• Aucun résultat trouvé

x+⅟x, irrationnels

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2021

Partager "x+⅟x, irrationnels"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

x +

1

x

, irrationnels

Samuel Rochetin

Mercredi 27 février 2019

Exercice. 1. Montrer que ∃x ∈ R \ Q, x +x1 ∈ Z.

2. Soit x ∈ R \ Q, x + 1x∈ Z. Montrer que ∀n ∈ N, xn+ 1

xn ∈ Z.

Solution.

1. Soit k ∈ Z. Supposons que ∃x ∈ R \ Q, x +1x= k.

Cette équation équivaut à x2− kx + 1 = 0. C’est une équation du second

degré en x. Elle admet donc au moins une solution si et seulement si son discriminant est positif ou nul, c’est-à-dire si et seulement si k2− 4 ≥ 0,

si et seulement si k est un entier relatif différent de −1, 0, 1. Si k = 3, alors on vérifie que x = 3 +

√ 5

2 répond à la question. 2. Montrons le résultat par récurrence double sur n ∈ N.

Le cas n = 0 est trivial. Le cas n = 1 est l’hypothèse de la question, possible d’après la question précédente.

Supposons que ∃n ∈ N, xn+ 1 xn ∈ Z et x n+1+ 1 xn+1 ∈ Z. Alors xn+2+ 1 xn+2 =  x + 1 x  ×  xn+1+ 1 xn+1  −  xn+ 1 xn  ∈ Z comme somme et produit d’entiers relatifs.

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 134.87 KB )

Documents relatifs

) si et seulement si il existe des réels λ

La matrice A est inversible car l'algorithme du pivot partiel permet de se ramener à une forme triangulaire, on peut poursuivre alors pour calculer l'inverse.. Il existe un

Une variable aléatoire X à valeurs réelles est dite de Rademacher si et seulement si elle vérie :

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/1. 3 Rémy Nicolai

On dit queABCDest un parall´elogramme si et seulement si

3) Montrer en utilisant la question pr´ ec´ edente que l’image d’un parall´ elogramme par une application affine est un

Montrer que argminf(C)6=∅si et seulement si ∃x∈C, ∇f(x)·x= 0 et ∀y∈C, ∇f(x)·y≥0

(iii) La fonction f est le quotient de deux fonctions polynˆ omiales qui sont Ha- damard dif´erentiables.. On suppose B

2) Montrer que si x est algébrique sur K et si [K(x

[r]

On consid`ere la relation binaire≈sur R, d´efinie par : x ≈ y si et seulement si x−y∈Z

R´ epondre par VRAI ou FAUX (sans commentaire) ` a chacune des questions suivantes (notation : +1 par r´ eponse correcte et -1 par r´ eponse incorrecte ; la note de l’exercice sera

4n+ 2 est un multiple de 3 si et seulement si il existe k∈ tel que 4n+ 2 = 3k

[r]

Utilisation d’un énoncé en « si et seulement si »

La formulation du lycée est une forme condensée qui ne doit pas faire oublier qu’il s’agit en fait de deux énoncés (énoncé direct et énoncé réciproque). Cela est fondamental