A2839 – Commutations à la chaîne [**** à la main] Deux polynômes P et Q d’une seule variable x

A2839 – Commutations à la chaîne [**** à la main]

Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)).

On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x) dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1,par exemple P₁(x) = x et P₂(x) = x² – 1

Q₁ Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P₂(x) = x² – a et P₃(x) sont commutables.

Q₂ Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q₁, démontrer que quel que soit k entier ≥ 4, il existe un seul polynôme P_k(x) de degré k commutable avec P₂(x) = x² – a.

Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2020(x).

Q₃ Démontrer que dans la suite des polynômes P₁,P₂,P₃ ,…Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables, 2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j.

Solution proposée par Daniel Collignon

Q1

P2(P3(x)) = P3(P2(x))

P2(P3(-x)) = P3(P2(-x)) = P3(P2(x)) puisque P2 est pair Donc P2(P3) est pair

P3(x) = x^3 + bx² + cx + d

P2(P3(x)) = (x^3 + bx² + cx + d)² - a Le coefficient de x^5 est 2b=0

Le coefficient de x^3 est 2(d+bc)=0, d'où d=0

P2(P3(x)) = (x^3 + cx)² - a = P3(P2(x)) = (x²-a)^3 + c(x²-a)

En développant il vient : x^6 + 2cx^4 + c²x² - a = x^6-3ax^4+3a²x²-a^3 + cx² - ac Identifions les coefficients :

x^4 : 2c = -3a => a=-2c/3

x^2 : c² = 3a²+c => c + c²/3 = 0 en utilisant le résultat précédent D'où c=0 (mais alors a=0) ou c=-3 (a=2)

x^0 : -a = -a^3 - ac => c = 1-a² puisque l'on cherche a>0 ; on vérifie que c=-3 et a=2 sont bien compatibles.

Ainsi P2(x) = x² - 2 et P3(x) = x^3 - 3x

Q₂

Unicité : par l'absurde

Supposons l'existence de Pk<>P'k tous deux de degré k (coefficient 1 devant x^k), tels que P2(Pk)=Pk(P2) et P2(Pk')=P2(Pk').

Posons R=Pk-Pk' de degré r < k.

Alors par différence, il vient R(P2)=P2(Pk)-P2(Pk')=Pk²-Pk'²=R*(Pk+Pk') A droite le degré vaut r+k.

A gauche le degré vaut 2r.

Or 2r=r+k entraîne r=k : impossible.

Existence : on peut appliquer le même raisonnement que dans Q1 et identifier par coefficient.

Mais comme il y a unicité, autant dégainer la famille de pôlynome commutant.

Elle vérifie : Pk = UoTkoU^-1 où U(x)=2x et Tk(x) est le polynôme de Tchebychev de 1ère espèce, défini par Tk(cos(x))=cos(kx).

Sauf erreur de ma part : P_2021(x) = x^2021 - 2021x^2019 + (2021*2018/2)x^2017 - (2021*2017*2016/6)x^2015 + ...

Q₃

TioTj(cos(x)) = Ti(cos(jx)) = cos(ijx) = Tj(cos(ix)) = TjoTi(cos(x)) PioPj = UoTioTjoU^-1 = UoTjoTioU^-1 = PjoPi

Remarque : U est là pour rendre unitaire le coefficient du monôme de degré le plus élevé.

Références :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev http://moduloserge.free.fr/HX1-10/DS/ds04_e_transcendant-corr.pdf