2 Propriétés d’une fonction d’une seule variable

Faculté de droit, économie

& sciences sociales Année universitaire 2018-2019

Session 1 - Semestre 3 Licence 2 Sciences de Gestion

Outils d’aide à la Décision durée : 2 heures - Sujet Q Nom de l’enseignant : M. Chassagnon

NB : documents et calculatrices autorisés. Sujet d’examen à rendre avec la copie.

L’étudiant compose sur le sujet, qui est en trois parties. L’étudiant donne la réponse aux questions de la première partie, dans la colonne de droite prévue à cet effet. La question 0 est donnée en exemple.

L’étudiant répond ensuite aux questions de type QCM, puis,quand c’est précisé, développe avec précision l’argument qui justifie sa réponse, dans les encadrés correspondants.

1 Neuf questions de compréhension du cours

Pour chacune des questions suivantes, il est demandé au candidat de cocher sur le sujetles cases correspondant aux affirmations justes. Le candidat rendra cette copie double contenant le sujet avec les réponses, cochées. La question0, donnée en exemple, ne compte pas.

EXEMPLE

0) L’élasticité prix de la demande de canettes de bière de Madame Jules est égale à 0,40. Est-ce que cela signifie que :

. . . .Madame Jules consomme moins de bière quand le prix de la bière diminue

× . . . La demande de Madame Jules en canettes de bière est inélastique . . . .Madame Jules demande que ses packs de canettes soient attachés par des élastiques de 40cm.

QUESTIONS

1) En étudiant une fonction de une ou plusieurs variables, un point stationnaire est-il ,

. . . .toujours soit un maximum soit un maximum d’une fonction ; . . . .un point où la dérivée de la fonctionf s’annulle ; . . . .jamais la limite de la fonction dérivée en ce point.

2) Les conditions premières d’un programme d’optimisation

. . . caractérisent les points stationnaires ; . . . .établissent en économie gestion les caractéristiques d’un modèle ; . . . .ne sont pas vérifiées si les conditions secondes ne le sont pas.

3) Les conditions secondes d’un programme d’optimisation avec contrainte sont des conditions tech- niques qui reposent uniquement

. . . .sur les propriétés de la fonction objectif ; . . . .sur les propriétés de la contrainte ; . . . sur les propriétés de la fonction objectif et de la contrainte ;

4) Le sens de l’inégalité dans la contrainte d’un programme d’optimisation sous contrainte est important car si on le modifie, on peut modifier la solution du programme,

. . . .en particulier quand la contrainte n’est pas saturée à l’optimum ; . . . en particulier quand la contrainte est saturée à l’optimum ; . . . .quand la contrainte est du typeg≥0.

5) Un programme de maximisation avec contrainte admet toujours une solution

. . . .si le programme non contraint correspondant admet une solution ; . . . .si la fonction objectif est bornée dansR; . . . si la contrainte correspond à un singleton.

6) Les décisions que l’on considère en Gestion

. . . sont celles d’agents ou d’organisations rationnelles ; . . . .pourraient être sujettes à modification en cas de changement de l’environnement économique dans lequel elles sont prises ; 7) ne sont pas possibles quand les programmes d’optimisation correspondants n’ont pas de solution.

8) On dit que deux agents dont les objectifs respectifsf et g dépendent de la valeur de deux variables xety ont des objectifs opposés

. . . dès lors qu’il existe des valeurs élevés que peut atteindref qui impliquent queg(x, y)<0; . . . .s’il existe pour une valeur limite dexet de yune limite de la fonctionf−g qui est égale à−∞; . . . s’il existe pour une valeur limite dexet dey une limite de la fonctionf−gqui est égale à +∞.

9) La méthode du Lagrangien

. . . .Consiste à trans- former un programme d’optimisation avec contrainte en un programme d’optimisation sans contrainte ;

. . . .Peut toujours être utilisée quand on a un programme d’optimisation sans contrainte, afin de caractériser les points stationnaires ;

. . . .Est une vieille méthode de référence qui n’est pas vraiment utile dans un monde moderne.

2 Propriétés d’une fonction d’une seule variable

On considère dans cet exercice les six caractères suivants que pourrait avoir une fonction d’une variable :

•

•

•

•

•

•

où l’on rappelle qu’un point stationnaire (ou extremum) est une valeur qui annulle la dérivée.

Pour chacune des fonctions ci-après, inscrire lisiblement dans la colonne droite du tableau combien de ces caractères elle possède exactement. La première ligne (0) est donnée en exemple [La fonction désignée dans la ligne (0) est convexe, n’est pas bornée supérieurement, dispose d’un point stationnaire (zéro), n’est pas concave, ni linéaire, ni quadratique, la réponse est pour cet exemple : 2].

Définition de la fonction Nb. caractères

0) La fonctionf(x) =x⁴−1définie surR

2

i) La fonctiong(x) =e^xdéfinie sur l’ensembleR

ii) La fonctionh(`) =√

`définie sur l’ensemble[0,1]

iii) La fonctionk(q) = 1 1 +√

q définie sur l’ensembleR+

iv) La fonctionm(q) =p

1 +q²−qdéfinie sur l’ensembleR+

v) La fonctionn(y) =yln(y)définie sur l’ensembleR^∗+

vi) La fonctionr(x) = (x−1)(2−x)définie sur l’ensembleR

vii) La fonctionu(x) = (x−1)(2−y)définie sur l’ensembleR

viii) La fonctionv(σ) = 120−σ² définie sur l’ensembleR+

3 Programmes d’optimisation sous contrainte et Lagrangien

Pour cet exercice, on cochera les cases oui non, et on argumentera avec soin dans l’encadré correspondant.

On considère les quatre programmes d’optimisation sous contrainte suivants, dénotés (A), (B), (C)et (D):

max_x,y≥0 e^x+y (A)

s.c. y²−1/2≥x²−1/2

max_x,y≥0 x²y (B)

s.c. 1≥x+y

max_x,y≥0 ln(x) + 3 ln(y) (C) s.c. y≤1−x

max_p,q≥0 pq−q² (D) s.c. p≤120−q

1) Concernant le Programme(A) existe-t’il une solution, oui ou non ?. . . OUI NON

2) Concernant le Programme(B), le Lagrangien est-ilL=x²y+λ(x²+y²−1) , oui ou non ?. . OUI NON Calculer le point stationnaire pour ce programme.

3) Concernant le Programme(C), la fonction objectif est-elle quasi-concave, . . . OUI NON

les conditions secondes sont-elles vérifiées pour ce programme ? . . . OUI NON Calculer la solution optimale du programme et interpréter le résultat.

4) Concernant le Programme(D), Est-ce le programme d’un monopole ?. . . OUI NON

5) Concernant le Programme(D), Est-ce que nécessairement, la contrainte est saturée ?. . . OUI NON

6) Concernant le Programme(D), Écrire les conditions premières de ce programme ; Trouvez-vous une loi connue ?

7) Concernant le Programme(D), Écrire les conditions premières de ce programme, et trouver la solu- tion sachant la contrainte saturée.

******************** FIN DE L’EXAMEN ********************