Dans ce chapitre, nous allons introduire la notion d’hyperconvexit´e dans les espaces ul- tram´etriques g´en´eralis´es, i.e. o`u la distance est `a valeurs dans un treillis complet. Ensuite, nous allons ´etablir un th´eor`eme de point fixe de type Hahn Banach dans ces espaces. Finalement, nous allons ´etendre ce theor`eme aux applications contractantes multivoques. Les r´esultats ´
enonc´es dans ce chapitre ont ´et´e publi´es dans ”New zealand journal of mathematics”, voir [6].
§2.1 Introduction
Il est ind´eniable que le th´eor`eme de point fixe le plus classique dans les espaces m´etriques est le th´eor`eme de Hahn Banach. Depuis, plusieurs r´esultats int´eressants sont apparus pour ´
etendre ce th´eor`eme `a d’autres espaces ´egalement munis d’une distance. Dans ce contexte, les espaces hyperconvexes ont ´et´e introduits. En 1979, Sine [24] et Soardi [25] ont prouv´e ind´ependemment la propri´et´e du point fixe pour les applications non expansives sur les es- paces hyperconvexes born´es. Ce chapitre perp´etue cette tradition et ´elargit l’ensembble des valeurs de la distance `a un treillis complet au lieu de IR+ . Nous consid´erons ici une distance
ultram´etrique obtenue `a partir de la d´efinition standard en rempla¸cant l’in´egalit´e triangulaire par l’assertion d(x,y) ≤ γ et d(y,z) ≤ γ =⇒ d(x,z) ≤ γ. Nous donnons une g´en´eralisation du th´eor`eme de Hahn Banach sur ces espaces qui va aboutir `a d’autres r´esultats et corollaires.
Le concept de chercher des points fixes d’un point de vue topologique ou m´etrique nous donne une extension naturelle de cette approche au cas multivoque.
§2.2 Les espaces ultram´etriques hyperconvexes
Nous commen¸cons par ´enoncer le th´eor`eme de Banach apparu pour la premi`ere fois dans sa th`ese en 1922.
Th´eor`eme 8 (Banach, 1922)
Soient (X,d) un espace m´etrique complet et T : X −→ X une application telle qu’il existe k ∈]0,1[ tel que
d(T (x),T (y))≤ kd(x,y) pour tout x,y ∈ X.
Alors T a un point fixe unique
L’hypoth`ese restrictive de l’existence de k < 1 implique l’unicit´e du point fixe. Le r´esultat n’est plus appliquable quand il existe plus d’un point fixe. En effet, dans plusieurs probl`emes, il arrive que l’´equation sur laquelle on veut appliquer ce th´eor`eme admette plus d’une so- lution. On est amen´e alors `a trouver des g´en´eralisations de ce th´eor`eme dans les espaces ultram´etriques g´en´eralis´es entraˆınant des conditions moins contraignantes.
Soit X un ensemble et (Γ,≤) un treillis complet de plus petit ´el´ement 0 et de plus grand ´
el´ement 1.
Soit d : X∗ X −→ Γ une application qui v´erifie les conditions suivantes: Pour tout x,y,z ∈ X et γ ∈ Γ:
(0) d(x,y) = 0 si et seulement si x = y; (1) d(x,y) = d(y,x);
(2) Si d(x,y)≤ γ et d(y,z) ≤ γ, alors d(x,z) ≤ γ Le triplet (X,d,Γ) est appel´e espace ultram´etrique.
Soit 0 < γ ∈ Γ et a ∈ X. L’ensemble Bγ(a) = {x ∈ X; d(x,a) ≤ γ} est appel´e boule.
Un espace ultram´etrique avec la propri´et´e que pour tout x∈ X et γ ∈ Γ, il existe y ∈ X tel que d(x,y) = γ est dit solide.
Nous ´enon¸cons la propri´et´e suivante pour un espace ultram´etrique (X,d,Γ). (1.1) Si 06= α ≤ β et Bα(a)∩ Bβ(b) 6= ∅, alors Bα(a)⊆ Bβ(b).
Preuve. Soit x ∈ Bα(a), alors d(x,a) ≤ α. D’autre part, il existe y ∈ Bα(a)∩ Bβ(b). Ainsi
d(y,a) ≤ α et d(y,b) ≤ β. Il vient par (1), (2) que d(x,y) ≤ α ≤ β et alors d(x,b) ≤ β. D’o`u x∈ Bβ(b).
(2.2) Soit (X,d,Γ) un espace solide et soit 0 6= α,β ∈ Γ. Si Bα(a) ⊆ Bβ(b), alors α < β
et si Bα(a) = Bβ(b), alors α = β.
Preuve. Par hypoth`ese, il existe z ∈ X tel que d(z,a) = α. Alors z ∈ Bα(a) ⊆ Bβ(b).
D’o`u d(z,b) ≤ β, qui avec d(a,b) ≤ β entraˆıne d(z,b) ≤ β. Ainsi, α ≤ β. Si α = β alors b ∈ Bα(a) et par cons´equent, Bα(a) = Bβ(b). Il vient que Bα(a) ⊆ Bβ(b) implique α < β. Si
Bα(a) = Bβ(b), alors on a montr´e que α < β. Par sym`etrie on a aussi β ≤ α.
Definition 2.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique. X est dit hyperconvexe s’il v´erifie les deux propri´et´es suivantes:
i) 2-Helly: Pour chaque famille (B(xi,γi))i∈I de boules ferm´ees de X:
Si B(xi,γi)∩ B(xj,γj)6= ∅ pour tout i,j, alors
T
i∈I
B(xi,γi)6= ∅;
ii) Convexit´e: Pour tout x,y ∈ X et γ1,γ2 ∈ Γ
Si d(x,y) ≤ sup(γ1,γ2), alors il existe z∈ X tel que d(x,z) ≤ γ1 et
d(z,y)≤ γ2.
Proposition 2.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique. X est hyperconvexe si et seulement si toute famille de boules ferm´ees de (B(xi,γi))i∈I de X v´erifie la propri´et´e P:
T
i∈I
B(xi,γi)6= ∅ si et seulement si d(xi,xj)≤ sup(γi,γj) pour tout i,j∈ I.
Preuve. Nous montrons d’abord que: T
i∈I
B(xi,γi)6= ∅ implique que d(xi,xj)≤ sup(γi,γj) pour tout i,j ∈ I.
Soit z ∈ T
i∈I
B(xi,γi), alors pour tout i,j ∈ I d(xi,z)≤ γi et d(xj,z)≤ γj et donc
d(xi,xj)≤ sup(γi,γj).
Maintenant, soit X un espace hyperconvexe et (B(xi,γi))i∈I une famille de boules de X avec
d(xi,xj) ≤ sup(γi,γj) pour tout i,j ∈ I. Donc pour tout i,j ∈ I, il existe z ∈ X tel que
d(xi,z)≤ γi et d(xj,z)≤ γj (`a partir de la convexit´e). Ainsi
T
i∈I
B(xi,γi)6= ∅ d’apr`es 2-Helly.
R´eciproquement, supposons que toutes les familles de boules ferm´ees de X v´erifient la pro- pri´et´e P et soit (B(xi,γi))i∈I une famille de boules de X avec B(xi,γi)∩ B(xj,γj) 6= ∅ pour
tout i,j ∈ I. Soit z ∈ B(xi,γi)∩ B(xj,γj) alors d(xi,z)≤ γi et d(xj,z)≤ γj.
Donc d(xi,xj)≤ sup(γi,γj) pour tout i,j ∈ I et ainsi T i∈I
B(xi,γi)6= ∅ `a partir de la propri´et´e
P.
Soient x,y ∈ X et γ1,γ2 ∈ Γ tels que d(x,y) ≤ sup(γ1,γ2) alors B(x,γ1)∩ B(y,γ2)6= ∅ `a partir
de P . Soit z ∈ B(x,γ1)∩ B(y,γ2) alors d(x,z) ≤ γ1 et d(z,y)≤ γ2.
Exemple 7
Soit H un ensemble. On d´efinit d : P(H) ∗ P(H) −→ P(H) en posant
d(A,B) = A4 B = {a ∈ H; a ∈ A si et seulement si a /∈ B} (la diff´erence sym´etrique entre A et B).
P(H) muni de l’inclusion est un treillis complet.
(P(H),d,P(H)) est un espace ultram´etrique qui est hyperconvexe
Il est facile de v´erifier que d est une distance ultram´etrique. En effet, si A 6= B alors d(A,B) 6= ∅. Egalement, pour C,T ⊆ H avec d(A,B) ⊆ T et d(B,C) ⊆ T . Si h ∈ H avec h /∈ T , alors h /∈ d(A,B) et h /∈ d(B,C). Donc h ∈ A si et seulemnt si h ∈ B si et seulement si h∈ C. Ainsi h /∈ d(A,C)
Montrons que (P(H),d,P(H)) est solide. Soient A ∈ P(H) et S ∈ P(H). On d´efinit B ∈ P(H) de la fa¸con suivante. Soit a ∈ H, si a /∈ S alors on prend a ∈ B si et seulement si a ∈ A. Si
a∈ S alors on prend a ∈ B si et seulement si a /∈ A. On a bien d(A,B) = S.
Ensuite nous montrons que (P(H),d,P(H)) est hyperconvexe. Soit B = {BSi(Ai); i∈ I} une famille de boules de P(H) avec d(Ai,Aj)⊆ sup(Si,Sj) = Si∪ Sj. Soit S =
T
i∈I
Si et d´efinissons
A ∈ P(H) comme suit: si b ∈ S alors on prend b ∈ A. Si b /∈ S, alors il existe i ∈ I tel que b /∈ Si. Nous prenons b ∈ A si et seulement si b ∈ Ai. S’il existe un autre j ∈ I tel que
b /∈ Sj, alors comme d(Ai,Aj) ⊆ Si∪ Sj, b ∈ Ai si et seulement si b ∈ Aj car b /∈ (Si∪ Sj).
Ainsi A∈ P(H) est bien d´efini. Finalement d(A,Ai)⊆ Si pour tout i∈ I, ce qui montre que
A∈T B.
Proposition 2.2.2 L’intersection non vide de boules ferm´ees d’un espace hyperconvexe est hyperconvexe.
Preuve. Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et soit B = B(x,r) une boule de X.
Soit (Br(xi,ri))i∈I une famille de boules de B (Br(xi,ri) = B∩ B(xi,ri)) qui v´erifie:
d(xi,xj)≤ sup(ri,rj). Soit i∈ I, on a Br(xi,ri)6= ∅. Soit yi ∈ Br(xi,ri),
donc B(yi,ri) = B(xi,ri) d’apr`es (1.1). On peut donc supposer sans perte de g´en´eralit´e que
les xi sont dans B. Les boules B(xi,ri) v´erifient la propri´et´e P dans X hyperconvexe. D’o`u
T
i∈I
B(xi,ri)6= ∅. Soit y dans cette intersection, donc d(y,xi)≤ ri ≤ sup(r,ri) pour tout i ∈ I.
D’o`u y ∈ B. Ce qui montre que B est hyperconvexe.
Nous proc´edons de la mˆeme fa¸con pour l’intersection de deux boules et par suite d’une famille quelconque de boules.
Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique et T : X −→ X une application. T est dite non expan- sive ou contractante si d(T (x),T (y)) ≤ d(x,y) pour tout x,y ∈ X. Si pour tout x,y ∈ X, tels que x 6= y, d(T (x),T (y)) < d(x,y) alors T est strictement contractante. Soit x ∈ X, l’orbite de x par T est l’ensemble{x,T (x),T2(x),...,Tn(x),...}. T est dite strictement contractante sur
orbites si pour tout x∈ X tel que T (x) 6= x, nous avons d(T2(x),T (x)) < d(T (x),x).
On d´efinit B comme l’ensemble des intersections non vides de boules ferm´ees de X et nous posons ¯A =T{B ∈ B; A ⊆ B} pour tout A ⊆ X et δ(A) = sup{d(x,y); x,y ∈ A} le diam`etre
de A.
Le r´esultat suivant a fait l’objet d’une publication dans ”New Zealand Journal of Mathema- tics”, [6]
Th´eor`eme 2.2.1 (S. Bouamama, D. Misane, 2005, [6]) Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et T : X −→ X une application non expansive, alors T admet un point fixe ou il existe un espace hyperconvexe non vide S de X tel que T (S)⊆ S, S = T (S) et
δ(S) = d(x,T (x)) pour tout x ∈ S.
Preuve. Supposons que T n’admet pas de point fixe.
Soit BT = {B ∈ B; T (B) ⊆ B}. BT 6= ∅ car X = B(x,1) pour tout x ∈ X, donc X ∈ BT.
Montrons queBT a un ´el´ement minimal. D’apr`es le lemme de Zorn, il suffit de montrer queBT
est inductivement ordonn´e ou ce qui revient `a montrer que chaque chaˆıne BT a un infinimum
(une chaˆıne est une famille d’´el´ements d’un espace ordonn´e telle que les ´el´ements de la chaˆıne soient comparables deux `a deux).
Soit (Bk)k∈K une chaˆıne de BT ( Bk = T i∈Ik
B(xki,γik)).
Soit k ∈ K. Bk 6= ∅. Soit z ∈ Bk alors d(xki,z)≤ γik et d(xkj,z)≤ γjk pour tout i,j ∈ Ik. Ainsi
d(xik,xkj)≤ sup(γik,γjk) pour tout i,j ∈ Ik.
Soient k1,k2 ∈ K (k1 6= k2); Supposons que Bk1 ⊆ Bk2 (comme (Bk)k∈K est une chaˆıne). Donc z ∈ Bk1 d’o`u d(x k1 i ,z) ≤ γ k1 i et d(z,x k2 j ) ≤ γ k2
j pour tout i ∈ Ik1 et j ∈ Ik2. Il s’ensuit que d(xk1 i ,x k2 j )≤ sup(γ k1 i ,γ k2 j ).
Nous concluons que la famille (B(xki,γik))k∈K,i∈Ik v´erifie la propri´et´eP de la Proposition 2.2.1 dans X hyperconvexe. Ainsi T
k∈K Bk= T k∈K T i∈Ik B(xk i,γik)6= ∅ et T (T k∈K Bk) = T ( T k∈K T i∈Ik B(xk i,γik) ⊆ T k∈K T (T i∈Ik B(xk i,γik)) = T k∈K T (Bk) ⊆ T k∈K Bk puisque tous
les Bk sont dans BT, donc T k∈K
Bk ∈ BT . Ainsi d’apr`es le lemme de Zorn, BT a un ´el´ement
minimal S.
S ∈ BT d’o`u T (S)⊆ S d’apr`es la d´efinition de BT. D’o`u T (S)⊆ S. Il s’ensuit que
T (T (S))⊆ T (S), donc T (S) ∈ BT. Ainsi T (S) = S puisque S est minimal.
S ∈ BT donc S peut s’´ecrire sous la forme S = T k∈K
B(xk,γk), d’o`u S est hyperconvexe
comme l’intersection de boules dans un espace hyperconvexe. Soit x ∈ S, alors d(x,xk)≤ γk
pour tout k ∈ K. T (x) ∈ S, alors d(T (x),x) ≤ γk car d est ultram´etrique. T (x) 6= x, donc
B(x,d(x,T (x))⊆ B(xk,γk) pour tout k∈ K d’apr`es (1.1) et par suite B(x,d(x,T (x)) ⊆ S. Soit
y ∈ B(x,d(x,T (x))) alors d(T (y),T (x)) ≤ d(y,x) ≤ d(x,T (x)) puisque T est non expansive et donc d(T (y),x)≤ d(x,T (x)) comme d est ultram´etrique. Ainsi nous avons
T (B(x,d(x,T (x)))) ⊆ B(x,d(x,T (x))) et par cons´equent B(x,d(x,T (x))) ∈ BT. Par suite,
S = B(x,d(x,T (x))) puisque S est minimal dans BT. Soient y,z∈ S alors d(y,x) ≤ d(x,T (x))
et d(z,x)≤ d(x,T (x)). D’o`u d(y,z) ≤ d(x,T (x)). Il s’ensuit que δ(S) = sup{d(y,z); y,z ∈ S} ≤ d(x,T (x)) ≤ δ(S).
D’apr`es le th´eor`eme 2.2.1, nous obtenons le corollaire suivant:
Corollaire 2.2.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et
T : X −→ X une application non expansive. Supposons de plus que pour chaque x ∈ X tel que T (x) 6= x il existe un entier n ≥ 0 tel que d(Tn+2(x),Tn+1(x)) < d(Tn+1(x),Tn(x))
(nous prenons T0(x) = x). Alors T a un point fixe et l’ensemble des points fixes de T est hyperconvexe.
Preuve. Nous pourrons d´eduire facilement d’apr`es le th´eor`eme 2.2.1 que T a un point fixe car nous ne pouvons obtenir dans ce cas un tel espace S. Soit F ix(T ) l’ensemble des points fixes de T et soit (BF ix(T )(xi,γi))i∈I une famille de boules de F ix(T ) avec d(xi,xj) ≤ sup(γi,γj)
pour tout i,j ∈ I (BF ix(T )(xi,γi) = B(xi,γi)∩F ix(T )). Nous avons B(xi,γi)∩F ix(T ) 6= ∅. Soit
yi ∈ B(xi,γi)∩ F ix(T ), donc B(yi,γi) = B(xi,γi) d’apr`es (1.1). D’o`u nous pouvons supposer
sans perte de g´en´eralit´e que xi ∈ F ix(T ) pour tout i ∈ I. Les boules B(xi,γi) v´erifient la
propri´et´e P de la proposition 2.2.1 sur X hyperconvexe, d’o`u F = T{B(xi,γi)/i ∈ I} 6= ∅
et comme intersection de boules d’un espace hyperconvexe, F est hyperconvexe. En outre T (F )⊆ F puisque xi ∈ F ix(T ), d’o`u le th´eor`eme 2.2.1 appliqu´e `a F donne un x ∈ F ix(T )∩F .
Ainsi la derni`ere intersection est non vide et F ix(T ) est hyperconvexe.
Ce r´esultat g´en´eralise le th´eor`eme suivant:
Th´eor`eme 2.2.2 Soit (X,d,Γ) un espace hyperconvexe ultram´etrique et soit T : X −→ X une application contractante et strictement contractante sur orbites. Alors T a un point fixe. Si de plus T est strictement contractante sur X, alors le point fixe est unique
§2.3 Un th´eor`eme de point fixe multivoque dans les
espaces ultram´etriques
Dans ce paragraphe, nous allons prouver un th´eor`eme de point fixe pour les appli- cations multivoques dans les espaces ultram´etriques qui g´en´eralisent le th´eor`eme vu dans le dernier paragraphe.
Nous commen¸cons par donner une g´en´eralisation du principe de contraction de Banach aux contractions multivoques . Cette version multivoque a ´et´e propos´ee pour la premi`ere fois dans [17], [21].
Th´eor`eme 9 Soit X un espace m´etrique complet et F : X −→ 2X une application multi-
voque. On suppose qu’il existe un r´eel 0 < k < 1 tel que pour tout x∈ X , pour tout y ∈ X et pour tout a ∈ F (x), il existe b ∈ F (x) tel que d(a,b) ≤ kd(x,y) et que pour tout x ∈ X, l’ensemble F (x) est ferm´e et non vide
Alors F admet un point fixe i.e. il existe x∈ X tel que x ∈ F (x)
Soit X un ensemble et soit (Γ,≤) un treillis complet avec 0 comme plus petit ´el´ement et 1 comme plus grand ´el´ement. Soit d : X∗ X −→ Γ une distance ultram´etrique
F : X −→ 2X est dite multivoque. Un ´el´ement x∈ X avec x ∈ F (x) est un point fixe de F . F est dite contractante si pour tout x∈ X, pour tout y ∈ X et pour tout a ∈ F (x), il existe un ´el´ement b∈ F (y) tel que d(a,b) ≤ d(x,y).
Une contraction est stricte, si pour tout x,y ∈ X avec x 6= y et pour tout a ∈ F (x), il existe b ∈ F (y) tel que d(a,b) < d(x,y).
L’application F est dite strictement contractante sur orbites, si pour tout x ∈ X et pour tout a ∈ F (x) avec a 6= x, il existe un ´el´ement b ∈ F (a) avec d(a,b) < d(a,x). Si F : X −→ 2X est une contraction non vide (i.e il existe x ∈ X avec F (x) 6= ∅), alors F (x) 6= ∅ pour tout x∈ X. En effet, soit x ∈ X tel que F (x) 6= ∅ et soit y ∈ X. Prenons a ∈ F (x). Puisque F est contractante, il correspond `a x,y et a∈ F (x), un ´el´ement b ∈ F (y) avec d(a,b) ≤ d(x,y). Ainsi en particulier, F (y)6= ∅. Dans la suite, on va utiliser ce fait sans le mentionner explicitement.
Avant d’´enoncer le th´eor`eme si-dessous, nous introduisons quelques notations. Pour F : X −→ 2X, soit Π
x = {d(x,y); y ∈ F (x)} et pour chaque sous ensemble ∆ ⊆ Γ,
d´esignons par min ∆ l’ensemble des ´el´ements minimaux de ∆
Th´eor`eme 2.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe. Soit
F : X −→ 2X une application contractante non vide. Si de plus on suppose que pour tout
x ∈ X, min Πx 6= ∅, alors F admet un point fixe ou il existe un sous ensemble hyperconvexe
non vide S de X tel que le diam`etre de S, δ(S)∈ min Πy pour tout y ∈ S.
Preuve. Supposons que x 6= F (x) pour tout x ∈ X. Alors pour tout x ∈ X, 0 /∈ Πx 6= ∅,
puisque F (x) 6= ∅.
Posons BF = {B ∈ B; δ(B) ∈ min Πx pour tout x ∈ B} (B est l’ensemble des intersections
non vides de boules ferm´ees de X et δ(B) est le diam`etre de B).
Soit x ∈ X et πx ∈ min Πx. πx 6= 0 et Bπx(x)∈ BF. En effet, posons B = Bπx(x). Soient y,z ∈ B, alors d(y,x) ≤ πx et d(z,x)≤ πx. Donc d(y,z)≤ πx. D’o`u
δ(B) = sup{d(y,z); y,z ∈ B} ≤ πx. Soit π∈ Πx tel que π ≤ δ(B), alors π ≤ πx. Donc π = πx
comme πx est minimal. Il s’ensuit que πx = π ≤ δ(B) ≤ πx. D’o`u δ(B) = πx ∈ min Πx. Ainsi
Bπx(x)∈ BF.
Montrons que BF a un ´el´ement minimal. Soit (Bk)k∈K une chaˆıne de BF
(Bk = T i∈Ik
B(xki,γik)) et nous montrons de la mˆeme fa¸con que dans la preuve du th´er`eme 2.2.1 que d(xk1 i ,x k2 j ) ≤ sup(γ k1 i ,γ k2
j ) pour tout k1,k2 ∈ K ; i ∈ Ik1 et j ∈ Ik2. Donc la famille (B(xk
i,γik))k∈K,i∈Ik v´erifie la propri´et´eP de la proposition 2.2.1 dans X hyperconvexe. Il vient que T
k∈K
Bk 6= ∅. Soit x ∈
T
k∈K
Bk et soit k ∈ K, nous avons x ∈ Bk. Soit π ∈ Πx tel que
π ≤ δ( T
k∈K
Bk), alors π ≤ δ(Bk) comme δ(
T
k∈K
Bk) ≤ δ(Bk). Par cons´equent π = δ(Bk) car
δ(Bk)∈ min Πx. D’o`u δ( T k∈K
Bk) = δ(Bk) ∈ min Πx et par suite T k∈K
Bk ∈ BF. Ainsi, d’apr`es
le lemme de Zorn, BF a un ´el´ement minimal S.
S ∈ BF donc S =
T
k∈K
Bγk(xk). D’o`u S est hyperconvexe comme l’intersection de boules dans un espace hyperconvexe et δ(S) ∈ min Πx pour tout x∈ S car S ∈ BF.
Corollaire 2.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace hyperconvexe ultram´etrique. Soit F : X −→ 2X, une application contractante non vide. On suppose que pour tout x ∈ X, min Πx 6= ∅ et que tous
les ´el´ements de Πx ont un minorant dans min Πx. Si on suppose de plus que pour tout x ∈ X
et pour tout a ∈ F (x), il existe b ∈ X et il existe c ∈ F (b) tels que d(b,c) < d(b,a) ≤ d(a,x) alors F admet un point fixe
Preuve. Supposons que F n’admet pas de point fixe, alors il existe un sous ensemble S de X tel que δ(S)∈ min Πy pour tout y ∈ S. Soient x ∈ S et δ(S) = d(a,x) avec a ∈ F (x), donc
il existe b ∈ X et c ∈ F (b) tels que d(b,c) < d(b,a) ≤ d(x,a) = δ(S). D’apr`es l’hypoth`ese, il existe π ∈ min Πb tel que π≤ d(b,c). La boule Bπ(b)∈ BF (comme dans la preuve du theor`eme
2.2.1). D’o`u S∩ Bπ(b)∈ BF comme intersection de boules deBF. D’o`u S∩ Bπ(b) = S puisque
S est minimal dans BF et par suite b∈ S. Ainsi δ(S) ∈ min Πb. Contradiction.
Ce r´esultat g´en´eralise le th´eor`eme suivant
Th´eor`eme 2.3.2 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et soit F : X −→ 2X une application contractante non vide. Supposons de plus que F est strictement contractante sur orbites et qu’on est dans les mˆemes conditions du corollaire 2.3.1, alors F admet un point fixe
Preuve. Pour voir ceci, soit x ∈ X et soit a ∈ F (x), alors il existe b ∈ F (a) tel que
d(b,a) ≤ d(a,x) puisque F est contractante. Il existe donc c ∈ F (b) tel que d(b,c) < d(b,a) ≤ d(a,x) puisque F est strictement contractante sur orbites. D’o`u d’apr`es le corollaire 2.3.1, F admet un point fixe.
Si dans le th´eor`eme 2.3.1, F (x) contient exactement un ´el´ement x∈ X, nous obtenons comme corollaire le th´eor`eme du point fixe univoque (th´eor`eme 2.2.1) du paragraphe pr´ec´edent.
Un ensemble ordonn´e ∆ est dit bien fond´e ”artinian” si ∆ ne contient aucune suite stric- tement d´ecroissante δ1 > δ2 > ...
Le corollaire suivant d´erive imm´ediatement du th´er`eme 2.3.2.
Corollaire 2.3.2 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe et supposons que Γ est bien fond´e. Soit F : X −→ 2X une application contractante non vide. Supposons de plus que
F est strictement contractante sur orbites, alors F admet un point fixe
Proposition 2.3.1 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique. Soit ∅ 6= Y ⊆ X un hyperconvexe. Pour tout x∈ X, on pose Πx ={d(x,y)/y ∈ Y } alors min Πx 6= ∅ et de plus chaque ´el´ement
de Πx a un minorant dans min Πx
Preuve. Si x∈ Y alors 0 est le plus petit ´el´ement de Πx.
Nous supposons maintenant que x /∈ Y . Soit δ ∈ Πx. Nous prenons une chaˆıne maximale K
de {γ ∈ Πx; γ ≤ δ}, alors {Bγ(x); γ ∈ K} est une chaˆıne de boules de X par (1.1). Pour
chaque γ ∈ K, il existe y ∈ Y tel que d(x,y) = γ, donc l’ensemble Bγ(x)∩ Y est une boule
dans Y puisque Bγ(x)∩ Y 6= ∅. Ainsi {Bγ(x)∩ Y ; γ ∈ K} est une famille de boules telle que
0 = d(x,x) ≤ sup(γ,γ0); γ,γ0 ∈ K, i.e. qu’elle v´erifie la propri´et´e P de la proposition 2.2.1 dans Y hyperconvexe. Il existe donc z ∈ T
γ∈K
(Bγ(x)∩ Y ). Soit y1 ∈ Y et prenons γ1 = d(y1,x)
si γ1 ≤ d(z,x). D’o`u γ1 ≤ γ pour tout γ ∈ K, par cons´equent K ∪ {γ1} est une chaˆıne. Il
s’ensuit que γ1 ∈ K car K est maximal et par suite d(z,x) ≤ γ1. Ainsi d(z,x) ∈ min Πx et
d(z,x)≤ δ.
Corollaire 2.3.3 Soit (X,d,Γ) un espace ultram´etrique hyperconvexe. Soit F : X −→ 2X une
application contractante non vide. Supposons que pour tout x ∈ X, F (x) est hyperconvexe, alors F admet un point fixe ou il existe un sous ensemble non vide S de X hyperconvexe tel que δ(S)∈ min Πy pour tout y ∈ S
Corollaire 2.3.4 Soit (X,d,Γ) un espace hyperconvexe ultram´etrique. Soit F : X −→ 2X une
application contractante non vide. Supposons que pour tout x∈ X, F (x) est hyperconvexe. Si on suppose de plus que F est strictement contractante sur orbites, alors il existe x ∈ X avec x∈ F (x).