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2012-2013

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2012-2013

CONTR ˆOLE CONTINU

´

Equations diff´erentielles.

Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Soit

(E) : (1 − x2)y0− 2xy = 3x2.

1. D´eterminer les trois intervalles I1, I2 et I3 de r´esolution de (E). On notera I2 l’intervalle

contenant 0.

2. Montrer que pour k = 1, 2 et 3, les solutions de l’´equation homog`ene (H) associ´ee `a (E) sur Ik sont de la forme

yh : x 7→

λk

1 − x2, λk∈ R.

3. D´eterminer, pour chacun de ces intervalles, une solution particuli`ere de (E) en appliquant la m´ethode de variation de la constante.

4. Prolongement en 1

(a) D´eterminer l’unique solution y1 de (E) d´efinie sur I2 et v´erifiant y(0) = −1.

(b) Montrer que y1 se prolonge en une solution d´efinie sur ] − 1, +∞[.

5. Prolongement en −1

(a) D´eterminer l’unique solution y2 de (E) d´efinie sur I2 et v´erifiant y(0) = 1.

(b) Montrer que y2 se prolonge en une solution d´efinie sur ] − ∞, 1[.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 Soit a ∈ R. On consid`ere le syst`eme (Sa) :

 x0 = ay (E

1)

y0 = −ax (E2)

1. Montrer que si (x, y) est une solution de (Sa), alors la fonction x v´erifie

x00+ a2x = 0.

(2)

3. Dans le plan muni d’un rep`ere R orthonorm´e on consid`ere une particule dont les coor-donn´ees `a chaque instant sont donn´ees par X(t) =  x(t)

y(t) 

R

.

(a) D´eterminer l’unique solution de (Sa) qui v´erifie les conditions initiales

x(0) = 1, y(0) = 0.

(b) D´ecrire la trajectoire d’une telle particule si son point de d´epart est le point P1 =

 1 0

 . (c) D´eterminer l’unique solution de (Sa) qui v´erifie les conditions initiales

x(0) = 0, y(0) = 2.

(d) D´ecrire la trajectoire d’une telle particule si son point de d´epart est le point P2 =

 0 2

 . (e) De fa¸con g´en´erale, d´eterminer l’unique solution de (Sa) qui v´erifie les conditions

initiales

x(0) = x0, y(0) = y0.

(f) D´ecrire la trajectoire d’une particule en fonction de sont point de d´epart P0 =

 x0 y0  . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 Soit (E) : y0 = 1 − ey. 1. ´Etude qualitative.

(a) D´eterminer la fonction F telle que y0 = F (y).

(b) En d´eduire l’unique point fixe de (E) et d´eterminer sa nature. (c) Tracer l’allure de quelques solutions.

2. R´esolution exacte.

(a) Montrer que si y est une solution non nulle de (E) alors y0e−y

e−y − 1 = 1.

(b) En d´eduire l’ensemble des solutions de (E).

(c) Le r´esultat trouv´e `a la question pr´ec´edente est-il coh´erent avec l’´etude qualitative de la question 1 ? (Justifier).

? ? ?

(3)

CORRECTION

Exercice 1 :

1. Les valeurs interdites sont ici les valeurs qui annulent le coefficient 1 − x2 de y0, soient ±1. Les trois intervalles de r´esolution sont donc

I1 =] − ∞, −1[, I2 =] − 1, 1[, I3 =]1, +∞[

2. L’´equation homog`ene (H) est

(H) : (1 − x2)y0− 2xy = 0 ⇔ y

0

y =

2x 1 − x2

Les solutions de (H) sur chacun s’obtiennent en int´egrant de chaque cot´e la derni`ere ´egalit´e ci-dessus. On obtient

y(x) = λk

|1 − x2|, λk ∈ R.

Or (1 − x2) ´etant de signe constant sur chacun des intervalles I

k, on peut supprimer la

valeur absolue quitte `a changer λk en −λk.

3. Pla¸cons nous sur I1. Par la m´ethode de variation de la constante, on cherche une solution

yp de (E) sous la forme

yp : x 7→

λ1(x)

1 − x2.

En calculant la d´eriv´ee yp0 de yp et en injectant le tout dans l’´equation (E), on trouve que

pour que yp soit solution de (E), il faut et il suffit que

λ01(x) = 3x2.

On peut donc choisir λ1(x) = x3 et

yp(x) =

x3

1 − x2

On v´erifie rapidement que cette fonction est encore solution de (E) sur I2 et I3. Ainsi, les

solutions de (E) sur Ik sont donc les fonctions de la forme

y : x 7→ λk+ x

3

1 − x2 , λk ∈ R.

4. La condition initiale ´etant donn´ee `a x = 0, on se place sur l’intervalle I2.

(a) La solution de (E) v´erifiant y(0) = −1 est telle que λ2+ 03

1 − 02 = −1 ⇐⇒ λ2 = −1.

(b) La solution d´etermin´ee `a la question pr´ec´edente est y : x 7−→ −1 − x

3

1 − x2 = −

1 + x + x2

1 + x

Cette fonction admet pour limite finie ` = −32 quand x tend vers 1−. On constate de plus que cette fonction est d´efinie, continue et d´erivable sur ] − 1, +∞[. ´Etant de la forme x 7→ λ3+x3

1−x2 pour λ3 = −1, elle est ´egalement solution de (E) sur I3. C’est le

(4)

5. Les raisonnements sont ici identiques `a ceux de la question pr´ec´edente. On obtient λ2 = 1 et y : x 7→ 1 + x 3 1 − x2 = 1 − x + x2 1 − x −→x→−1+ 3 2.

Cette fonction est encore d´efinie continue et d´erivable sur ] − ∞, 1[ et correspond au prolongement cherch´e (avec λ1 = 1).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. Soit (x, y) une solution de (Sa). En d´erivant (E1) on obtient x00 = ay0 ⇔ y0 = x

00

a. En

injectant ce r´esultat dans (E2), on obtient

x00

a = ax ⇐⇒ x

00

+ a2x = 0.

2. L’´equation pr´ec´edente est une ´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene d’ordre 2 `a coef-ficients constants dont le polynˆome caract´eristique est

P (X) = X2+ a2 = (X − ai)(X + ai).

Les solutions de cette ´equation (sous forme trigo) sont donc x(t) = A cos(at) + B sin(at), A, B ∈ R. De plus, d’apr`es (E1), on a y = x

0

a, d’o`u

y(t) = −A sin(at) + B cos(at).

3. (a) L’unique solution de (Sa) v´erifiant x(0) = 1, y(0) = 0 est donn´ee par le syst`eme

 A = 1

B=0 . D’o`u

X(t) = cos(t) sin(t)



(b) La trajectoire associ´ee `a la param´etrisation ci-dessus est le cercle unit´e. La particule tourne en rond autour de l’origine avec un rayon de 1.

(c) L’unique solution de (Sa) v´erifiant x(0) = 0, y(0) = 2 est donn´ee par le syst`eme

 A = 0 B=2 . D’o`u X(t) =  2 sin(t) 2 cos(t) 

(d) La trajectoire associ´ee `a la param´etrisation ci-dessus est encore un cercle centr´e en l’origine mais de rayon 2.

(e) Pour le cas g´en´eral, on trouve un cercle de rayon px2 0+ y20.

(5)

Exercice 3 :

1. (a) La fonction F cherch´ee est F : x 7→ 1 − ex.

(b) Les points fixes de (E) sont les solutions de F (x) = 0, soit ici x = 0. La nature de ce point fixe est donn´ee par le signe de F0(0) = −e0 = −1 < 0. Il s’agit donc d’un

point fixe stable. (c) 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 2. (a) y0 = 1 − ey ⇔ y 0 1 − ey = 1 ⇔ y 0e−y

e−y− 1 = 1 (en multipliant en haut et en bas par e −y)

(b) On reconnait dans l’expression ci dessus une fonction de la forme −uu0 avec u = e−y− 1. En int´egrant de chaque cot´e, on obtient

ln |e−y(t)− 1| = −t + K ⇔ e−y(t)− 1 = λe−t ⇔ y(t) = ln  1 λe−t+ 1  , λ ∈ R.

En tra¸cant quelques solutions, on retrouve les mˆemes r´esultats que lors de l’´etude qualitative. On constate en particulier que toutes les solutions tendent vers 0 en +∞.

? ? ?

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