2011-2012

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2011-2012

CONTR ˆOLE CONTINU

Suites num´eriques

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 1. Soit (un) la suite d´efinie par

∀n ∈ N, un = e−2n

(a) Montrer que (un) est une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera la raison et le premier

terme.

(b) En d´eduire le comportement de (un) (variations, nature et limite ´eventuelle).

2. Soit (vn) la suite d´efinie par

vn =

e(n−1)2 _{+ e}−2n

en2₊₁

− 1 (a) Montrer que vn existe pour tout n ∈ N.

(b) Montrer que

vn∼ ∞un

(c) En d´eduire la nature de (vn) et donner sa limite.

(d) D´ecrire la vitesse de convergence de (vn).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 ´Etude des suites v´erifiant un+1= un− sin(un).

On note (un) un suite du type

1. ´Etude graphique.

(a) Tracer dans le rep`ere 1 le trajet de la suite (un) v´erifiant u0 = 2π₃ .

(b) Quel semble ˆetre le comportement de cette suite ? 2. ´Etude analytique.

(a) Montrer que 0 et π sont des points fixes de f . (b) D´eterminer leurs natures.

(c) Justifier le comportement observ´e dans la ques-tion 1b.

(d) D´eterminer l’ensemble des points fixes de f (on pourra s’appuyer sur le graphe ci-contre).

(e) D´eterminer la nature de chacun de ces points fixes. (f) En d´eduire le comportement d’une suite (un) en

fonction de sont point de d´epart u0. 5 10 15

2 4 6 8 10 12 14

y

x

y

f

x

Exercice 3 Soit (un) la suite d´efinie par

 u0 = 0, u1 = √ 3 un+2= un+1− un 1. Calculer u2, u3 et u4. 2. Montrer que ∀n ∈ N, un= A 1 2 + i√3 2 !n + B 1 2 − i√3 2 !n

o`u A et B sont des constantes (complexes) `a d´eterminer. 3. Montrer `a l’aide des formules d’Euler que

∀n ∈ N, un= 2sin

nπ 3



(on pourra commencer par d´eterminer la forme exponentielle des racines 1₂+i

√ 3 2 et 1 2− i√3 2 ).

4. D´ecrire le comportement de un quand n → +∞.

? ? ?

ISA BTP 1◦ann´ee Contrˆole continu 2011-2012 Nom : ... Pr´enom : ...

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1

2

3

4

CORRECTION

Puisque le quotient ci dessus est constant, la suite associ´ee est g´eom´etrique. La constante obtenue est la raison q = e−2. Le premier terme est ici u0 = e0 = 1.

(b) (un) est donc une suite g´eom´etrique de raison q = e−2 ∈ [0, 1[. Elle est donc

d´ecroissante et converge vers 0.

2. _{(a) Pour tout n ∈ N, n}2_{+ 1 > 1. Donc e}n2₊₁

> e > 1. Le d´enominateur de vnne s’annule donc jamais. (b) vn un = 1 e−2n. e(n−1)2 _{+ e}−2n en2₊₁ − 1 = e (n−1)2_+2n + 1 en2₊₁ − 1 = e n2₊₁ + 1 en2₊₁ − 1 En mettant en facteur le terme le plus fort (en2₊₁

) au num´erateur et au d´enominateur, on obtient 1 pour limite du quotient vn

un. Par d´efinition, les deux suites sont donc

´equivalentes.

(c) La suite (vn) a la mˆeme nature que (un) et la mˆeme limite. Donc (vn) converge vers

0.

(d) La vitesse de convergence de (vn) est la mˆeme que pour (un). Il s’agit donc ici d’une

convergence g´eom´etrique (donc rapide).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1

2 3 4

(b) La suite (un) semble converger vers 0.

2. (a) On a

f (0) = 0 − sin(0) = 0

f (π) = π − sin(π) = π Donc 0 et π sont des points fixes de f .

(b) f0(x) = 1 − cos(x). Donc

f0(0) = 0 f0(π) = 2 Donc 0 est stable et π est instable.

(c) La question 1b porte sur une suite associ´ee `a f dont le premier terme u0 est dans

l’intervalle [0, π]. Puisque f est croissante sur cet intervalle, il est stable pour f . La suite (un) est donc monotone. De plus, puisque f (x) < x sur [0, π], la suite (un) est

d´ecroissante. ´

Etant d´ecroissante et minor´ee (par 0), elle converge. Puisque f est continue, (un)

converge vers le point fixe de f duquel elle se rapproche, `a savoir 0.

(d) Les points fixes de f sont les solutions de f (x) = x ⇔ sin(x) = 0. Il s’agit donc des points xk d´efinis par xk= kπ, k ∈ Z.

(e) Soit xk= kπ un point fixe quelconque de f . On a

f0(xk) = 1 − cos(kπ) =

 0 si k est pair 2 sinon Donc xk est stable si k est pair et instable sinon.

Exercice 3 : 1. u2 = u1− u0 = √ 3, u3 = u2− u1 = 0, u4 = u3− u2 = − √ 3.

2. (un) est une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2 `a coefficients constants. Son polynˆome

caract´eristique est

P (X) = X2− X + 1 dont les racines sont r1,2 =

1 ± i√3

2 .

Il existe donc A, B ∈ C tels que

∀n ∈ N, un= Ar1n+ Br n 2.

En appliquant cette formule `a n = 0 puis n = 1, on obtient le syst`eme suivant :          A + B = 0 A 1 + i √ 3 2 ! + B 1 − i √ 3 2 ! = √3 ⇐⇒    A = 1_i B = −1_i Ainsi, ∀n ∈ N, un= 1 i " 1 + i√3 2 !n − 1 − i √ 3 2 !n#

3. En calculant le module et l’argument des racines r1 et r2, on obtient leur ´ecriture

expo-nentielle : r1 = ei π 3, r 2 = e−i π 3.

On peut ´egalement utiliser un argument g´eom´etrique :

-1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 _r1 D’o`u ∀n ∈ N, un= 1 i e inπ_{3 − e}−inπ 3
= 2.e inπ_{3 − e}−inπ 3 2i = 2 sinnπ 3 

(Formule d’Euler pour le sinus) 4. La suite est donc oscillante. Elle alterne entre les valeurs 0, √3, 0 et −√3.