L50 [V2-VàC] – Fonctions logarithmes

9

Fonctions logarithmes

50

Prérequis fonctions dérivées, fonctions exponentielles, primitives, intégrales, théorème des accroissement finis, résolution d’une équation du second degré.

Références [60], [147]

50.1

Introduction de la fonction logarithme

50.1.1 Introduction du logarithme par les primitives

Théorème 50.1 La fonction « inverse », définie sur]0 , +∞[ par f(x) = 1

x admet une unique primi-tive F qui vérifie la condition F(1) = 0.

L’argument principal est que toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Définition 50.2 On considère la fonction f définie sur l’intervalle]0 , +∞[ par f(x) = 1

x (restriction de la fonction « inverse » à]0 , +∞[. La fonction logarithme népérien noté ln est la primitive F de f telle que F(1) = 0.

50.1.2 Introduction du logarithme par l’exponentielle

Propriété 50.3 Pour tout nombre réel a strictement positif, il existe un réel unique α tel queeα _{= a.} On appelle ce nombre le logarithme népérien de a. On le noteln a.

Dv

•Démonstration de la propriété50.3—La fonction x 7→ ex_{est dérivable sur R, donc elle}

est continue de R vers l’intervalle ]0 , +∞[. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a de l’intervalle]0 , +∞[, l’équation ex= a admet des solutions. Or la fonction

x _{7→ e}x _{est strictement croissante sur R. Il y a donc un et un seul nombre réel α tel que}

eα= a. _•

Exemples 50.4 1. Le nombre α tel queeα= 3 est ln 3.

2. ln 5 est le nombre dont l’image par la fonction x 7→ ex_est5 ; ainsi eln 5 = 5.



50.1.3 Conséquences des définitions du logarithme

On va se placer dans le cadre où on a introduit le logarithme par l’unique primitive F de la fonction x_7→ 1_x sur l’intervalle]0 , +∞[ qui vérifie la condition F(1) = 0.

ln(a) = α a= eα

O

FIGURE50.1 – Définition du logarithme népérien avec la fonction exponentielle

Conséquence 50.5 1. La fonction primitive est définie sur le même intervalle que la fonction considérée, donc la fonctionln est définie sur ]0 , +∞[.

2. ln(1) = 0.

3. la fonctionln est dérivable sur ]0 , +∞[ et (ln x)0 ₌ 1

x pour tout x ∈ ]0 , +∞[. La fonction ln est continue sur ]0 , +∞[ puisque dérivable sur cet intervalle

4. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 , +∞[ puisque sa dérivée est strictement positive sur cet intervalle, ce qui permet une première esquisse de son tableau de variations :

x 0 1 +∞

signe de la dérivée 1_x || + +

|| %

variation de la fonctionln || 0 || % 5. Ainsi, nous en déduisons également le signe de la fonctionln :

— ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1, — ln x = 0 ⇔ x = 1, — ln x > 0 ⇔ x > 1.

6. La fonctionln étant strictement croissante et continue, elle réalise une bijection de ]0 , +∞[ sur l’intervalle image. On en déduit que pour tous réels a et b de]0 , +∞[, on a :

— ln a = ln b ⇔ a = b, — ln a < ln a ⇔ a < b.

En effet, si a= b alors il est clair que ln a = ln b. De même, si a < b alors (stricte croissante duln) ln a < ln b.

50.2 Théorème fondamental 11

50.1.4 Des exemples

Exemples 50.6 1. On veut déterminer l’ensemble de définition des fonctions f et g définies

par :

— f(x) = ln(x + 3) — g(x) = ln(x2_{− x − 2).}

On pose F(x) = x + 3 et G(x) = x2_{− x − 2. Les deux fonctions f et g sont définies si le}

logarithme des deux fonctions F et G sont définies, ce qui équivaut à la positivité stricte des deux fonctions F et G.

— F(x) > 0 ⇔ x + 3 > 0 ⇔ x > −3. Donc f est définie sur l’intervalle ]−3 , +∞[. — G(x) > 0 ⇔ x2_{− x − 2 > 0. On résout x}2_{− x − 2 = 0. Le discriminant du trinôme est}

∆ = 1 − 4 × (−2) = 1 + 8 = 9. Donc :

x1= 1 + 3₂ = 2 et x2= 1 − 3₂ = −1.

Or le signe du coefficient de x2est positif donc G(x) > 0 ⇔ x ∈ ]−∞ , −1[ ∪ [2 , +∞]. Donc g est définie sur l’intervalle]−∞ , −1[ ∪ [2 , +∞].

2. On veut dériver la fonction f définie par f(x) = 3 − x + ln x. La fonction f est dérivable car c’est une somme de fonctions dérivables. On rappelle que comme x 7→ ln x est une primitive de x 7→ 1x, la dérivée de la fonction logarithme est x 7→ x1. Donc :

f0(x) = −1 + 1 x = −

x+ 1

x .

3. On veut résoudre l’équationln(2x + 1) = ln(3 −x). Ceci est équivalent à résoudre le système d’équation/inéquation suivant : _       2x + 1 = 3 − x 2x + 1 ≥ 0 3 − x ≥ 0 Or : 2x + 1 = 3 − x ⇔ 3x = 2 ⇔ x = 2₃ et on vérifie les deux autres conditions du système :

2 ×2₃ + 1 = 7₃ et 3 −2₃ = 7₃. Donc la solution de l’équation proposée est x= 2

3.



50.2

Théorème fondamental

Théorème 50.7 Pour tous réels a et b strictement positifs : ln(ab) = ln a + ln b.

Dv

•Démonstration du théorème50.7—Pour tout réel a strictement positif, on pose la fonc-tion G définie sur_{]0 , +∞[ par :}

G(x) = ln(ax).

La fonction G est dérivable (G est une composée de fonctions dérivables : G = v ◦ u avec u(x) = ax et v = ln) et :

G0(x) = a × 1 ax =

1 x

La fonction G est donc une primitive de la fonction inverse tout comme la fonctionln. Elles diffèrent donc d’une constante c :

G(x) = ln x + c ⇔ ln(ax) = ln x + c. On calcule la constante c, si x= 1, on a :

ln a = ln 1 + c = 0 + c, d’où c= ln a et finalement :

ln(ax) = ln x + ln a pour tout réel x ∈ ]0 , +∞[.

•

R 50.8 Si a et b sont strictement négatifs, on a une relation analogue : ln(ab) = ln(−a) + ln(−b) et plus généralement, pour tout réels a et b de R∗_:

ln |ab| = ln |a| + ln |b| .

Conséquence 50.9 Pour tous réels a et b strictement positifs : 1. ln1 b = − ln b, 2. lna b = ln a − ln b, 3. ln ap _{= p ln a, (p ∈ Z),} 4. ln √a = 1 2ln a. Dv •Démonstration de la conséquence50.9— 1. _{0 = ln 1 = ln(b ×}1_b) = ln b + ln1 b d’oùln 1 b = − ln b. 2. lna b = ln(a ×1b) = ln a + ln1b = ln a − ln b. 3. Si p >0 alors ln ap_{= ln(a × a × · · · × a) = ln a + ln a + · · · + ln a = p ln a.}

50.3 Etude de la fonctionln 13 Si p <0 alors ln ap _{= ln} 1 a−p = − ln(a−p) = −(−p) ln a = p ln a. 4. Voir la section50.6. •

50.3

Etude de la fonction

ln

50.3.1 Limites aux bornes de l’ensemble de définition _{]0 , +∞[} Théorème 50.10

lim

x→0+ln x = −∞ et x→+∞lim ln x = +∞

où x → 0+signifie x tend vers0 par valeurs supérieures.

Dv

• Démonstration du théorème50.10— On établit le deuxième résultat. Soit p un entier naturel. On aln 2p_{= p ln 2. D’où :}

lim

p→+∞ln 2

p_{= lim}

p→+∞pln 2 = +∞.

Soit x un nombre réel tel que x ≥ 2p_{. La fonctionln est strictement croissante, donc ln x ≥}

ln 2p_{. On passe à la limite :}

lim

x→+∞ln x ≥ limp→+∞ln 2 p_.

Or,limp→+∞ln 2p= +∞ donc limx→+∞ln x = +∞.

Le premier résultat en découle simplement par changement de variable : lim

x→0+ln x = limx→+∞ln

1

x= − limx→+∞ln x = −∞.

•

Théorème 50.11 La fonctionln est une bijection (strictement croissante) de ]0 , +∞[ sur R.

Dv

• Démonstration du théorème50.11—La stricte croissance et la bijectivité ont déjà été établies. En outre, comme

lim

x→0+ln x = −∞ et x→+∞lim ln x = +∞

et comme la fonctionln est continue, elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre −∞ et +∞. l’intervalle image de ]0 , +∞[ par la fonction ln est donc R. •

50.3.2 Le nombre e

Puisque la fonction ln est une bijection de ]0 , +∞[ dans R, pour tout réel ln x = λ admet une unique solution dans]0 , +∞[.

Définition 50.12 — Base du logarithme népérien. On notee l’unique solution de l’équation ln x = 1. Ce nombree s’appelle base du logarithme népérien.

On a doncln e = 1 et par la calculatrice, on obtient e ≈ 2,718 . . . . Plus généralement, ln ep =

pln e = p.

Exemple 50.13 Soit à résoudreln(x + 3) = 9, pour x > −3 :

ln(x + 3) = ln e9_{⇔ x + 3 = e}9 _{⇔ x = e}9_{− 3 ≈ 8100.}



50.3.3 Représentation graphique de la fonctionln

e 1

O

50.4

Limites de références

Lemme 50.14 La représentation graphique de la fonction ln est toujours située sous la première bissectrice(y = x) :

ln x < x pour tout x > 0.

Dv

•Démonstration du lemme50.14—On considère la fonction f définie sur I = ]0 , +∞[ par f(x) = x − ln x. Sa dérivée f0_{est définie sur I par :}

f0(x) = 1 −1 x =

x_{− 1} x .

50.4 Limites de références 15

On a f0_{(x) > 0 si et seulement si x > 1 d’où le tableau de variations de f :}

x 0 1 +∞

signe de f0 _{|| − 0 +}

||

variations de f || & %

|| 1

La fonction f admet un minimum m strictement positif en1 : m= f(1) = 1 − ln 0 = 1.

Par conséquent, la fonction f est strictement positive pour tout réel x positif, d’où le lemme. •

R 50.15 On a mêmeln x ≤ x − 1, pour tout x ∈ ]0 , +∞[.

Théorème 50.16 1. lim x→+∞ ln x x = 0. 2. lim x→+∞ ln x xn = 0, (pour tout n ∈ N∗). 3. lim x→0+xln x = 0 4. lim x→0+x n_{ln x = 0, (pour tout n ∈ N∗).} 5. lim x→1 ln x x_{− 1} = 1. Dv

•Démonstration du théorème 50.16—D’après le lemme précédent, on peut écrire, pour tout x >0 : ln √x < √x :

1

2ln x < √x et pour x >1, on a :

0 < ln x < 2√x ⇔ 0 < ln x_x <√2_x. Commelimx→+∞√2x = 0, on a, d’après le théorème des gendarmes :

lim

x→+∞

ln x x = 0.

On en déduit, comme simple conséquence que pour n ≥ 2 : lim x→+∞ ln x xn = lim_x→+∞ 1 xn−1 ln x x = 0

car limx→+∞xn1−1 = 0 et limx→+∞ ln xx = 0. On établit maintenant la limite suivante à

l’aide du changement de variable du type X = 1 x: lim x→0+xln x = limX→+∞ 1 X ln  1 X  = lim X→+∞  −ln X_X  = 0 d’après ce qui précède. On en déduit, comme simple conséquence que pour n ≥ 2 :

lim

x→0+x

n_{ln x = lim} x→0+x

n−1_{xln x = 0}

carlimx→0+xn−1 = 0 et limx→0+xln x = 0. Enfin, pour la dernière limite, on reconnaît

l’accroissement moyen de la fonctionln en x0= 1 La limite est donc égale au nombre dérivé

de la fonctionln en x0soit x10 : lim x→1 ln x x_{− 1} = limx→1 ln x − ln 1 x_{− 1} = ln 0_{(1) =}1 1 = 1. •

R 50.17 La dernière limite peut s’écrire sous d’autres formes : lim h→0 ln(1 + h) h = 1 ou x→+∞lim xln  1 + 1 x  = 1.

Corollaire 50.18 Pour toute fonction polynôme P de degré supérieur ou égal à1, on a : lim

x→+∞

ln x P(x) = 0.

Dv

• Démonstration du corollaire 50.18 — Soit n ∈ N∗ _{le degré de P . Notons P(x) =}

Pn

p=0apxp(avec an 6= 0). Comme la limite en +∞ d’une fonction polynôme P est égale à

la limite de son terme de plus haut degré, nous avons lim x→+∞ ln x P(x) = limx→+∞ ln x anxn = 0 puisquelimx→+∞ln xxn = 0. •

Exemples 50.19 1. On veut étudier la limite suivante :

lim x→+∞ ln(x + 1) x . On a : ln(x + 1) x = ln(x + 1) x+ 1 × x+ 1 x .

50.5 Dérivées et primitives 17 Or,limx→+∞ x+1x = 1 et lim x→+∞ ln(x + 1) x+ 1 = limX→+∞ ln X X = 0 D’où par produit,

lim x→+∞

ln(x + 1)

x = 0.

2. On veut étudier la limite suivante :

lim x→+∞

ln x √

x. En remarquant que x= (√x)2_{, nous avons :}

ln x √

x =

2 ln √x

x .

En posant X = √x (X → +∞), nous obtenons : lim x→+∞ ln x √ x = limx→+∞ 2 ln √x √ x = limX→+∞2 ln X X = 0. Par un raisonnement analogue, on peut montrer que :

lim x→0+ √ xln x = 0. 

50.5

Dérivées et primitives

Théorème 50.20 Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction définie parln u est dérivable sur I et :

(ln u)0₌ u0

u.

C’est une conséquence du théorème de dérivation d’une fonction composée.

Théorème 50.21 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Une primitive deu0

u sur I estln |u|. Pour la démonstration de ce théorème, on peut utiliser le précédent en dérivantln |u|. On distin-guera les intervalles où u >0 de ceux où u < 0.

Exemple 50.22 On veut dériver sur]0 , +∞[ la fonction f(x) = ln x 2_{+ 1} x ! = ln(x2_{+ 1) − ln(x).} On obtient : f0(x) = 2x x2+ 1 − 1 x. 

50.6

Exponentielles de base a

Définition 50.23 Pour tout nombre réel a strictement positif et tout nombre réel b, on pose : ab= ebln a.

R 50.24

1. Cette définition donne un sens à une écriture telle que π√2.

2. Elle est cohérente avec la puissance rationnelle d’un nombre31/2 _{= e}1

2ln 3. Or 1

2ln 3 = ln√3 donc

31/2_{= e}ln√3₌√3.

Exemples 50.25 — Sur calculatrice TI82.

> Pi^(V^(2))=e^(V^(2)*ln(Pi)) 1 > Pi^(V^(2)) 5.047487267 > e^(3*ln(2)) 8 > (-3)^5 -243 > (-3)^(Pi) ERR:REP NONREEL 1:Quitter [EXE] > 3^(-Pi) .0317014678  Propriété 50.26 Pour tous nombres réels a et a0_{strictement positifs et tous nombres réels b et b}0_:

1. ln ab _{= b ln a.} 2. ab+b0 _{= ab} ab0. 3. ab−b0 _{= a}b ab0 4. (ab)b0 = abb0_. 5. (aa0₎b = ab_a0b_. 6. a a0
b ₌ ab a0b.

R 50.27 Les propriétés des puissances d’exposants entiers s’étendent, pour les nombres strictement positifs, aux puissances d’exposants réels.

Exemples 50.28 1. ₁ 2 π = 1 2π = 2−π, 2. 3 ×1 3 √2 = 31−√2. 

Définition 50.29 — Exponentielle de base a. Soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1. On définit sur R la fonction x 7→ ax_{par a}x _{= e}xln a_{. On l’appelle fonction exponentielle de base}

a.

Exemples 50.30 1. La fonction f : x 7→ 5xest définie sur R par 5x = exln 5. Elle est dérivable

sur R et

50.7 Applications 19

2. La fonction g : x 7→ 1 2

x

est définie sur R par12 x

= exln1_{2 = e}−x ln 2_{. Elle est dérivable}

sur R et g0(x) = − ln 2 × ₁ 2 x . 

On peut tracer le tableau de variations de x 7→ ax_{en distinguant deux cas :} 1. Si0 < a < 1 : x −∞ 0 1 +∞ +∞ & 1 ax & a & 0 2. Si1 < a : x −∞ 0 1 +∞ +∞ % 1 ax % a % 0

50.7

Applications

50.7.1 Le logarithme n’est pas une fonction rationnelle

Proposition 50.31 La fonction logarithme népérien n’est pas une fonction rationnelle.

Dv

• Démonstration —On raisonne par l’absurde : supposons queln est rationnelle. Alors il existe deux fonctions P et Q telles queln = P

Q.

On a : limx→+∞ln(x) = +∞ donc deg P deg Q. De même limx→+∞ln(x)x = 0 donc

deg P > deg Q + 1. •

R 50.32 On peut simplifier la démonstration sans utiliser les croissances comparées. On raisonne toujours par l’absurde en supposant queln = P

Q avec P et Q deux polynômes premiers enter eux. En dérivant membre

à membre on obtient : 1 X = P0_{Q− Q}0_P Q2 ⇔ Q 2_{= XP}0_{Q− XQ}0_P.

g(x) = 0,5x h(x) = 0,2x f (x) = exp(_−x) (a)0 < a < 1 f(x) = exp(x) f(x) = 2x f(x) = 5x (b)1 < a

50.7 Applications 21

50.7.2 Image d’une suite géométrique

Proposition 50.33 L’image d’une suite géométrique de raison r > 0 par la fonction logarithme est une suite arithmétique de raisonln r.

Dv

•Démonstration —La preuve est immédiate en utilisant les propriétés algébriques du

loga-rithme. •

50.7.3 Approximation du logarithme népérien d’un réel

Proposition 50.34 Soit a > 1 et soit (un)_n≥0 la suite définie par u0 = a et pour tout n > 0,

un+1 = √un. Alors la suite(vn)n≥0définie pour tout n ≥ 0, vn= 2n(un− 1) converge vers ln a.

Dv

•Démonstration —On montre tout d’abord que(un)n≥0converge vers1.

∀n > 0, un+1− 1 =√un− 1 = un− 1 √_u n+ 1 ≤ 1 2(un− 1).

D’où, pour tout n ≥ 0, 0 ≤ un− 1 ≤ 1₂
n

(x − 1). Par le théorème de comparaison, on en déduit quelimn→+∞un= 1.

Montrons que (vn)n≥0 converge versln(a). En étudiant les fonctions f : h 7→ h − h

2 2 ≤ ln(1 + h) et g : h 7→ h ≤ ln(1 + h), on montre que : ∀h > 0, h −h 2 2 ≤ln(1 + h) ≤ h. De cette inégalité, on en déduit que :

∀n ≥ 0, −(a − 1)

2

2n+1 ≤ ln(a) − vn≤ 0.

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http:// bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :

http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.

http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/ TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no_{503, 2013. URL : http://}

publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au

Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_ JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012. http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

BIBLIOGRAPHIE 25

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :

http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_

cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.

URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien. herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.

[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[50] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de

spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[52] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.

[53] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.

[54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr [55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[56] M. LENZEN, Leçon no_{14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.}

capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques,

2006-2007.

[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp

[60] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.

[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net.

[62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http:// tehessin.tuxfamily.org

[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/ 21ganal.pdf.

[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/ coorgeo.pdf.

[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net.

[67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah. jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf

[68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.

[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.

[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http: //perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf. [72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont

de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_ Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.

[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/ Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.

[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf

[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF

[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.

[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf

[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.

[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf

[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF

[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone. voila.net/Brevet/syst.3.html

[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES.http://mathweb. fr.

[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah. jo.free.fr/seconde/regionalpha.php

[84] Programmation linéaire,http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/ 500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf [85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),

Programme 1999, Didier.

BIBLIOGRAPHIE 27

[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL :http://serge.mehl. free.fr/anx/dtes_p.html

[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_ Droites_secantes.pdf

[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/ CAPES/geometrie/droites2012.pdf.

[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/ acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf

[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL :http://pierrelux.net/documents/ cours/2/espace.pdf

[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/ Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf

[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/ lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.

[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e ₃e_{, Playermath. URL : http://www.}

playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.

[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000. free.fr/4C/4C-02.pdf

[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia. [97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.

[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http: //math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_ cartesiennes.pdf

[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL :http://www.hexomaths. fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf

[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.

[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau. pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.

[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.

[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www. xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf

[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/ produitscalaire.pdf

[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf

[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015.http://www. ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf [108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/

[109] Propriété de Thalès, 3e_{. URL :http://melusine.eu.org}

[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL :http://mathadoc.com. [111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.

[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.

[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.

URL :http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf

[114] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/ cours/3_Trigonometrie_C.pdf

[115] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S.http://bacamaths. net

[116] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http:// bacmaths.net

[117] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.

[118] M. LENZEN, Leçon no32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications.

URL :http://capes-de-maths.com

[119] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart. pagesperso-orange.fr

[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. De

Boeck, 2000.

[121] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http:// bacamaths.net.

[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x. maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01. [124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf [126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux.

net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf [128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net

[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free. fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.

[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne.

URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/

AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf

BIBLIOGRAPHIE 29

[133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/ exposes/suites/suites.htm

[134] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S.http://bacmaths.net

[135] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL :http://www.xm1math.net/ premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf

[136] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL :amemath.o2switch.net/ ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.

[137] A. SAMIER& C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011.

[138] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL :http://mathweb.fr.

[139] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonctionln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon. URL :http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf

[140] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL :http://xmaths. free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[141] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL :http://bacamaths.net.

[142] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/

cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.

[143] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl :http://bacamaths.net.

[144] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment.

Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle. Leçon no_{60 du CAPES 2010. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.}

html.

[145] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths. net

[146] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSdericours&page=01

[147] G. COSTANTINI, Exercices rédigés sur les exponentielles et les logarithmes. URL : http:

//bacamaths.net.

[148] G. COSTANTINI, Fonctions logarithmes, Cours de Terminale S. URL : http:// bacamaths.net.