ARTheque - STEF - ENS Cachan | Le problème des forces d'inertie

(1)

B-LEME' ,

par

e,

JOLLY

Professeur de Construction

au

L. T. E. de Reims

chargé de cours de mécanique

générale

à

1'1.

U. T. de Reims

DES

F()RCES

'INE,RT1E

Cet article résume fexposé fait par M. JoUy au .cours du colloque

organise

conjointe.

ment à Reims, le 29 avril 1971, ,par notre association et le département du génie

méca-nique de

·l'I;U.T~

.deReims.

Monsieur Jolly, qui aborde là un problème

aussi

vzeux que la mécanique, mais encore

souvent discuté,donne une réponse claire et

précise qui doit mettre d'accord entre

eux les

«

tenants des forces d'inertie

»

et leurs adversaires résolus.

1. INTRODUCTION

Sur l'équation du mouvement relatif, on lit

~ , ~ ~

F

+

( - m re nt )

+

(-mrcomp)

=

~ mrrel

« ces vecteurs, qui dans cette forme de calcul jouent le rôle de forces, ne sont pas d'es for-ces... », Ou bien :

« on ne doit pas dire que les forces d'inerttie

sont fictives... »

Le débat est donc posé : les forces d'inertie sont-elles des représentations de phénomènes physi-ques où ne sont-elles qu'un pur formalisme de

I'outdl mathématique ?

La tentative de clarification actuelle nécessite quelques précisions initiales.

2. EXICSNCES POUR UNE

MECANIQUE PHYSIQUE

Une mécanique physique utilisable avec profut

par l'ingénieur ou le technicien parait devoir obéir à la charte suivante:

al la mécanique est une science expérimentale.

bl le discours de mécanique doit viser à la co-hérence.

cl le formalisme ne d'oit pas gêner l'indispensa-ble recours aux phénomènes.

Pour fonder une mécanique dans cette perspec-tive nous poserons au départ, l'existence :

al d'un observateur assimilable' à un solide-repère.

bl d'une base de temps pour cet observateur.

cl d'un espace-repère, prolongement comme espace vectoriel euclidien à '!trois dimensions, de l'observateur.

dl d'une vitesse de propagation infinie des in-formations d'un observateur à un autre; cette affirmation n'est pas confirmée par l'expérience, la plus grande vitesse de propagation connue. à

ce jour est celle du rayonnement electromagné-tique dans le vide, c

=

299997 km/si admettre cette vitesse limite conduit à la mécanique rela-tiviste où les longueurs et les durées ne sont pas invariantes pour des observateurs en mou-vement; nous écartons cette difficulté en limi-tant le domaine de validité de la mécanique dite classique aux mouvements de vitesse faibles par rapport à c, ce qui, en fait, est le cas usuel dans les applications technologiques.

el de l'invariance des masses pour tous les ob-servateurs; cette hypothèse n'est pas confirmée pour des masses animées de vitesses non négli-geables par rappont à c.

Dans ces conditions, un observateur visant à la description des mouvements des systèmes maté-riels peut établir la notion de force s'exerçant sur une particule' matérielle; un observateur-repère pose l'existence d'une force s'exerçant sur une particule matérielle :

al quand un système matériel est en contact avec la particule considérée; des lois expéri-mentales précisent des éléments de ces forces dites de contact; telle la loi de Coulomb pour les contacts solides.

;,

(2)

hl quand un champ de force règne dans

l'espa-ce-repère associé à l'observateur; la force éma-nant de ce champ et s'exerçant sur la particule considérée est définie par la loi" du champ; les champs de gravitation et électromagnétiques som les plus connus. Remarquons que nous ne préjugeons pas ici de la source du champ cons-taté par l'observateur dans son espace-repère.

Notre observateur parvient alors à l'énoncé de la loi fondamentale de la ~amiqueclassique : Il existe au moins un reoère dit absolu: et une base de temps, tels qu'à tout instant, pour-l'ob-servateur du repère, pour tout système matériel ou partie de système matériel, le torseur des forces extérieures s'exerçarut sur le système ou la partie d'e système est équivalent au torseur dynamique du système ou de la partie de sys-tème.

La loi ainsi énoncée entraîne comme consé-quence le théorème des interactions, au niveau d'un enseignement secondaire, il parait de saine pédagogie de limiter l'énoncé au cas de la parti-cule matérielle mais avec la nécessité de poser en même temps, comme loi, le théorème des interactions.

La question qui se pose alors pour l'observa-teur est :

Comment trouver un repère absolu 'l

3.RECHEiRCHE

D'UN,RIEIPERE

A,BSOLU

Le seul critère est inclus d'ans la formulation de la loi fondamentale : un repère est absolu si un observateur de ce repère y appliquant la loi

à un système matériel trouve des résultats cal-culés conformes aux résultats expérimentaux, compte tenu des marges inévitables d'erreurs systématiques sur les calculs et les mesures d'une part, et de l'exigence de précision de l'ap-plication considérée d'autre part. Prenons un exemple.

...

R

Considérons le phénomène d'e la chute libre sans vitesse initiale. au voisinage de la surface ter-restre; assimilons la Terre à un repère absolu; les forces extérieures appliquées sur la particule qui tombe et décelées par l'observateur terrestre sont:

al Forces de contact : résistance de l'air et poussée archimédéenne due à l'air.

bl Forces de champ: action du champ de gra-vitation terrestre.

L'application du théorème du' centre d'inertie conduif au résultat bien connu : la particule, tombe verticalement (densité plus grande que celle de l'air) dans un mouvement varié ten-dant à devenir uniforme; l'expérimentation usuelle confirme ce résultat et nous concluons que dans ce domaine d'application usuel sans précision particulière la Terre est Un repère absolu admissible.

Mais nous pouvons envisager ce problème de chute sur une grande hauteur; les mesures très soignées de Reich faites en 1831 à Freiberg en Allemagne dans un puits de 152 m .révèlent une

dévlation vers l'Est à l'arrivée de 28 mm par rapport au pied de la verticale dupoint de lan-cement. Pour rendre compte de ce phénomène, deux possibilités apparaissent : (Fig. 1)

1/ Nous assimilons toujours la T'erre à un re-père absolu; l'observateur Iterrestre, par une expérimentation très fine, peut parvenir à

mettre en évidence deux champs de forces ré-gnant au voisinage de la Terre et agissamt sur la particule qui tombe, en plus d'e l'attraction gravitationnelle; le résultat de Reich se 'trouve alors confirmé par le calcul; nous reprocherons

à cette première méthode :

- la difficulté expérimentale pour définir les lois de force de ces deux champs additionnels dont I'aetion est très faible.

- de ne pas expliquer la source de ces deux champs d'e forces additionnels. -Nous sommes donc amenés à la deuxième possi-bilité :

...

A

...

p

forces additionnelles

.-constatees

ilobservateur suppose

absolu

..

son repere

Fig. 1

(3)

Fig. 2

repère absolu, de'

l'observateur des forces

..

repere

non

absolu de

l'observateur

du mouvement

relatif

~

+

(-mrcomp) ::::: 2/ La Terre n'est plus considérée comme repère

absolu. Un tel repère supposé peut être recher-ché dans la -Galaxie : centré au Soleil et d'axes passant par des étoiles définies de la Galaxie (les mouvements relatifs des étoiles peuvent être négligés pour les durées usuellesù. Pour appliquer la loi fondamentale à la particule, l'observateur-repère doit être lié au repère ab-solu choisi; dans l'espace d'e ce repère il décèle les forces appliquées suivantes :

- forces de contact : résistance de l'air et

~

....

poussée archtmédéenne due'à l'air : R et A - forces de champ : action du champ de gravi-tation terrestre. (les actions des autres champs de gravitation sont négligeables au voisinage de la Terre.)

Il en résulte l'équation. :

~ ~ ~ ~

R

+

A

+

P ::::: m T ab s o l ue (l)

Comme c'est le mouvement relatif de la parti-cule par rappont à la Terre qui est recherché, il convient de faire apparaître d'ans l'équation (l) l'accélération relative de la particule en appli-quant le théorème de composition des accéléra-tions : (Fig. 2)

~ ~ ~ ~ ~ ~

R

+

A

+

P ::::: mrrel

+

mrent

+

mrcomp(2) Il resterait à projeter l'équation vectorielle (2) sur un système d'axes: commode à choisir, des axes terrestres par exemple.

L'emploi de ce repère absolu centré au Soleil permet de rendre compte du mouvement réel de la particule par rapport à la 'rerre.

Nous reprocherons à cette méthode d'e faire appel il deux observateurs pour étudier un mou-vement : l'un lié au repère absolu choisi qui recherche' dans son espace absolu les forces appliquées sur la particule et l'autre, lié au repère du mouvement à étudier, et ql-li recher-che les accélérations dans ce mouvement relatif. Il Semble plus direct et plus conforme aux cgndiJtiohs pratiques de I'expértmentation de

n'utiliser qu'un seul- observateur lié à l'espace-repère du mouvement à étudier; c'est la troi-sième possibilité.

4. IflORCES

D'INERTIE

L'équation (2 ) peut s'écrire

~ ~ ~ ~

R

+

A

+

P

+ (-

mT'ent )

~

mrrel (3)

Cette équation a la même forme que l'équation (L) ; la loi fond'amentale de la dynamique est donc applicable pour un observateur d'un repère non absolu à conditâon d'adjoindre aux forces extérieures décelées dans un repère absolu, deux forces additionnelles :

~

(-- m r ent) dite force d'inertie d"entraînement

~

( - rn T camp) ctite force d'inertie complémen-taire ou de Coriolis, (Fig. 3)

Dans l'espace repère de l'observateur du mouve-ment relatif, ces forces se manifestent comme des forces de champ ainsi que l'a constaté, avant d'en connaître la source, l'observaeur de la pre-mière possibilité décrite au § 3.1 précédent. Cette troisième possibilité nous parait la plus conforme à la charte posée au d'épart; elle ne fait appel pour l'explication du, mouvement dans un espace repère, qu'à des: éléments directement mesurables par l'observateur '.de cet espace-repère ; le' formalisme apparenaqul a consisté à

nommer force une simple quantité d'accélération changée de signe constitue en fait l'explica-tion des champs de forces addil'explica-tionnels décelés par les observateurs des repères, non absolus; les forces d'inerttie se manifestent comme des forces de champ pour tout observateur d'un repère non absolu;

Par

contre tout observateur d'un repère absolu ne saurait déceler dans son espace-repère des champs de forces d'inertie

~ ~ ~ ~

car : r ent := 0

=>

(-

m T ent) :::: (}

~ ~ ~ ~ ~

(4)

~

R~

forces'

,

.~.;dditionn:lles

V'

p

eXp'liguees

..

repere non

absolu de

l'observateur

unique des forces

mouvement

Fig. 3

rela tif.

J}

pour

mouvement

d

1

entr-oinernent du

repère non absolu

repère absolu

définir le

ml' == I' G == d~ m (2) km m'_p _p

Une autre preuve expérimentale de ce fait nous est donnée dans l'exemple suivant : une en-ceinte E est en translation rectiligne uniformé-ment accélérée par rapport au repère absolu A; un observateur de .I'espace de l'enceinte expli-L'expérienée montre qu'elle est la même pour tous les corps; il en résulte que la masse inerte forme un rapport invariable avec la masse pesante; la constante de gravitation univer-selle k peut toujours être choisie dans le sys-tème légal pour que ce rapport' soit égal à un; dans ces conditions la masse inerte et la masse gravitationnelle sont mesurées par le même nombre.

La propriété gravitationnelle est énoncée dans la loi de, Newton

Or, rien ne prouve que la masse « i.nerte » qui apparait dans (l) est égale à la masse gravita-tionnelle ou pesante) qui est utilisée dans (2) ; nous allons montrer, que ces deux masses sont proportionnelles. Pour .cela considérons la chute libre sans air d'une particule au voisinage im-médiat de la surface terrestre; m étant la masse inerte et m_p la masse pesante nous avons :

~

F ==

~--d'où l'on déduit l'accélération .. du champ de pesanteur. :

Il est courant de confondre deux propriétés fondamentales . de la matière : l'inertie et l'atttaction. L'inerëie est mesurée par la masse m qui apparaitidans'la loi fondamentale de la dynamique de la particule :

5. MASSES ,INERTES

ET MASSES' 'PESANTES

Le fait que les champs de forces d'inertie dis-paraissent pour 'les observateurs des repères ab-solus ne constitue pas une singularité para-doxale en physique : il en est de même pour, les forces électromagnétiques; nous ajouterons que les forces se manifestant comme élément causal dans un repère où un observateur étudie un mouvement,il est parfaitement logique qu'un observaeejïr' d'un autre repère étudiant le même systèmefuatériel dans son espace-repère décèle pour définir- le mouvement relatif de ce systè-me, des'. fo,rces additionnelles, le mouvement relatif étànt différent du mouvement absolu. Les forces .d'inertie n'émanent pas d'un système matériel, comme les champs de gravitation par exemple; elles apparaissent dans des espaces-repères en mouvement d'entraînement qui ne sont pas 'de translation rectiligne uniforme par rapport âux repères absolus; de ce fait les for-ces d'inertie n'obéissent pas à la loi des inter-actions. Remarquons enfin qu'un repère absolu apparait comme un' espace-repère où le torseur des forces extérieures appliquées à un système matériel comporte le minimum d'éléments. Nous pouvons alors énoncer la loi généralisée de la dynamique classique :

Pour -un observateur' d'un 'repère quekoncjue, le torseur des forces extérieures appliqué'es à un système matériel, y compris les forces d'inertie d'entrainement et complémentaires, est équivalent à tout instant au torseur dyna-mique du système.

~ ~

(5)

que l'inclinaison du -pendule-Oï> au moyen "des' trois forces: (Fig. 4)

mr..'

tg u.

=

...,)

- action de contact du fil T

-7

- action de la gravitation terrestre mpg - action du champ de force d'inertie

d'entrai-Po

l '

L'expérience montre que; tg',(1,

= '-,-'- ;

la masse

g

inerte (rn) _{et la masse pesante (m p)}

apparais-E

Fig. 4

-....

T

...,) nement -, m

r .

(la force d'inertie complémentaire est nulle

...,) ...,)

puisque ltJ.'= 0). Nous' en dédulsons J'incllnaison du pendule par rapport à la 'verticale :

sent bien comme mesurées par le même nom-bre; cet exemple permet en outre de mettre en relief l'identité de nature entre forces d'inertie

et forces de' gravitation et qui est le point de départ de la théorie de la relativité généralisée d'EJ:N8TEIN:

C. JoUy.

A

nos

lecteurs

Ce second bulletin a tenté de répondre à certaines lacunes du- premier, . que

nous avions d'ailleurs signalées.

L'enseignement

à

un niveau élémentaire

y occupe une plus large place, ainsi

que les premières réflexions échangées.

Certains articles, prévus pour: ce numéro n'ont pu paraître, faute dé, place 'ou

de préparation. '

La rubrique ({ Le point de vue de l'industriel» n'est pas abandonnée. Elle

trai-, teratrai-, dans le bulletin d'octobretrai-, de l'optique d'un chef d'une grande entreprise

L,'

, sur la formation des" techniciens.

,

' ,

La seconde partie de l'article ({ Leçons de technologie sur les roulements à

billes

»