5 S´emantiques d´eclaratives - Théorie du point fixe et programmation logique

§5.1 Introduction

La programmation logique est basée sur une approche logique de la représentation des connaissances. L’idée en est de doter les systèmes intelligents d’une spécification logique des connaissances qu’ils possèdent pour que le contrôle puissent se faire systématiquement . Mal- heureusement, cet idéal n’est pas encore atteint dans les systèmes de programmation logique actuelle à cause de leur diversité et parce que le contôle n’est pas assuré au niveau du système mais plutôt par le programmeur qui fait aussi intervenir des moyens de contrôle extra-logiques. Il n’en demeurre pas moins que la performance d’un mécanisme de computation est évaluée par la comparaison entre son comportement et sa spécification logique fournie par les sémantiques déclaratives.

Le problème principal en programmation logique est de trouver les sémantiques déclaratives adéquates pour décrire les systèmes logiques. Ces sémantiques sont souvent définies en utilisant des opérateurs naturels agissant sur les ensembles ordonnés d’interprétations, ce qui donne une définition mathématique des modèles de programmes. Nous considérons tout au long de ce paragraphe les interprétations de Herbrand. L’ensemble de ces interprétations est toujours identifié au power set de la base de Herbrand.

§5.2 S´emantique du plus petit mod`ele

Nous commen¸cons par rappeler le théorème de Tarski sur les structures discrètes.

Th´eor`eme 11 Apt, Kowalski et Van emden [22] Soit X un treillis complet et T : X _{−→ X une application monotone, alors T a un point fixe minimal lfp(T ) et maximal} gf p(T ). En outre,

lf p(T ) = sup_{{x/T (x) ≤ x} et gfp(T ) = inf{x/x ≤ T (x)}} Le mod`ele de Herbrand minimal

Ce modèle fera l’objet de ce paragraphe. On verra qu’il correspond précisément à l’ensemble des ground atomes qui sont conséquences logiques du programme. On obtient une caractérisation du modèle de Herbrand minimal par la théorie du point fixe

Proposition 5.2.1 Soit P un programme et _{Mi}i∈I un sous ensemble non vide de mod`eles

de Herbrand de P , alors T

i∈I

Mi est un ensemble de Herbrand pour P .

Preuve. Puisque chaque programme P a _Bp comme mod`ele de Herbrand, l’ensemble des

modèles de Herbrand est non vide, donc l’intersection de ces modèles est un modèle qui est appelé le modèle de Herbrand minimal pour P , on le note Mp.

Théorème 5.2.1 Soit P un programme positif, i.e. que ces clauses ne contiennent que des littéraux positifs, alors Mp ={A ∈ Bp; A est conséquence logique de P}.

Preuve. A est cons´equence logique de P _{←→ P ∪ {¬A} est insatisfaite.}

←→ P ∪ {¬A} n’a pas de mod`ele de Herbrand. ←→ ¬A est faux suivant tout mod`ele de Herbrand de P .

←→ A est vrai dans tout mod`ele de Herbrand de P . ←→ A ∈ Mp.

Maintenant, on veut trouver une caract´erisation de Mp en utilisant le concept de point

fixe. Pour cela, on associe la structure de treillis complet à l’ensemble des interprétations de Herbrand de ce programme. L’opérateur de Van endem Kowalski [22] est L’application Tp : 2Bp −→ 2Bp définie comme suit: Soit I une interprétation de Herbrand alors

Tp(I) ={A ∈ Bp; A←− A1,...An est une ”ground” instance d’une clause dans Pet {A1,...An} ⊆

I_{}. On vérifie facilement que T}p est montone et donc en appliquant le théorème de Tarski,

on obtient un point fixe de Tp. L’intersection de ces points fixes coincide avec le mod`ele de

Herbrand minimal.

Théorème 12 (Sémantique du plus petit modèle) [Van Emden et Kowalski,1976] Par la sémantique du plus petit modèle d’un programme positif, nous désignons la sémantique déterminée par le plus petit modèle de Herbrand MP de P .

Nous obtenons le modèle Mpen itérant ω fois l’opérateur TP. Effectivement, la suite (TPn(∅)),n =

0,1,2,...ω des it´erations de Tp est croissante et elle a un point fixe

Tω_P(_{∅) = M}P.

La sémantique du plus petit modèle semble refléter le sens expecté par les programmes logiques positifs d’autant plus que la minimisation de l’information positive limite aux faits explicitement impliqués par P . En d’autres termes, la sémantique du modèle parfait est basée sur une forme naturelle de l’hypothèse du monde clos (Closed World Assumption) Reiter,1977 [17] et [18]: Tout ce qui n’est pas conséquence logique est faux (nié par échec).

Néanmoins, la sémantique du plus petit modèle même si elle est adéquate à la structure des programmes positifs, ne reste plus valable pour une classe plus générale de programmes com- prenant des prémisses négatives. Si l’inclusion de la négation dans les clauses de programmes fait croˆıtre le pouvoir expressif des programmes logiques, il n’en demeure pas moins que cela rend le problème encore plus complexe puisque le raisonnement ne devient plus monotone. En effet, si on rajoute de nouvelles connaissances, on peut des fois rétracter des conclusions auquelles on a déjà abouties. En d’autres termes, en présence de prémisses négatives, le sens commun au raisonnement est nonmonotone.

La raison principale de cette nonmonotonicité est que nos connaissances sont souvent in- complètes. Evidemment, les conclusions qu’on tire à partir d’une base d’informations in- complètes peuvent être invalidées à la lumière d’informations plus exactes.

C’est dans cet esprit que les modèles parfaits ont été con¸cus.

§5.3 S´emantique du mod`ele parfait

Dans ce paragraphe, on va ´etudier une classe plus large de programmes appel´es programmes logiques normaux.

Un programme logique normal est un ensemble fini de clauses de la forme A_{←− A}1,...Ak1,¬B1,...¬Bl1 o`u A,(Ak) et (Bl) sont des atomes.

La syntaxe des clauses de programmes détermine des priorités relatives pour la minimisation parmi les ground atomes en respectant les règles suivantes:

I. Les prémisses négatives ont une priorité aussi élevée que celles des têtes.

II. Les prémisses positives ont une priorité non moins élevée que celles des têtes, bien sur on assume que le programme est déjà instantationné.

C’est notre but de définir des modèles minimaux dans lesquelles les atomes d’une priorité plus ´

elevée sont minimisés les premiers, même au prix d’inclure dans le modèle (i.e. le mettant true `

a travers le modèle) d’autres atomes de priorité moindre. Il s’ensuit, que si M est un modèle de P et si un nouveau modèle est obtenu à partir de M en ajoutant et en soustrayant à M des atomes, alors on considérera que le nouveau atome N est préférable à M si et seulement si l’addition de n’importe quel atome A est toujours justifiée par le déplacemant d’un atome B de priorité moindre. Un modèle M de P est dit parfait s’il n’existe aucun modèle de P préférable à lui. La définition formelle est la suivante.

Definition 5.3.1 (Modèle parfait) [ [16] Przymisinski, 1990] Supposons que M et N sont deux modèles distincts du programe logique P . Nous disons que N est préférable à M , si pour tout atome A _{∈ N\M, il existe un atome de priorité supérieure B, tel que B ∈ M\N} Nous disons que le modèle M de P est parfait s’il n’existe aucun modèle préférable à lui. Théorème 5.3.1 (Przymusinski) Chaque modèle parfait est minimal. Pour un programme positif, les sémantiques du plus petit modèle et du modèle parfait coincident

Malheureusement, les programmes logiques n’admettent pas toujours de mod`ele parfait. Exemple 2 Soit le programme

p_{←− ¬q , q ←− ¬p} 63

Ce programme admet deux mod`eles de Herbrand minimaux M1 ={p} et M2 ={q} mais M1

est préférable à M2 et M2 est préférable à M1. Donc aucun n’est parfait.

Le problème dans ce programme est qu’il ne soit pas consistant et que normalement l’assi- gnation des priorités entre les ”ground” atomes doit éviter les conflits de priorité (cycles). C’est pour cela que les approches de Apt, Blair et Walker Apt et al,1988 et Van Gelder [Van Gelder, 1989] [23] qui se refèrent à une relation définie préalablement quand ils utilisent la négation telle que cette définition ne soit pas circulaire et évite la négation récursive. C’est l’idée derrière l’introduction de la classe ds programmes logiques stratifiés et qui a été étendue `

a la classe des programmes localement stratifi´es.

Definition 5.3.2 [Apt et al, 1988; Van Gelder, 1989] Un programme loqique est dit stratifi´e (respectivement localement stratifi´e) si on peut partitionner le programme P (repecti- vement ground(P)) en sous programmes P1,...,Pn(rep. P1,...Pλ,(λ < ω)) tels que:

i) si un symbole de pr´edicat (resp ground atome ) apparait positivement dans Pi, alors

sa d´efinition est contenue dand S

j≤i

Pj;

ii) si un symbole de pr´edicat (resp ground atome) apparait n´egativement dans Pi, alors sa

d´efinition est contenue dans S

j<i

Pj.

La différence entre les définitions de la stratification et de la stratification locale est que dans le premier cas, nous décomposons l’ensemble des symboles de prédicats, tandis que dans le second, nous décomposons la base de Herbrand Bp. Puisque chaque programme peut se

référer seulement à un ensemble fini de symboles de prédicats, les stratifications peuvent être considérées comme finies. D’autre part, si le programme utilise des symboles de fonctions, alors la base de Herbrand est infinie et les stratifications locales sont en général infinies. Le théorème suivant montre qu’un programme localement stratifié a un plus petit modèle MP

par rapport à la relation de préférence <<.

Théorème 5.3.2 [Przymusinski 1988] [19] Chaque programme localement stratifié P a un modèle parfait unique MP.

Definition 5.3.3 (Sémantique du modèle parfait) [Apt et al, 1988; Van Gelder, 1989, Przy- musinski, 1988] Soit P un programme logique stratifié. Par la sémantique du modèle parfait de P , nous désignons la sémantique déterminée par l’unique modèle parfait MP de P .

Il est évident que dans le cas des programmes logiques positifs, la sémantique du modèle parfait est équivalente à la sémantique du plus petit modèle.

Les plus petits modèles ont été caractérisés comme points fixes de l’opérataur de Van Emden- Kowalski. Il s’avère que les modèles parfaits des programmes localement stratifiés peuvent ˆ

etre aussi caractérisés comme des points fixes itérés et comme des itérations de plus petits modèles.

Nous avons besoin d’une généralisation de l’opérateur de Van-endem Kowalski Tp défini dans le

paragraphe pr´ec´edent de la fa¸con suivante: Tp(I) ={A ∈ Bp; il existe une ground instanced’une clause dans P ,A←−

A1,...,Ak1,¬B1,...¬Bl1 telle que (Ak)∈ I et (Bl) /∈ I}.

Problème : L’opérateur Tp n’est plus monotone et donc le théorème de Tarski n’est plus

appliquable dans ce cas.

Pour traiter ces op´erateurs, nous introduisons les puissances d’un op´erateur T comme suit: T _{↑ 0(I) = I;}

T _{↑ (n + 1)(I) = T (T ↑ n(I)) ∪ T ↑ n(I);} T _{↑ ω(I) =}S∞

n=0T n_(I).

Bien sur, les T _{↑ ω(I) ne sont pas ´egaux `a T}n_{(I) sauf si T est monotone. En effet, la suite}

(T _{↑ n(I)) est toujours croissante. Néanmoins, ce concept est utilisé pour construire le modèle} supporté minimal MP pour un programme stratifié comme suit:

M0 =∅;

M1 = TP1 ↑ ω(M0); Mm = TPm ↑ ω(Mm−1); Mp = Mm.

Construction du mod`ele parfait (Seda et Hitzler 1997 [20]):

Soit P un programme localement stratifi´e. On construit la suite transfinie d’it´erations induc- tivement de la fa¸con suivante::

Pour chaque m_{∈ IN, on pose:}

I[1,m] = T[1]m(∅);

I1 =S∞_m=0I[1,m] si n∈ IN avec n ≥ 1;

I[n,m] = T_[n]m(In−1) pour chaque m∈ IN;

In = S∞ m=0I[n,m]; I[P ] = S n<ω In.

Nous pouvons voir que la suite _{Iα} est croissante et que la derni`ere interpr´etation est Iλ.

Nous observons aussi que les it´erations Iα ne traitent pas les atomes positifs et n´egatifs

symétriquement. Dans le paragraphe 5.5 consacré aux sémantiques ”well- founded”, nous allons donner une définition analogue mais symétrique.

Théorème 13 (Apt et al, 1988; Van gelder, 1989) L’unique modèle parfait Mp d’un

programme localement stratifi´e coincide avec Iλ.

La classe des modèles parfaits présente l’inconvénient d’être restreinte aux programmes localement stratifiés. Il existe d’autres programmes logiques avec une sémantique expectée naturelle qui ne sont pas localement stratifiés.

Exemple 3

p(1,2) _←−

q(X) _{←− p(X,Y ),¬q(Y )} Apr`es instantiation, P prend la forme

p(1,2) _←−

q(1) _{←− p(1,2),¬q(2)} q(1) _{←− p(1,1),¬q(1)} q(2) _{←− p(2,2),¬q(2)} q(2) _{←− p(2,1),¬q(1)}

Ce programme n’est pas localement stratifié. En effet q(1) < q(2) et q(2) < q(1). D’autre part, il semblerait que la sémantique expectée de P est bien définie et elle est caractérisée par le modèle M =_{{p(1,2),q(1)} de P . Le programme P semble être sémantiquement équivalent} au programme localement stratifié P∗ consistant en les clauses (1) et (2). Les clauses qui

restent sont inopportunes parce que les atomes p(1,1),p(2,1) et p(2,2) peuvent être assumés faux dans P. En même temps, ce sont eux qui détruisent la stratification locale de P.

Diverses extensions de la sémantique du modèle parfait ont été proposées parmi lesquelles, la sémantique du modèle stable [ Gelfond et Lifschitz, 1988 [10]], et les sémantiques ”well founded”. Cette dernière semble être l’extension appropriée aux sémantiques du modèle parfait.

§5.4 S´emantique du mod`ele stable

Les modèles stables ont été introduits par (Gelfond et Lifschitz, 1988 [10]) par le biais d’un point fixe qui utilise une transformation naturelle des programmes logiques. Nous commen¸cons par introduire l’opérateur de Gelfond Lifschitz Γ d’un programme logique normal P .

Definition 5.4.1 (Gelfond et Lifschitz, 1988 [10]) Soit P un programme logique et soit I une interprétation de P . Par une GL-transformation de P suivant I nous désignons le nouveau programme PI obtenue à partir de P en effectuant les transformations suivantes.

Si r est une clause dans P qui contient un littéral négatif L =_{¬A où A ∈ I, alors r /}_{∈ P}I.

Pour les clauses qui restent, on élimine les littéraux négatifs qui satisfont I.

Puisque le programme résultant ne contient aucune prémisse négative, il est donc positif et ainsi, par le théorème 5.2.1, il a un plus petit modèle unique J . Nous définissons Γ(I) = J . Proposition 5.4.1 Les points fixes de l’opérateur Γ de Gelfond-Lifschitz pour un programme P sont des modèles minimaux pour P .

Ce résultat mène à la définition de la sémantique du modèle stable.

Definition 5.4.2 (Gelfond et Lifschitz, 1988 [10]) Une interprétation I d’un programme logique P est dite modèle stable de P si Γ(I) = I. Si le programme P a un modèle stable unique Mp, alors sa sémantique du modèle stable est déterminée par l’unique modèle expecté

”intended” Mp.

En général, un programme logique peut avoir un ou plusieurs modèles stables ou n’en avoir aucun. Par exemple, le programme p_{←− ¬p n’a aucun modèle stable, alors que le programme}

p_{←− ¬q , q ←− ¬p a deux modèles stables. Néanmoins, dans le cas des programmes locale-} ment stratifiés, les modèles stables sont toujours uniques.

Théorème 14 [Gelfond et Lifschitz, 1988] Chaque programme localement stratifié a un modèle stable unique qui coincide avec l’unique modèle parfait de P .

l’avantage des sémantiques des modèles stables est qu’elles permettent d’étendre la syntaxe des programmes et qu’elles aient une définition simple et élégante. Néanmoins, elles sont définies pour une classe restrictive de programmes et elles ne semblent pas mener aux sémantiques expectées (intended).

§5.5 S´emantiques du mod`ele ”well founded”

Les sémantiques ”well founded” ont été introduits par (Van Gelder et al, 1990 [23]) et semble être l’extension la plus adéquate des sémantiques du modèle parfait pour la classe de tous les programmes logiques. Dans ce paragraphe, nous utiliserons l’approche du plus petit point fixe itéré proposé par Przymusinski 1990 [16] qui semble être une extension naturelle des plus petits modèles et des modèles parfaits.

Definition 5.5.1 (Przymusinski, 1990 [16]) Supposons que P est un programme logique et J une interprétation. L’opérateur θj : Ip −→ Ip sur l’ensemble des interprétations

de P est d´efini comme suit:

θj(I) ={A ∈ Bp; il existe une clause A−→ A1,...An,¬B1,...¬Bm telle que Ai ∈ I pour tout

i_{≤ n et B}j ∈ J pour tout j ≤ m}./

Intuitivement, l’interprétation J représente les faits connus en cours pour être vrais ou faux, les faits vrais dans θj(I) consistent en les atomes qui peuvent être dérivés en une seule étape

du programme en assumant que tous les faits dans J sont maintenus et que tous les faits positifs dans I sont vrais. Les faits faux dans θj(I) consistent en les atomes dont la fausset´e

peut être déduite en une seule étape (en utilisant l’hypothèse du monde clos) à partir du programme P et en assumant que tous les faits dans J sont maintenus et que tous les faits négatifs sont vrais.

Théorème 15 (Przymusinski, 1990 [16]) Pour chaque interprétation J , l’opérateur θJ

est monotone et il a un plus petit point fixe unique donn´e par θ↑ω_J . On va d´esigner le plus petit point fixe de θj par Ω(J ), i.e.

Ω(J) = θ_J↑ω.

Intuitivement, le plus petit point fixe Ω(J ) = θ_J↑ω de θJ contient tous les faits dont la v´erit´e ou

la fausseté peut être déduite (en utilisant l’hypothèse du monde clos) à partir de P connaissant J . L’opérateur Ω a un F-plus petit point fixe unique.

Théorème 5.5.1 [Przymusinski, 1989] L’opérateur Ω a toujours un F-plus petit point fixe MP, i.e. une F-plus petite interprétation Mp telle que

Ω(MP) = MP

De plus, tous les points fixes de Ω sont des modèles minimaux pour P . Nous donnons alors la définition du modèle ”well-founded”.

Definition 5.5.2 [Przymusinski, 1990 [16] Nous appelons l’unique F-plus petit point fixe MP de Ω le mod`ele well founded de P .

Maintenant, nous introduisons les sémantiques well-founded pour les programmes logiques. Definition 5.5.3 [Van Gelder et Al, 1990] Les sémantiques ”well founded” d’un programme logique sont déterminées par l’unique ”well founded” modèle MP.

Pour obtenir une construction du mod`ele MP ”well founded” d’un programme P , nous

d´efinissons la suite _{In} d’interp´etations de P .

I0 =∅;

In+1 = Ω(In) = θI↑ωα; Iα =S{Iα; α < δ}.

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