{Bπz(z)} ∪ C est une chaˆıne. Par cons´equent, Bπz(z) = T C comme C est minimale avec πz ∈ min Πz

Soit y _∈_{T C, on prouve de la mˆeme fa¸con que T C = B}πy(y) pour un πy ∈ min Πy.

Nous montrons que πy = πz. En effet d(y,z) ≤ πz = d(z,z1) pour un ´el´ement z1 ∈ F (z).

D’autre part, il existe y1 ∈ F (y) tel que d(y1,z1) ≤ d(y,z) ≤ d(z,z1) puisque F est

contrac-tante. Nous d´eduisons que d(y1,z) ≤ πz. Donc d(y1,y) ≤ πz. De plus, d(y1,z) ≤ πz. Ainsi

y1 ∈ Bπz(z) = Bπy(y). Par suite d(y,y1) ≤ πy et donc d(y,y1) = πy car πy is minimal. On conclut que πy ≤ πz.

Corollaire 3.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique sph´eriquement complet. Soit

F : X _{−→ 2}X_{, une application contractante non vide. Nous supposons qu’on est dans les}

mêmes conditions du théorème 3.2.1. Si nous supposons de plus que pour tout x_{∈ X et pour} tout a _{∈ F (x), il existe b ∈ X et il existe c ∈ F (b) tels que d(b,c) < d(b,a) ≤ d(a,x) alors F} admet un point fixe

Preuve. Supposons que F n’admet pas de point fixe. Alors il existe une boule Bπ(z) telle

que π _{∈ min Π}y pour tout y ∈ Bπ(z). Soit π = d(z,z0) avec z0 ∈ F (z), alors il existe b ∈ X

et c _{∈ F (b) tels que d(b,c) < d(b,z}0) ≤ d(z,z0) = π. Donc b ∈ Bπ(z). D’o`u π ∈ min Πb.

Contradiction.

Ce résultat généralise le théorème de Priess-Crampe and Ribenboim qui figure dans [21] Théorème 3.3.2 Soit (X,d,Γ) un espace ultramétrique sphériquement complet et soit F : X _{−→ 2}X _{une application contractante non vide. Supposons de plus que F est strictement}

contractante sur orbites et qu’on est dans les mêmes conditions du théorème 3.3.1, alors F admet un point fixe

Proposition 3.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique. Soit _{∅ 6= Y ⊆ X sph´eriquement} 47

(56)

complet. Pour tout x _{∈ X, on pose Π}x = {d(x,y)/y ∈ Y } alors min Πx 6= ∅ et tout ´el´ement

Πx a un minorant dans min Πx

Preuve. Si x_{∈ Y alors 0 est le plus petit ´el´ement de Π}x.

Nous supposons maintenant que x /_{∈ Y . Soit δ ∈ Π}x. Nous choisissons une chaˆıne maximale

K de _{{γ ∈ Π}x; γ ≤ δ}. Alors {Bγ(x); γ ∈ K} est une chaˆıne de boules de X d’apr`es (1.1)

et pour chaque γ _{∈ K, il existe y ∈ Y tel que d(x,y) = γ. Donc l’ensemble B}γ(x)∩ Y est

une boule de Y , puisque Bγ(x)∩ Y 6= ∅. Ainsi {Bγ(x)∩ Y ; γ ∈ K} est une chaˆıne de boules

de Y , qui est sph´eriquement complet. Il existe donc un z _∈ T

γ∈K

(Bγ(x)∩ Y ). Soit y1 ∈ Y et

prenons γ1 = d(y1,x). Si γ1 ≤ d(z,x) alors γ1 ≤ γ pour tout γ ∈ K, d’o`u K ∪ {γ1} est une

chaˆıne. Donc γ1 ∈ K car K est maximale et par suite d(z,x) ≤ γ1. Ainsi d(z,x) ∈ min Πx et

d(z,x)_{≤ δ.}

Corollaire 3.3.2 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique sph´eriquement complet. Soit

F : X _{−→ 2}X _{une application contractante non vide. Supposons que pour tout x}_{∈ X, F (x)}

est sph´eriquement complet, alors F admet un point fixe ou il existe une boule Bπ(z) telle que

π _{∈ min Π}y pour tout y ∈ Bπ(z)

(57)

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