Optimisation à une seule variable

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OPTIMISATION À UNE VARIABLE

Sommaire

1. Optimum locaux d'une fonction ... 1 1.1. Maximum local ... 1 1.2. Minimum local ... 1 1.3. Points stationnaires et points critiques ... 2 1.4. Recherche d'un optimum local ... 3

1. Optimum locaux d'une fonction

1.1. Maximum local

Soit une fonction. Le point ∗ est appelé maximum local si et seulement s'il existe , un intervalle ouvert contenant ∗, tel que ∗ pour tout dans .

1.2. Minimum local

Soit une fonction. Le point ∗ est appelé minimum local si et seulement s'il existe , un intervalle ouvert contenant ∗, tel que ∗ pour tout dans .

Exemple

Le graphique suivant présente une fonction qui possède un maximum local ainsi qu'un minimum local.

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Au point 1 se trouve un maximum local puisqu'il existe un intervalle ouvert 1 contenant 1 sur lequel 1 pour tout dans 1.

Au point 2 se trouve un minimum local puisqu'il existe un intervalle ouvert 2 contenant 2 sur lequel 2 pour tout dans 2.

1.3. Points stationnaires et points critiques

En économie, les stratégies de production d'une compagnie sont déterminées en fonction des objectifs recherchés par celle‐ci. Parfois, on voudra minimiser les coûts ; à d'autres occasions, on voudra maximiser les profits. Quelle que soit la situation, on s’intéresse particulièrement à des valeurs optimales (maximales ou minimales)…

Considérons le graphe des fonctions suivantes, identifiées et . Chacune possède un minimum local. Qu'y a‐t‐il de particulier en ces points ?

Il faut d'abord remarquer que les deux fonctions cessent de décroître et commencent à croître au point minimum (x = 0). Toutefois, cette transition ne se fait pas de la même manière pour l'une et l'autre. La fonction effectue le passage de décroissance à croissance de façon progressive et, au point minimum, la pente est nulle. Dans le cas de , le passage de décroissance à croissance est abrupt, de sorte que la pente n'est pas définie en ce point. Ces deux types d'optima sont identifiés dans ce qui suit

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Définition : Point stationnaire

Soit , une fonction continue et dérivable en ∗. Le point ∗ est appelé point stationnaire si la dérivée de s'annule en ce point, c'est‐à‐dire si ′ ∗ 0. Exemple 2 2 1 → ′ 2 2 La dérivée de f s'annule lorsque 2 2 0 → 2 2 → 1 1 est donc un point stationnaire de la fonction . Définition : Point critique

Soit , une fonction qui est bien définie en ∗. Le point ∗ est appelé point critique si la dérivée de s'existe pas en ce point. Exemple / _→ ′ 2 3 / 2 3 /

La dérivée de n'existe pas lorsque 0 puisque le dénominateur prend alors la valeur 0. 0 est donc un point critique de .

1.4. Recherche d'un optimum local

Théorème

Soit une fonction de définie sur un intervalle ouvert . Tout optimum local de est soit un point stationnaire, soit un point critique.

Ce qu'affirme le théorème précédent est qu'il est inutile de chercher ailleurs qu'aux points stationnaires et aux points critiques lors de la recherche d'un optimum local. Faites attention toutefois ! Le théorème ne dit pas que tout point stationnaire ou critique est un optimum local… Une fois les points stationnaires et critiques découverts,

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Étude d'un point stationnaire ou critique par la dérivée première

Revoyons un exemple graphique présenté plus tôt. Les fonctions et possèdent toutes deux un minimum local en 0.

Le point 0 est un point stationnaire de la fonction . Cependant, 0 est un point critique de la fonction . Néanmoins, un phénomène commun se produit dans les deux cas : la dérivée change de signe au point minimum. L'étude de la dérivée première nous permet donc de déterminer la nature d'un point stationnaire ou critique.

Règle de la dérivée première

Soit la fonction et ∗ un point stationnaire ou critique de celle‐ci. ∗ _est :  un minimum local si la dérivée passe de négative à positive en ∗.  un maximum local si la dérivée passe de positive à négative en ∗. Méthodologie : identification de tous les optima locaux d'une fonction 1. Effectuer la dérivée première de ; 2. Trouver tous les points stationnaires et critiques ;

3. Dresser un tableau des variations pour étudier la dérivée autour des points stationnaires et critiques ;

4. Conclure.

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Exemple 1 Trouver tous optima locaux de la fonction 2 3 3 2 12 4. 1. Effectuer la dérivée première de : ′ ₆ ₆ ₁₂ ₆ ₂ 2. Trouver tous les points stationnaires et critiques Nous obtenons un point stationnaire lorsque ′ 0. 6 2 0 2 0 1 2 0 → 1, 2

Il existe donc deux points stationnaires ( 1, 2). Il n'y a cependant aucun point critique puisque la dérivée est bien définie pour tout .

3. Dresser un tableau des variations pour étudier la dérivée autour des points

stationnaires et critiques : Un tableau des variations doit contenir  tous les points stationnaires et critiques  la valeur de la fonction aux points stationnaires et critiques  les intervalles entre et autour des points stationnaires et critiques  le signe de la dérivée dans ces intervalles 2 2 11 ‐16 ′ + 0 ‐ 0 + Croissance Max local Décroissance Min local Croissance 4. Conclure

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Exemple 2 Trouver tous optima locaux de la fonction . 1 1. Effectuer la dérivée première de : ′ ′_. _{1 + .} ₁ ′_{(dérivée d’un produit)} 1 3 . 1 . 1 1 3 . (mise au dénominateur commun) 1 3 3 1 4 3 2. Trouver tous les points stationnaires et critiques : Nous obtenons un point stationnaire lorsque ′ 0. Ceci est obtenu lorsque le numérateur est nul: 1 4 0. Donc, 1/4 0,25 est un point stationnaire.

Un point critique est obtenu lorsque ′ n'est pas définie. Puisque le dénominateur est nul lorsque 0, il s'agit d'un point critique.

3. Dresser un tableau des variations pour étudier la dérivée autour des points

stationnaires et critiques : / / / 0 0 ‐0,4725 0 ′ ‐ 0 + non définie + Décroissance Min local Croissance Ni min ni max Croissa nce Conclure :

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Au point 1/4, nous constatons que la dérivée passe de négative à positive. En vertu de la règle de la dérivée première, 1/4 0,4725 est un minimum local. Au point 0, la dérivée ne subit aucun changement de signe. Ce point critique n'est alors ni un minimum ni un maximum local. Voici la représentation graphique de . 1 : Observez le changement de direction abrupt en 0 (pt critique) sans pour autant que la fonction cesse de croître (ni min ni max). Exercice

Pour les fonctions suivantes, trouver tous les points stationnaires et critiques, dresser un tableau des variations et déterminer où se trouvent les minima et maxima locaux. À l'aide d'Excel, tracer le graphe de chaque fonction afin de confirmer vos résultats. a. b. ln 1 c.