• Aucun résultat trouvé

x+⅟x, irrationnels

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "x+⅟x, irrationnels"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

x +

1

x

, irrationnels

Samuel Rochetin

Mercredi 27 février 2019

Exercice. 1. Montrer que ∃x ∈ R \ Q, x +x1 ∈ Z.

2. Soit x ∈ R \ Q, x + 1x∈ Z. Montrer que ∀n ∈ N, xn+ 1

xn ∈ Z.

Solution.

1. Soit k ∈ Z. Supposons que ∃x ∈ R \ Q, x +1x= k.

Cette équation équivaut à x2− kx + 1 = 0. C’est une équation du second

degré en x. Elle admet donc au moins une solution si et seulement si son discriminant est positif ou nul, c’est-à-dire si et seulement si k2− 4 ≥ 0,

si et seulement si k est un entier relatif différent de −1, 0, 1. Si k = 3, alors on vérifie que x = 3 +

√ 5

2 répond à la question. 2. Montrons le résultat par récurrence double sur n ∈ N.

Le cas n = 0 est trivial. Le cas n = 1 est l’hypothèse de la question, possible d’après la question précédente.

Supposons que ∃n ∈ N, xn+ 1 xn ∈ Z et x n+1+ 1 xn+1 ∈ Z. Alors xn+2+ 1 xn+2 =  x + 1 x  ×  xn+1+ 1 xn+1  −  xn+ 1 xn  ∈ Z comme somme et produit d’entiers relatifs.

Références

Documents relatifs

La formulation du lycée est une forme condensée qui ne doit pas faire oublier qu’il s’agit en fait de deux énoncés (énoncé direct et énoncé réciproque). Cela est fondamental

R´ epondre par VRAI ou FAUX (sans commentaire) ` a chacune des questions suivantes (notation : +1 par r´ eponse correcte et -1 par r´ eponse incorrecte ; la note de l’exercice sera

[r]

La matrice A est inversible car l'algorithme du pivot partiel permet de se ramener à une forme triangulaire, on peut poursuivre alors pour calculer l'inverse.. Il existe un

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/1. 3 Rémy Nicolai

3) Montrer en utilisant la question pr´ ec´ edente que l’image d’un parall´ elogramme par une application affine est un

(iii) La fonction f est le quotient de deux fonctions polynˆ omiales qui sont Ha- damard dif´erentiables.. On suppose B

[r]