1ereS_Ex_Chapitre 04

(1)

3. Fiche de synth èse sur le nombre d ériv é

Définition du nombre dérivé de la fonction f en a : f′_{(a) = lim} h→0 f_{(a + h) − f(a)} h = l ´ Equation de la tangente à Cf en a : Ta: y = f′(a)(x − a) + f(a)

4. Exercices et corrig ´es

22, 23, 26 p.84 : Utiliser la définition 4.1 pour prouver l’existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée, puis calculez sa valeur.

1) f (x) = 1

x en a = −1.

2) f (x) = x2_{− 5x + 3 en a = 2.}

3) f (x) = x3− 3x en a un nombre donn´e quelconque. Corrig´e du 1°) ex.22 p.84

D’après la définition, si f′_{(a) existe, f}′_{(a) vérifie : f}′_{(a) = lim}

h→0f (a+h)−f (a)h .

Soient a et h des r´eels tels que a ∈ R∗_{et a + h ∈ R}∗_{, c’est-`}_{a-dire a 6= 0 et h 6= −a. Il vient :} f (a+h)−f (a) h = 1 h 1 a+h− 1 a

=_h1_a(a+h)a×1 −(a+h)×1a(a+h)

= 1 h a−(a+h) a(a+h) = 1 h ✁a−✁a−h) a(a+h) = −✁h ✁ ha(a+h) = −1 a(a+h) Lorsque h → 0, on a lim h→0 −1 a(a + h) existe et lim h→0 −1 a(a + h) = − 1 a2

En particulier pour a = −1, il vient f′_{(−1) =} −1

(−1)2 =−1₁ = −1 Corrig´e du 2°) ex.23 p.84

h→0f (a+h)−f (a)h .

Soient a et h des r´eels tels que a ∈ R et h ∈ R. Il vient :

f (a+h)−f (a) h = 1 h (a + h) 2_{− 5(a + h) + 3 − (a}2_{− 5a + 3)} =_h1a2+ 2ah + h2−✚5a − 5h +✚ ✁3 −a2+✚5a −✚ ✁3 = 1 h 2ah + h 2_{− 5h} =2a✁h+h−5✁h ✁h = 2a + h − 5 Lorsque h → 0, on a lim h→02a + h − 5 existe et lim h→02a + h − 5 = 2a − 5

(2)

Corrig´e du 3°) ex.26 p.84

h→0f (a+h)−f (a)h .

f (a+h)−f (a) h = 1 h (a + h) 3 − 3(a + h) − (a3− 3a) = 1 h a 3_{+ 3a}2_h_{+ 3ah}2_{+ h}3_{− 3a − 3h − a}3_{+ 3a} = 1 h 3a 2_h_{+ 3ah}2_{+ h}3_{− 3h} =3a2h+3ah2−3h h = 3a2_{+ 3ah − 3} Lorsque h → 0, on a lim h→03a 2 + 3ah − 3 existe et lim h→03a 2 + 3ah − 3 = 3a2− 3 Et ceci pour tout a ∈ R.

D’une manière générale, si f (x) = xn_{, on aura f}′_{(a) = na}n−1_.

C’est bien pratique, surtout quand on sait que 1

x = x−1et que

√

x= x1/2_...

n°1p.77 :La courbe ci-dessous est celle d’une fonction f.

Utilisez le quadrillage pour donner le nombre dérivé associé à la tangente en A et en B.

Corrigé du n°1p.77 :La tangente en A a une pente de 2 :lorsque l’on se ”décale” d’un cran vers la droite, il faut ”monter” de 2 crans pour revenir sur la tangente, d’où la pente +2). Donc le nombre dérivé associé est +2. La tangente en B a une pente de −1

2 :lorsque l’on se ”d´ecale” d’un cran vers la droite, il faut ”descendre” de 1/2 cran

pour revenir sur la tangente, d’où la pente -1/2). Donc le nombre dérivé associé est −1 2.

n°2p.77 :La courbe repr´esentative C d’une fonction f passe par le point A(2; 3). La tangente `a la courbe en A passe par le point B(4; −1).

Calculez f′_(2).

Corrigé du n°2p.77 : La tangente en A est une droite qui passe par les points A(2 ;3) et B(4 ;-1). Nous allons chercher une équation de cette droite pour trouver son coefficient directeur ; si nous cherchons son ”équation réduite” (équation de la forme y = mx + p), nous aurons tout de suite son coefficient directeur m. Pour cela, écrivons que les points A et B appartiennent à la droite en mettant leurs coordonnées dans l’équation y = mx + p.

yA = mxA+ p yB = mxB+ p c’est-`a-dire : 3 = 2m + p −1 = 4m + p

On n’a même pas besoin de résoudre entièrement le système, il suffit de trouver m, donc d’éliminer p, par exemple en soustrayant les équations membre à membre. Il vient :

3 − (−1) = 2m − 4m + p − p, c’est-`a-dire 4 = −2m, d’o`u m = −2.

Donc f′_{(2) = −2 (la pente de la tangente au point A donne le nombre d´eriv´e en x} A).

n°3p.77 :C est la courbe repr´esentative d’une fonction f. On donne :

f(0) = 2 ; f (4) = 5 ; f (7) = 3 ; f (10) = 5 ; f′_{(0) = 1 ; f}′_{(4) = 0 ; f}′_{(7) = 0 ; f}′_{(10) = 2.}

1.a) Placez les points A, B, C, D d’abscisses respectives 0 ; 4 ; 7 ; 10. 1.b) Tracez les tangentes `a la courbe C en ces points.

(3)

2) Dessinez une allure possible de C dans l’intervalle [0 ;10]. Corrig´e du n°3p.77 :

n°4p.78 :f est la fonction d´efinie sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f(x) = 1 x.

C est sa courbe repr´esentative.

1.a) Calculez f′_{(1) et f}′₍₋1

2), à l’aide de la définition du nombre dérivé (voir n°22p84).

1.b) Tracez la tangente `a la courbe C aux points A et B d’abscisses respectives 1 et −1 2.

2) Déterminez une équation de ces tangentes. Corrigé du n°4p.78 :

1.a) On a vu `a l’ex. 22p84 que lorsque h → 0, on a lim h→0 −1 a(a + h) existe et lim h→0 −1 a(a + h) = − 1 a2

En particulier pour a = 1, il vient f′_{(1) =} −1

(1)2 =−1₁ = −1 et pour a = −12, il vient f′(− 1 2) = ₍₋−11 2) 2 =−11 4 = −4 1.b)

2) On a déjà, grâce au nombre dérivé, le coefficient directeur de ces droites, c’est-à-dire le nombre m dans une équation réduite du type y = mx + p.

´

Equation de TA, la tangente au point A. On a m = −1, donc l’´equation est de la forme y = −x + p.

Pour déterminer p, on met dans cette équation les coordonnées du point A(1; f (1)), c’est-à-dire A(1; 1).

Il vient : 1 = −1 × 1 + p, d’où 1 = −1 + p, d’où p = 2 ; l’équation de TAest y = −x + 2 (ce qui est cohérent avec notre

graphique). ´

Equation de TB, la tangente au point B. On a m = −4, donc l’´equation est de la forme y = −4x + p.

On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point B(−1 2; f (−

1 2)),

c’est-`a-dire B(−1 2; −2).

(4)

Il vient : −2 = −4 × (−1

2) + p, d’où −2 = 2 + p, d’où p = −4 ; l’équation de TB est y = −4x − 4 (ce qui est cohérent

avec notre graphique).

n°5p.78 :f est la fonction d´efinie sur [0; +∞[ par f(x) =√x. C est sa courbe repr´esentative.

1.a) Pour étudier la limite du taux de variation comme dans les exercices 1 à 3, multiplier le numérateur et le dénominateur du taux de variation

f(a + h) − f(a)

h =

√

a+ h −√a h par √a+ h +√a, qui s’appelle ”la quantit´e conjugu´ee” de√a_{+ h −}√a. Utiliser ensuite le produit remarquable ”(a − b)(a + b) = a2_{− b}2_.

Finalement, calculer f′_{(1) et f}′_(4).

1.b) Tracer la tangente à la courbe C aux points A et B d’abscisses respectives 1 et 4. 2) Déterminer une équation de ces tangentes.

Corrig´e du n°5p.78 :

1.a)D’après la définition, si f′_{(a) existe, f}′_{(a) vérifie : f}′_{(a) = lim}

h→0f (a+h)−f (a)h .

Soient a et h des r´eels tels que a ∈ R+ et h tel que (a + h) ∈ R+. Il vient : f (a+h)−f (a) h = √ a+h−√a h =( √ a+h−√a)×(√a+h+√a) h×(√a+h+√a) = √a+h 2 −√a2 h(√a+h+√a) = (✁a+h)−✁a h(√a+h+√a) = ✁h ✁ h(√a+h+√a) =_√ 1 a+h+√a Lorsque h → 0, on a limh→0√ 1 a+h+√a existe et lim h→0 1 √ a+ h +√a = 1 2√a Et ceci pour tout a ∈ R+.

Donc f′_{(1) =} 1 2√1 = 1 2 et f′(4) = 1 2√4 = 1 4 1.b)

Les pentes des tangentes sont cohérentes avec les résultats trouvés à la question précédente.

2)On applique la même méthode qu’à l’exercice 4, en recherchant des équations réduites y = mx + p dont on a déjà le coefficient directeur m.

´

Equation de TA : y = mx + p avec m =1₂. On cherche la valeur de p en mettant les coordonn´ees du point A(1; f (1)),

i.e. A(1; 1) dans cette ´equation ; il vient : 1 = 1₂× 1 + p ⇒ p = 1 −12 ⇒ p =

1 2

Ce résultat est cohérent avec le graphique (ordonnée à l’origine). ´

Equation de TB : y = mx + p avec m = 1₄. On cherche la valeur de p en mettant les coordonn´ees du point B(4; f (4)),

i.e. B(4; 2) dans cette ´equation ; il vient : 2 = 1

4× 4 + p ⇒ p = 2 − 1 ⇒ p = 1

(5)

n°6p.78 :f est la fonction d´efinie sur R par f(x) = x3_.

C _{est sa courbe repr´esentative.}

A et B sont des points de C d’abscisses respectives 1 et −1.

1) Calculez f′_{(1) et f}′_(−1).

2) Tracez les tangentes en A et B `a C .

3.a) Quelle conjecture faites-vous concernant ces tangentes ?

3.b) Prouvez-le.

Corrigé du n°6p.78 : 1.a)Comme au 26p.84, d’après la définition, si f′_{(a) existe, f}′_{(a) vérifie :}

f′_{(a) = lim}

h→0f (a+h)−f (a)h .

f (a+h)−f (a) h = (a+h)3 −a3 h =✚a3 +3a2 h+3ah2 +h3 −✚a3 h =3a2 h+3ah2 +h3 h = 3a2+ 3ah + h2

Lorsque h → 0, on a limh→03a2+ 3ah + h2 existe et

lim

h→03a

2_{+ 3ah + h}2 _{= 3a}2

Et ceci pour tout a ∈ R.

Donc f′_{(1) = 3 × 1}2_{= 3 et f}′_{(−1) = 3 × (−1)}2_{= 3 .}

2)

3.a)Les tangentes semblent parall`eles.

3.b) Les tangentes SONT parallèles, car elles ont le même coefficient directeur (on l’a calculé à la 1ère question) ! Inutile de faire de gros calculs...

(6)

n°30p.84 :

Les fonctions suivantes sont d´erivables en x = 1. Lire f′_(1).

Corrig´e du n°30p.84 : On lit la pente de la tangente. – a) f′_{(1) =} 1 3 – b) f′_{(1) = 0} – c) f′_{(1) = 0} – d) f′_{(1) = −1} n°31p.84 :

La fonction suivante est dérivable sur son domaine de définition. Par lecture graphique, donner la pente de chacune des tangentes tracées, puis donner une équation de chacune de ces tangentes.

Corrig´e du n°31p.84 : On lit la pente des tangentes : TA a pour pente mA= 0.

TB a pour pente mB= −3.

TC a pour pente mC= −2₃.

TD a pour pente mD= 4.

´

Equations des tangentes :

On a déjà, grâce au nombre dérivé, le coefficient directeur de ces droites, c’est-à-dire le nombre m dans une équation réduite du type y = mx + p.

´

Equation de TA, la tangente au point A. On a mA= 0, donc l’´equation est de la forme y = 0x + p.

Pour déterminer p, on met dans cette équation les coordonnées du point A(−2; 6). Il vient : p = 6 ; l’équation de TA est y = 6 (ce qui est cohérent avec notre graphique).

´

Equation de TB. On a mB= −3, donc l’´equation est de la forme y = −3x + p.

On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point B(1; 2).

Il vient : 2 = −3 × (1) + p, d’où 2 = −3 + p, d’où p = 5 ; l’équation de TB est y = −3x + 5 (ce qui est cohérent avec

notre graphique). ´

Equation de TC. On a mC= −2₃, donc l’´equation est de la forme y = −2₃x+ p.

On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point C(3; −2). Il vient : −2 = −2

3× (3) + p, d’où −2 = −2 + p, d’où p = 0 ; l’équation de TC est y = − 2

3x(ce qui est coh´erent avec

(7)

´

Equation de TD. On a mD= 4, donc l’´equation est de la forme y = 4x + p.

On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point D(5; 1).

Il vient : 1 = 4 × 5 + p, d’où 1 = 20 + p, d’où p = −19 ; l’équation de TDest y = 4x − 19 (ce qui semble cohérent avec

notre graphique). n°35, 36, 37, 38 p.84 :

f est une fonction et a un nombre donné. f est dérivable en a. Déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a :

1°) f(x) = 3x2_{+ 5x − 2 et a = −2} 2°) f(x) =12(−7x + 5 + x 2_{) et a = 5} 3°) f(x) =√xet a = 9 4°) f(x) = x3 _{et a = 2} Corrig´e des n°35, 36, 37, 38 p.84 :

1°) f′_{(x) = 6x + 5, donc f}′_{(a) = −12 + 5 = −7. De plus, f(a) = 0, d’o`u T}_a_{|y = −7(x + 2), i.e. T}_a_{|y = −7x − 14}

2°) f′_{(x) = x −}7 2, donc f′(a) = 3 2. De plus, f (a) = − 5 2, d’o`u Ta|y = 3 2(x − 5) − 5 2, i.e. Ta|y = 3 2x− 10 3°) f′_{(x) =} 1 2√x, donc f′(a) = 1

6. De plus, f (a) = 3, d’o`u Ta|y = 1 6(x − 9) + 3, i.e.Ta|y = 1 6x+ 3 2

4°) f′_{(x) = 3x}2_{, donc f}′_{(a) = 12. De plus, f (a) = 8, d’o`}_{u T}