a une fonction niveau Nous ´ enon¸cons le th´ eor` eme d’existence suivant:

Théorème 7.3.1 Soit Π un programme logique normal disjonctif strictement décroissant par rapport à une fonction niveau, alors Π admet un ensemble de réponses.

Preuve. Montrons que dans ce cas F est strictement contractante. Soient X et Y dans Bp

tels que X _{6= Y . On suppose que d(X,Y ) = 2}−α. Cas 1. α = 0.

Dans ce cas, X et Y diffèrent en un élément Bp de niveau 0. Soit Z ∈ F (X) et U ∈ F (Y ).

Comme F (X) et F (Y ) sont non vides. Soit A _{∈ Z avec l(A) = 0. Puisque P est strictement} décroissant, alors A doit être dans la tête d’une unit clause dans ground (P). Il s’ensuit que A_{∈ U. Par le même argument, si A ∈ U avec l(A) = 0, alors A ∈ Z. Par conséquent}

d(U,Z)_{≤ 2}−1 < 2−0 = d(X,Y ) Cas 2. α > 0

Dans ce cas, X et Y diffèrent en un élément de _Bp de niveau α, mais coincident pour tous

les ”ground” atomes de niveau inf´erieur. Comme on utilise des programmes semi strictement d´ecroissants, pour un atome arbitraire A _{∈ L}α+1, de quelque fa¸con qu’on prenne X ou Y

comme prémisses initiales, toutes les clauses qui ont A dans la tête auront exactement les mêmes parties négatives de leur corps éliminées. Par conséquent, exactement les mêmes clauses sans négation vont déterminer la validité de A. Ainsi les ensembles résultants des ensembles de réponses F (X) et F (Y ) vont coincider pour tous les A _{∈ L}α+1. Soit Z ∈ F (X) et soit

r une clause dans ΠY _{tel que P os(r)} _{⊆ Y . S’il existe A ∈ Head(r) tel que l(A) < α + 1,}

alors P os(r) _{⊆ L}α. Cependant d(X,Y ) = 2−α, donc P os(r) ⊆ X et comme Neg(r) ⊆ Lα

alors r est une clause dans ΠX. On pose Head(r)_{∩ V = Head(r) ∩ Z = singleton car} Z _{∈ F (X) et d’apr`es (2.2). Sinon, on pose Head(r) ∩ V = Head(r) ∩ U = singleton /}_{⊆ L}α+1.

Alors V _{∈ F (Y ) d’après (2.2) et d(V,Z) ≤ 2}−(α+1) < 2−α = d(X,Y ). D’où F est strictement contractante, donc d’après le théorème 7.2.1, F a un point fixe ou en d’autres termes le programme Π a un ensemble de réponses.

§7.4 Programmes semi-strictement d´ecroissants par

rapport `a une fonction niveau

La classe des programmes semi-strictement décroissants par rapport à une fonction niveau coincide avec la classe des programmes localement stratifiés.

Definition 7.4.1 Soit Π un programme normal disjonctif. On dira que Π est localement stra- 86

tifi´e s’il est possible de d´ecomposer Bp en des sous ensembles disjoints

S1,...,Sα,...,α < γ ( γ est un ordinal d´enombrable) tels que pour chaque ground clause:

A1,...,An←− An+1,...,An,¬B1,...,¬Bl1

dans Π, o`u A1,....,Am,B1,...,Bl1 sont des ground atomes tels que ces deux assertions soient vraies:

(i) si Ai est dans la tˆete, Aj est dans le corps, alors stratum(Ai)≥ stratumAj;

(ii) si Ai est dans la tˆete, ¬Bj est dans le corps, alors stratumAi > stratumBj.

Théorème 7.4.1 Soit Π un programme normal disjonctif semi-strictement décroissant par rapport à une fonction niveau, alors Π a un ensemble de réponses.

Preuve:

1) F est contractante. On reprend la preuve du th´eor`eme 7.3.1 en rempla¸cant α + 1 par α.

2) Supposons que F n’admet pas de point fixe, alors d’après le théorème 7.2.1, il existe un sous ensemble non vide S de X tel que le diamètre de S, δ(S)_{∈ min Π}y pour tout y ∈ S,

autremant dit, 2−α= min

Y0_{∈F (Y )}d(Y,Y 0_).

3) Soit Y = T

X0_∈S

X0. Puisque pour chaque X0 _{∈ S, nous avons L}α ∩ X0 = Lα ∩ X, on

obtient alors Y _{∈ S}

4) Nous montrons que Y _{∩ H}α = ∅. Soit Hα = {A ∈ Bp; l(A) = α}. En effet, si on sup-

pose le contraire, posons X0 = X _{∩ L}α. Il est facile de v´erifier que d(X,X0) ≤ 2−α. Par

cons´equent X0 _{∈ S et X}0 = X

5) Nous avons Y _{∩ H}α = ∅, alors il existe Y1 ∈ F (Y ) ∩ S tel que d(Y,Y1) = 2−α, donc

∅ = Y ∩ Hα et Y1∩ Hα 6= ∅ car d(Y,Y0) = 2−α. On veut construire une suite (Yn) dans S telle

que Yn ∈ F (Yn−1) et ∅ = Y ∩ Hα ⊂ Y1∩ Hα ⊆ Y2∩ Hα ⊆...(le symbole ⊂ d´esigne l’inclusion

stricte)

Y1 ∈ S donc il existe U2 ∈ F (Y1) tel que d(Y1,U2) = 2−α

Soit r une clause dans ΠY1 _{telle que P os(r)}_{⊆ Y}

1. S’il existe A ∈ Head(r) tel que A ∈ Y1∩Hα,

alors d’apr`es (2.2), r est n´ecessairement une clause dans ΠY telle que P os(r)_{⊆ Y et}

Head(r) _{∩ Y}1 = {A}. Nous prenons Head(r) ∩ Y2 = {A}. Sinon on prend Head(r) ∩ Y2 =

Head(r)_{∩ U}2. Ainsi Y2 ∈ F (Y1) et Y2 ∈ S.

Montrons alors que Y1 ∩ Hα ⊆ Y2 ∩ Hα. Soit A ∈ Y1 ∩ Hα, alors A apparait dans la tˆete

d’une clause r dans ΠY _{telle que P os(r)} _{⊆ Y ∩ L}

α+1 = Y ∩ Lα puisque Y ∩ Hα = ∅. Par

cons´equent, r est une clause dans ΠY1 _{telle que P os(r)}_{⊆ Y}

1 ∩ Lα+1 ⊆ Y1 car d(Y,Y1) ≤ 2−α

et Y _{∩ H}α =∅. D’où Head(r) ∩ Y1 ={A} = Head(r) ∩ Y2 d’après (2.2) et la définition de Y2.

Nous construisons de la mˆeme fa¸con la suite (Yn) .

6) Nous posons Yω = ∪Yn (ω d´esigne le premier ordinal d´enombrable ), alors Yω ∈ S. Nous

d´efinissons Yω+1 comme suit: Si r est une clause dans ΠYω telle que P os(r)⊆ Yω . r est de la

forme A1\...\An ←− An+1,...Am. S’il existe j et ij ∈ {1..n} tels que Aij ∈ Yj∩ Hα, alors nous posons Head(r)_{∩ Y}ω+1 ={A} = Head(r) ∩ Yj. S’il existe un autre k et ik ∈ {1..n} tels que

Aik ∈ Yk∩Hα, (on suppose que k≥ j), alors d’apr`es (2.2), nous avons {Aj} = Head(r)∩Yj ⊆ Head(r)_{∩ Y}k ={Ak} puisque l(Aj) = l(Ak) = α. Ainsi Head(r)∩ Yω+1 est bien d´efini.

Sinon, soit _{kn+1,...kl} un sous ensemble de {n + 1,...m} tel que l(Aki) = α pour tout i _{∈ {n + 1,...l}, alors il existe m}kn+1,...mkl tels que Aki ∈ Ym_ki pour tout i ∈ {n + 1,...l}. Posons mk = max

n+1≤i≤lmki. Alors Akn+1,...Akr ∈ Ymk d’apr`es 5) et puisque pour i /∈ {kn+1,...Kl},

l(Aj) < α, alors nous avons Ai ∈ Ymk. Soit p la plus petit entier tel que P os(r)⊆ Yp. r est une clause dans ΠYp_{, donc nous prenons Head(r)}∩Y

ω+1= Head(r)∩Yp⊆ H/ α. Alors Yω+1∈ F (Yω)

d’apr`es (2.2) et Yω+1 ∈ S.

Nous montrons que Yω+1∩ Hα = Yω∩ Hα.

Soit A _{∈ Y}ω∩ Hα, alors il existe n ≥ 1 tel que A ∈ Yn∩ Hα. Donc A apparait dans la tˆete

d’une clause r dans ΠYn−1 _{telle que P os(r)} _{⊆ Y}

n−1 et Head(r)∩ Yn = {A} d’apr`es (2.2) et

la définition de la suite Yn. D’où P os(r) ⊆ Yω et r est une clause dans ΠYω. Alors d’après la

d´efinition de Yω+1, nous avons Head(r)∩ Yω+1= Head(r)∩ Yn={A}. D’o`u A ∈ Yω+1∩ Hα.

Soit A _{∈ Y}ω+1∩Hα, alors A apparait dans la tˆete d’une clause r dans ΠYω telle que P os(r)⊆ Yω

et Head(r)_{∩ Y}ω+1={A} d’après (2.2). D’où d’après la définition de Yω+1, il existe n tel que

{A} = Head(r)∩Yω+1 = Head(r)∩Yn. D’o`u A∈ Yn∩Hα. Par suite A∈ Yω∩Hα. Il vient que

d(Yω+1,Yω)≤ 2−(α+1).

Contradiction car 2−α = min

Z∈F (Yω)

d(Yω,Z).

§7.5 Programmes normaux nondisjonctifs

semi-strictement d´ecroissants

Dans ce paragraphe, nous déduisons un résultat analogue pour les programmes non disjonctifs. Dans le cas univoque, l’opérateur de Gelfond Lifschitz F coincide avec l’opérateur de Van-Emden Kowalski pour les programmes non disjonctifs i.e. avec seulement un atome dans la tête des clauses. On obtient la forme univoque du théorème 7.4.1

Théorème 7.5.1 Si P est un programme normal non disjonctif. Si P est semi-strictement décroissant par rapport à une fonction niveau, alors il a un modèle supporté.

Conclusion

Avant d’aborder les espaces ultramétriques généralisés, nous avons préféré commencer par les métriques généralisés, là où nous avons mis l’accent sur les structures discrètes à savoir les ensembles ordonnés et les graphes. Ensuite, nous avons introduit les notions d’hyperconvexité, d’injectivité et d’hyperconvexité qui se sont regroupées dans un seul théorème et qui en plus procurent à la catégorie choisie la structure de variété. Les deux chapitres suivants établissent de nouveaux théorèmes de points fixes de type Hahn Banach sur les espaces ultramétriques généralisés, dans le cas univoque et multivoque. La question qui se pose est de quelle nature serait la catégorie des espaces ultramétriques et comment doit être définie l’injectivité et la rétraction sur ces espaces, en particulier la préparation de notions convenables de morphismes et la translation des théorèmes et des notions connues en topologies modulaires, également le problème de la caractérisation des espaces ultramétriques injectives et la recherche d’enve- loppes injectives pour avoir des résultats satisfaisants dans cette direction.

Dans la seconde partie, on pourrait se demander si la sémantique du modèle supporté coincide avec les autres sémantiques comme c’est le cas pour la sémantique du plus petit modèle. Dans [20], Seda et hitzler ont montré que c’est aussi la sémantique du modèle parfait. Pour la sémantique du modèle stable et ”well founded”, on pourrait voir si elles ont des modèles en recherchant des points fixes pour les opérateurs conséquents ou en déterminant la syntaxe des programmes qui ont des modèles pour ces sémantiques. Le dernier chapitre apparait comme

une généralisation du chapitre précédent au cas disjonctif mais le passage direct n’est pas du tout évident puisque les clauses comportent plus d’atomes et de portes logiques et que l’opérateur de Gelfond lifchitz est multivoque. Donc les difficultés se multipient encore plus. Mais de fa¸con générale, exception faite pour les sémantique de complétude de clarck ”clark’s completion semantic” et pour les programmes localements stratifiés, nous n’avons pas abordé les autres sémantiques et exposer les difficultés souvent insoup¸connés au départ, qu’on ren- contre lorsqu’on cherche des points fixes pour les opérateurs associés aux sémantiques. Il est clair qu’il reste encore plus de problèmes à résoudre que l’on a déjà résolus.

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Auteur : Sara BOUAMAMA

Discipline : Mathématiques

Spécialité : Mathématiques Appliquées

Titre :

THEORIE DU POINT FIXE ET PROGRAMMATION

Dans le document Théorie du point fixe et programmation logique (Page 98-108)