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4 : minimisation sous contraintes d’´ egalit´ e

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MAM4-SI4 - Optimisation 2010-2011

TD n

◦

4 : minimisation sous contraintes d’´ egalit´ e

Exercice 1 : Soit la fonctionf :

f(x, y) =x4+y4+ 4xy (1)

1.1. Montrer quef admet un minimum global surR2.

1.2. Calculer la Hessienne de f et d´eterminer si f est convexe sur toutR2.

1.3. D´eterminer les points critiques de f et donner leur nature : minimum local, maximum local, point-selle.

1.4. En quel(s) point(s) f atteint-elle son minimum global ? quelle est la valeur minimale de f? Expliquer pourquoif ne peut pas ˆetre convexe.

Exercice 2 :

On consid`ere le probl`eme d’optimisation suivant : sup

x2+y2=1

xy. (2)

2.1. Prouver l’existence d’une solution.

2.2. R´esoudre le probl`eme `a l’aide des multiplicateurs de Lagrange.

2.3. Donner une interpr´etation g´eom´etrique du r´esultat.

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