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Notion de polynômes 2em Sciences et Informatique
Exercice 1
Répondre par Vrai ou Faux
Soient les polynômes = − 3 + 2 et = 4 − 3 +
a) 1 est une racine commune aux deux polynômes et .
b) Le degrés du polynôme + est égale à 8. c) Le degrés du polynôme × est égale à 15.
Exercice 2
Soit le polynôme = 4 + 5 − 2 − 3.
1) Vérifier que −1 est une racine de .
2) Déterminer trois réels , , et tel que = + 1 + + .
3) Résoudre alors l’équation = 0.
Exercice 3
Soient les polynômes = − 6 + 11 − 6 et = + − 6
1) Résoudre dans l’équation = 0
2) a) Montrer que 2 est une racine de P x = 0
b) Déterminer trois réels ; et tel que = − 2 + +
c) Résoudre dans l’équation = 0
3) Résoudre dans l’équation =
4) Soit la fonction rationnelle définie par = a) Déterminer le domaine de définition de b) Simplifier l’expression de
c) Résoudre dans l’inéquation ≥ 0
Exercice 4
Soit le polynôme = 2 + 3 − 2 − 3.
1) a) Calculer 1
b) Déterminer trois réels , , et tel que = − 1 + +
2) Résoudre l’équation = 0.
3) a) Dresser le tableau de signe de . b) Résoudre dans ℝ l’inéquation ≤ 0.
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4) Résoudre dans ℝ l’inéquation $ ≥ 0
Exercice 5
Soit le polynôme = − − 11 + 9 + 18.
1) a) Calculer −1 et 2
b) Déterminer le polynôme & tel que = + 1 − 2 & .
2) a) Factoriser .
b) Résoudre dans ℝ l’équation = 0 ; puis l’inéquation ≤ 0.
Exercice 6
Pour chaque proposition, trouver la seule bonne réponse :
1) Soit = − 4 + | | − 1 ∈ est une fonction :
a) polynôme b) rationnelle c) ni polynôme ni rationnelle
2) Soit , et trois polynôme tel que = × si *° = 5 et *° = 2
alors *° =
a) 10 b) 7 c) 3
3) Le polynôme 3 − 6 + + 2 est factorisable par :
a) − 1 b) + 1 c) − 2
4) Soit = .
--/ , le domaine de définition de est :
a) \{−2 , 2} b) \{−2 } c)
Exercice 7
Soit le polynôme = + 3 − 4 − 12
1) Vérifier que 2 est une racine de , puis factoriser .
2) Soit = .
4 4
a) Déterminer le domaine de définition 5 de .
b) Montrer que pour tout réel de 5 ; = .- -6 -$ 3) Résoudre dans ℝ l’inéquation ≥ 0.
Exercice 8
Soit les polynômes = −2 − 3 + 5 et = + 6 + 9 − 4 − 12
1) a) Déterminer les racines du polynôme . b) Vérifier que 1 et −2 sont des racines de .
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2) Soit la fonction rationnelle définie par = a) Déterminer le domaine de définition de .
b) Simplifier .
3) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction 7 = 8
Exercice 9
Soit le polynôme = −2 + 2 + 26 − 2 − 24
1) a) Montrer que 1 et −3 sont deux racines de .
b) Déterminer un polynôme tel que = − 1 + 3 .
2) On considère la fonction définie par =4 .4 -$ a) Déterminer le domaine de définition de .
b) Simplifier .
3) Résoudre alors ≥ 0
Exercice 10
1) Soit = + 4 + − 6
a) Vérifier que −2 est une racine de
b) Déduire que = + 2 + + où , , et sont des réels à déterminer
c) Résoudre dans ≥ 0
d) Déduire le domaine de définition de la fonction = 8
2) a) Développer et réduire le polynôme + + 1
b) Factoriser alors 7 = + 2 + + 2
3) Soit ℎ = : ;
a) Déterminer le domaine de définition de la fonction ℎ
b) Montrer que ∀ \{−2} on a ℎ = 4$. --$
c) Résoudre dans ℎ ≤ 1
Exercice 11
Soit le polynôme définie par : = 2 − 9 + 7 + 6
1) a) Calculer 2
b) Déterminer le polynôme tel que = − 2
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2) Résoudre dans l’équation = 12 − 6
3) Soit =
4 .-= 4$>
a) Déterminer l’ensemble de définition 5: de
b) Vérifier que pour tout ∈ 5: on a : = .4 4
4 4) a) Déterminer le signe de
b) Résoudre dans l’inéquation 8 ≥ √−
Exercice 12
On considère les polynômes @ et définis par :
@ = 4 − 13 + 9 et = 2 + 3 − 5 − 6
1) a) Factoriser le trinôme 4 − 13 + 9
b) En déduire la factorisation de @ en produits de quatre facteurs
2) a) Vérifier que −1 est une racine de
b) En déduire que = + 1 × où est un polynôme que l’on déterminera
3) Soit la fonction rationnelle définie par = A
a) Déterminer le domaine de définition 5: de puis simplifier
b) Résoudre dans ≥ 0 puis 8 = 2√ − 1
Exercice 13
1) Déterminer le signe du polynôme = + + 1.
2) Soit la fonction définie sur ℝ par = √ + + 1
a) Montrer est un polynôme de degrés 2.
b) En déduire que si est un polynôme, alors son degrés est égale à 1. 3) a) Montrer qu’ils n’existent pas de réels et tel que, pour tout réel :
√ + + 1 = +
b) En déduire que n’est pas un polynôme.
Exercice 14
On considère les polynômes B et définis par :
B = − + 6 − 8 et = 2 − 3 − 8 + 12
1) a) Résoudre dans l’équation B = 0 b) Déduire une factorisation de B
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c) Vérifier que B et ont une racine commune
d) Factoriser alors
2) a) Résoudre dans l’équation 2 − 8 = 3 −$
b) Résoudre dans les inéquations B ≥ 0 et 8B < − 2
3) Soit la fonction rationnelle définie par = 4/
-D
a) Déterminer le domaine de définition 5: de
b) Pour tout ∈ 5:, simplifier et vérifier que = 4$$ − -$$
c) Pour tout entier naturel E ≥ 3, calculer FG = 3 + 4 + 5 … + E rn fonction de E
Exercice 15
Soit le polynôme = -$
1) a) Montrer que pour tout réel on a : − − 1 = .
b) En déduire de ce qui précède @ = 1 + 2 + 3 + 4 et I = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. 2) Montrer que pour tout entier naturel E non nul, on a : 1 + 2 + 3 + ⋯ + E = G G-$
Exercice 16
Soit le polynôme = -$ -$
6
1) a) Montrer que pour tout réel on a : − − 1 = .
b) En déduire de ce qui précède @ = 1 + 2 + 3 + 4 et I = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 .
2) Montrer que pour tout réel E non nul , on a : 1 + 2 + 3 + ⋯ + E = G G-$ G-$
6
Exercice 17
Soit le polynôme = $ −$ +$ .
1) Calculer −1 ; 1 et 2 .
2) Montrer que pour tout réel ;on a + 1 =
. .-$ .
3) En déduire que pour tout réel ;on a + 1 − =
