2 Propriétés d’une fonction d’une seule variable 2 points par bonne réponse chiffrée

Faculté de droit, économie

& sciences sociales

Année universitaire 2018-2019 Outils d’aide à la Décision

Corrige bref

NB : documents et calculatrices autorisés. Sujet d’examen à rendre avec la copie.

L’étudiant compose sur le sujet, qui est en trois parties. L’étudiant donne la réponse aux questions de la première partie, dans la colonne de droite prévue à cet effet. La question 0 est donnée en exemple.

L’étudiant répond ensuite aux questions de type QCM, puis,quand c’est précisé, développe avec précision l’argument qui justifie sa réponse, dans les encadrés correspondants.

1 Huit questions de compréhension du cours

Pour chacune des questions suivantes, il est demandé au candidat de cocher sur le sujetles cases correspondant aux affirmations justes. Le candidat rendra cette copie double contenant le sujet avec les réponses, cochées. La question0, donnée en exemple, ne compte pas.

EXEMPLE

0) L’élasticité prix de la demande de canettes de bière de Madame Jules est égale à 0,40. Est-ce que cela signifie que :

. . . .Madame Jules consomme moins de bière quand le prix de la bière diminue

× . . . La demande de Madame Jules en canettes de bière est inélastique . . . .Madame Jules demande que ses packs de canettes soient attachés par des élastiques de 40cm.

QUESTIONS1 point par coche bonne, 1 point de bonus pour 3 bonnes coches 1) En étudiant une fonction de une ou plusieurs variables, un point stationnaire est-il ,

x . . . .toujours soit un maximum soit unminimumd’une fonction ; x . . . .un point où la dérivée de la fonctionf s’annulle ; . . . .jamais la limite de la fonction dérivée en ce point.

2) Les conditions premières d’un programme d’optimisation

x . . . caractérisent les points stationnaires ; x . . . .établissent en économie gestion les caractéristiques d’un modèle ; . . . .ne sont pas vérifiées si les conditions secondes ne le sont pas.

3) Les conditions secondes d’un programme d’optimisation avec contrainte sont des conditions tech- niques qui reposent uniquement

. . . .sur les propriétés de la fonction objectif ; . . . .sur les propriétés de la contrainte ; x . . . sur les propriétés de la fonction objectif et de la contrainte ;

4) Le sens de l’inégalité dans la contrainte d’un programme d’optimisation sous contrainte est important car si on le modifie, on peut modifier la solution du programme,

x . . . .en particulier quand la contrainte n’est pas saturée à l’optimum ; x . . . en particulier quand la contrainte est saturée à l’optimum ; x . . . .quand la contrainte est du typeg≥0.

5) Un programme de maximisation avec contrainte admet toujours une solution

x . . . .si le programme non contraint correspondant admet une solution ; x . . . .si la fonction objectif est bornée dansR; x . . . si la contrainte correspond à un singleton.

6) Les décisions que l’on considère en Gestion

x . . . sont celles d’agents ou d’organisations rationnelles ; x . . . .pourraient être

sujettes à modification en cas de changement de l’environnement économique dans lequel elles sont prises ; . . . . .ne sont pas possibles quand les programmes d’optimisation correspondants n’ont pas de solution.

7) On dit que deux agents dont les objectifs respectifsf et g dépendent de la valeur de deux variables xety ont des objectifs opposés

x . . . dès lors qu’il existe des valeurs élevés que peut atteindref qui impliquent queg(x, y)<0; . . . .s’il existe pour une valeur limite dexet de yune limite de la fonctionf−g qui est égale à−∞; . . . s’il existe pour une valeur limite dexet dey une limite de la fonctionf−gqui est égale à +∞.

8) La méthode du Lagrangien

x . . . .Consiste à trans- former un programme d’optimisation avec contrainte en un programme d’optimisation sans contrainte ;

. . . .Peut toujours être utilisée quand on a un programme d’optimisation sans contrainte, afin de caractériser les points stationnaires ;

. . . .Est une vieille méthode de référence qui n’est pas vraiment utile dans un monde moderne.

2 Propriétés d’une fonction d’une seule variable 2 points par bonne réponse chiffrée

On considère dans cet exercice les six caractères suivants que pourrait avoir une fonction d’une variable :

•

•

•

•

•

•

où l’on rappelle qu’un point stationnaire (ou extremum) est une valeur qui annulle la dérivée.

Pour chacune des fonctions ci-après, inscrire lisiblement dans la colonne droite du tableau combien de ces caractères elle possède exactement. La première ligne (0) est donnée en exemple [La fonction désignée dans la ligne (0) est convexe, n’est pas bornée supérieurement, dispose d’un point stationnaire (zéro), n’est pas concave, ni linéaire, ni quadratique, la réponse est pour cet exemple : 2].

Définition de la fonction Nb. caractères

0) La fonctionf(x) =x⁴−1définie surR

2

i) La fonctiong(x) =e^xdéfinie sur l’ensembleRConvexe

1

ii) La fonctionh(`) =√

`définie sur l’ensemble[0,1]Concave bornée

2

iii) La fonctionk(q) = 1 1 +√

q définie sur l’ensembleR+Concave bornée

2

iv) La fonctionm(q) =p

1 +q²−qdéfinie sur l’ensembleR+Convexe bornée, 1pt stationnaire

3

v) La fonctionn(y) =yln(y)définie sur l’ensembleR^∗+Convexe

1

vi) La fonctionr(x) = (x−1)(2−x)définie sur l’ensembleRConcave quadra- tique bornée 1pt stationnaire

4

vii) La fonctionu(x) = (x−1)(2−y)définie sur l’ensembleRLinéaire convexe concave

3

viii) La fonctionv(σ) = 120−σ²définie sur l’ensembleR⁺quadratique, bornée concave

3

3 Programmes d’optimisation sous contrainte et LagrangienDéjà, 1pt par bonne coche

Pour cet exercice, on cochera les cases oui non, et on argumentera avec soin dans l’encadré correspondant.

On considère les quatre programmes d’optimisation sous contrainte suivants, dénotés (A), (B), (C)et (D):

max_x,y≥0 e^x+y (A)

s.c. y²−1/2≥x²−1/2

max_x,y≥0 x²y (B) s.c. 1≥x+y

max_x,y≥0 ln(x) + 3 ln(y) (C) s.c. y≤1−x

max_p,q≥0 pq−q² (D) s.c. p≤120−q

1) Concernant le Programme(A) existe-t’il une solution, oui ou non ?. . . OUI NONX La contrainte s’écrit y ≥ x. Le programme est donc max_x,y≥0 e^x+y (A)

s.c. y≥x , et clairement, il diverge, ne serait-ce quand on choisitx=y.

2/1/0 points pour l’argument

2) Concernant le Programme(B), le Lagrangien est-ilL=x²y+λ(x²+y²−1) , oui ou non ?. . OUI NONX Calculer le point stationnaire pour ce programme.

Le Lagrangien estL=x²y+λ(1−x−y). Pour calculer le point stationnaire, on calcule les deux dérivées du Lagrangien: Lx = 2xy−λ et Ly = x²y−λ. Ces deux dérivées s’annullent quand 0 = 2xy−λ et 0 =x²y−λ, ce qui conduit àx= 2y.

Cette courbe désigne l’ensemble des points stationnaires, quelle que soit la valeur de la contrainte.

1/0 point pour le bon Lagrangien, 1/0 pour l’équation x= 2y, 2/1/0 pour la justification

3) Concernant le Programme(C), la fonction objectif est-elle quasi-concave, . . . OUI NONX

les conditions secondes sont-elles vérifiées pour ce programme ?. . . OUI NONX Calculer la solution optimale du programme et interpréter le résultat.

L’objectif est quasiconcave, car les ensemble d’équation ln(x) + 3 ln(y) ≥ cst, soit encore des courbes d’équationxy³≥csteou encorex≥cst/y³sont convexes (délimités par une courbe décroissante concave).

Pour que les conditions secondes soient satisfaites, étant donné déjà la quasiconcavité de l’objectif, il suffit que la contrainte soit représentée par un ensemble convexe. Or la contrainte est x+y ≤1, étant donné qu’on considèrex, y≥0 c’est un triangle de sommets (0,0) (0,1) et (1,0), donc, borné.

On calcule le point stationnaire en égalisant la fraction des dérivées de l’objectif, avec la fraction des dérivées de la contrainte:

f = ln(x) + 3 ln(y),fx= 1/x, fy= 3/y,fx/fy =y/3x g= 1−x−y,g_x=−1,g_y =−1,g_x/g_y= 1.

Les points stationnaires sont définis par y/3x = 1, soit y = 3x. Par ailleurs, la contrainte est saturée, x+y= 1. En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, on trouve : x=3/4, y=1/4.

1/0,5/0 pour l’ébauche d’un argument quasiconcave,

1/0,5/0 Pour dire que les conditions secondes c’est quasiconcave+contrainte bornée, 1/0,5/0 pour justifier que contrainte bornée

1/0,5/0 pour le résultat x=3/4, y=1/4. 2/1/0 Pour sa justification

4) Concernant le Programme(D), Est-ce le programme d’un monopole ?. . . OUI NONX On modifie légèrement la contrainte en l’écrivant q ≤ 120−p et il apparaît que cette contrainte peut s’interpréter comme q≤q^d oùq^d = 120−ppeut s’interpréter comme la demande en bien d’un marché, quand le prix de vente estp. L’objectifpq−q² est la différence de deux termes,pq la recette d’une firme quand elle vendq au prixpet du terme−q²qui pourraît être le coût concave de la firme. Ainsi donc, ce programme est le programme du monopole d’une firme dont le coût est −q²quand elle doit tenir compte de la demande du marchéq^d= 120−p.

1/0 pour parler de la demande q= 120−p 1/0 pour parler de la fonctrion de coûtC=q² 2/1/0 pour la justification

5) Concernant le Programme(D), Est-ce que nécessairement, la contrainte est saturée ?. . . OUI NONX On a facilement l’intuition que la contrainte est saturée. Comment cependant le démontrer : par un raisonnement par l’absurde. Supposons qu’à l’optimum de ce programme, on ait p < 120−q, cad la contrainte non saturée. Alors, plutôt que de considérer cette solution, on pourrait juste un peu augmenter p sans modifier q, de manière à ce que la contrainte demeure satisfiate. Ce faisant, on augmente les recettes, sans modifier les coûts, et donc on a augmenté l’objectif. Ce qui dénie que l’on soit parti de l’optimum, et donc que la contrainte pouvait ne pas être saturée à l’optimum.

2/1/0 Pour la justification

6) Concernant le Programme(D), Écrire les conditions premières de ce programme ; Trouvez-vous une loi connue ?

On calcule le point stationnaire en égalisant la fraction des dérivées de l’objectif, avec la fraction des dérivées de la contrainte:

f =pq−q²,fp=q,fq =p−2q,fp/fq =q/(p−2q) g= 120−p−q,gp=−1,gq =−1,gp/gq = 1.

Les points stationnaires sont définis par q/(p−2q) = 1, soitq=p−2q ou encorep= 3q.

Si on part de l’équation optimale du monopole, qui est, d’après le cours c_m −p/p = −1/ε, avec

ε= ∂D

∂p p

D = −1×p

120−p etC_m= 2q, on aurait eu (2q−p)/p=−(120−p)/p, soit2q−p=−(120−p)soit 2q−p=−q soit3q=p, la même équation.

1/0 pour 3q=p, 2/1/0 pour la justification

2/1/0 pour any commentaire PERTINENT en rapport avec le choix optimal du monopole

7) Concernant le Programme(D), Écrire les conditions premières de ce programme, et trouver la solu- tion sachant la contrainte saturée.

Les conditions premières du Programme(D)opnt été calculées à la question précédente, c’estp= 3q.

Par ailleurs, la contrainte est saturée, p+q = 120. En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, on trouve :

q= 30, p= 90.

2/1/0 pour q= 30, p= 90. 2/1/0 pour la justification

******************** FIN DE L’EXAMEN ********************