Applications des Courbes usuelles
Le p r o g r a m m e de dessin technique des Collèges Techniques et des Ecoles Nationales Profession-nelles prévoit l'étude élémentaire et le tracé de quel-ques courbes usuelles. Les notions de géométrie acquises en première année permetten t de justifier la plupart des constructions. On peut faire appel, par exemple, à la notion de symétrie et à celle de tangente. Il est possible, en outre, de donner les notions de normale, de centre et de rayon de cour-bure, de points à l'infini, d'asymptotes, qui élar-gissent les vues des élèves sur la géométrie. Enfin, on étudie une courbe de l'espace tracée sur un cylindre.
Les courbes envisagées sont f r é q u e m m e n t repré-sentées en dessin technique. A l'atelier, on est amené à t r a c e r certaines d'entre elles. D'autre par ' , la .physique et la mécanique utilisent des représen-tations graphiques où l'on retrouve notammen t la parabole et l'hyperbole équilatère.
Après le tracé de chaque courbe, il est utile de faire exécuter quelques applications au dessin tech-nique et au traçage.
Ces exercices permetten t de vérifier que les élèves ont compris les tracés qui précèdent, de les répéter plusieurs fois, et de préciser certains points de détail. Les élèves apporteront beaucoup de soin dans le tracé des courbes de manière à conserver l'unité de présentation du dessin. Ces applications attirent l'attention des élèves sur l'utilité de l'ensei-g n e m e n t théorique, et éveillent leur intérêt qui s'at-tache à tout ce qui se rapporte à la profession. Elles p e r m e t t e nt enfin de montrer comment on peut réaliser, en construction, une courbe, conformément à sa définition théorique.
T R A C E DES COURBES
Les élèves éprouvent des difficultés pour tracer des courbes régulières. Comment surmonter ces difficultés ?
Il ne f a u t p a s déterminer un trop g r a n d nombre de points, sans quoi l'élève, qui s'obstine à f a i r e passer la ligne par tous les points, obtient une courbe irrégulière. La m a i n doit toujours être placée dans la concavité de la courbe. Il f a u t exiger
une esquisse en t r a i t fin et net, et faire rectifier les formes défectueuses.
Les élèves doivent ensuite repasser la courbe à l'encre ou au crayon, et j'estime que l'on peut ici employer successivement plusieurs procédés :
1° Tracé à main levée à la plume ou a u crayon, A la plume, il est difficile d'obtenir des t r a i t s réguliers ;
2° Emploi du pistolet. Cet instrument p a r a î t proscrit de l'enseignement du dessin. Si son m a -niement est délicat, son emploi est très profitable, à condition d'exiger une esquisse très précise et très soignée.
Il f a u t apprendre aux élèves à apprécier le sens de variation du rayon de courbure et à placer le pistolet dans la région convenable. Des repères sont utiles quand il f a u t réaliser des symétries.
Un point délicat est le raccordement des arcs. On a t t i r e r a l'attention des élèves sur le f a i t que deux arcs consécutifs doivent avoir la même t a n -gente au point de raccordement ;
3° Tracé par arcs de circonférences. Utile sur-tout pour le tracé de l'ellipse et de la développante de cercle.
En ce qui concerne l'ellipse, on insistera sur le fait qu'il s'agit d'un tracé approché à rejeter si l'on doit ^réaliser une ellipse avec précision. Pour la développante de cercle, après une construction soignée à main levée, le tracé par arcs ide cercles, au voisinage de chaque normale, permet de montrer la position [des centres de icourbure sur le cercle de base.
Tracé de l'ellipse
En dehors de tracés directs de formes ellip-tiques, on rencontre l'ellipse dans les cas suivants :
Section plane d'un cylindre. Projection du cercle.
Perspective cavalière du cercle.
T R A C E D I R E C T D ' U N E E L L I P S E (Fig. 1)
Fond de chaudière avec trou d'homme Technologie. —, Justifier la form e sphérique
donnée au fond. Quelle est l'utilité du trou d'hom-me ? Dispositif de f e r m e t u r e : où doit être placée
la plaque de f e r m e t u r e ? Nécessité d'une f e r m e t u re étanche.
Signification du mot : autoclave.
Principe de l'emboutissage. Découpage du trou d'homme. Son usinage après emboutissage.
seront tracés sur la section du cylindre de bois, puis mesurés.)
Représentation en dessin de la section plane d'un cylindre :
Dessin à exécuter. — Représenter à l'échelle 1/5 ie fond défini par les vues suivantes :
Coupe longitudinale, vue de gauche.
Le dessin peut être présenté sous forme de thème.
S E C T I O N P L A N E D ' U N C Y L I N D R E (fig. 2) Si l'on coupe un cylindre par un plan, on peut obtenir :
Un cercle, si le plan de section est perpendicu-laire à l'axe ; une ellipse, si le plan de section est oblique par r a p p o r t à l'axe.
(Scier un cylindre de bois.) (Fig. 3.)
Le p e t i t axe de l'ellipse, CD, est égal au dia-mètre du cylindre, il est parallèle au plan de base. Le g r a n d axe, AB, est perpendiculaire à CD. Les axes
Le cylindre est représenté par une vue de face et une vue de dessus. Le plan de section est un plan debout de trace à C. Les projections de l'inter-section sont a b c d à a' b' c' d'. Pour obtenir la vraie grandeur, on détermine la section r a b a t t u e autour de a' b' ab, parce que a' b' est la vraie grandeur du g r a n d axe. Le petit axe se r a b a t en CD = cd.
Application : VALV E A P A P I L L O N (Fig. 3 bis.) Technologie. — Obturateur par rotation du
pa-pillon. Il est destiné à arrêter un courant de fluide, mais n'est pas p a r f a i t e m e n t étanche. Le p a s s a g e de l'axe de rotation doit être étanche.
Questions. — Quelle est la forme géométrique du papillon ? Comment déterminer les vraies g r a n -deurs des axes des faces ? Pourquoi la pièce (4) est-elle rapportée au lieu de faire corps avec l'axe (3) ?
Dessin à exécuter. — Représenter à l'échelle 1/2 les vues suivantes de la valve à papillon :
Coupe longitudinale de l'ensemble ; Vraie g r a n d e u r du papillon seul ; Coupe AB du papillon seul.
Le corps, le papillon et le bouchon (6) sont en fonte.
L'axe est en acier mi-dur.
F OND DE CHAUDIÈRE
fr
F i q u r e
3
figure 5
VALVE A PAPILLON
ECH: ~ Application : C A R T ER POUR E N G R E N A G E CONIQUE. (Fig. 5-) Technologie. — Utilité du carter. Analyser sa forme. A quoi servent les bossages ? La bride ? Etudier la fabrication : plan de joint, noyau, faces usinées.Dessin à exécuter. — Re-présenter le carter à l'échelle 1 avec les vues suivantes :
Coupe longitudinale ; Vue de dessus (ou vue de •gauche).
Indiquer les cotes, le f a -çonnage et les tolérances. Détail
de la pièce!? Cc.h.-Jr P R O J E C T I O N DU C E R C LE (Fig. 4).)
Un cercle a pour projection : un cercle égal, si on le projette sur un plan parallèle ; un segment de droite égal au diamètre si on le projette sur un plan perpendiculaire au plan du cercle.
P E R S P E C T I V E CAVALIERE DU C E R C L E (Fig. 6.) Si le cercle est parallèle au fiquns 3 b i ? " " 2 tableau, sa perspective est un
cercle égal.
Si le cercle est dans un plan perpendiculaire au tableau, sa perspective est une ellipse.
Soit à construire la perspective d'un cercle situé dans un plan horizontal. Si le cercle était dans un
ftgur®
A-cercle
Une ellipse, si on le projette sur un plan incliné par r a p p o rt au plan du cercle.
Le diamètre AB, parallèle au plan H, se projette en vraie grandeur. Le diamètre CD se projette en c d sur la perpendiculaire à a b (montrer que l'angle droit AOD se projette suivant un angle droit, en utilisant une équerre). L'ellipse projection hori-zontale est définie par son g r a n d axe ab et par son petit axe cd.
(L'ensemble peut être matérialisé par fils de fer soudés.)
plan de front, sa perspective serait le cercle ABCD. On trace le parallélogramme EFfe, perspective du carré circonscrit au cercle, puis on détermine les
points a, b, c, d, de c o n t a c t de l'ellipse avec les côtés du p a r a l l é l o g r a m m e .
N é t a n t le milieu de EB, m o n t r e r que le point M est sur le cercle ( t r i a n g l e s A E N et E A C sem-blables, les a n g l e s 1 et 2 sont c o m p l é m e n t a i r e s ) . Le point m de l'ellipse est obtenu p a r u n t r a c é ana-logue. On peut c o n s t r u i re 8 points a n a l o g u e s à m. L a c o n s t r u c t i o n s e r a i t la m ê m e pour un cercle situé d a n s un p l an de profil.
Perspective d'un eylindre. — T r a c e r les
perspec-tives des deux b a s es en r e m a r q u a n t qu'elles sont identiques. Mener les t a n g e n t e s c o m m u n e s a u x deux ellipses. ( F i g . 7.) Application : N O I X D E B L O C A G E ( F i g . 8.) M o n t r e r u n t r u s q u i n a u x élèves et expliquer le m é c a n i s m e du blo-cage. Dessin à exécuter : 1° R e p r o d u i r e la perspective d'un cube et celles des trois cercles inscrit s d a n s les f a c e s visibles ; 2° Perspective de la noix de blocage, la f e n t e é t a n t placée d a n s u n p l an de pro-fil, le t r o u de 30 m/m de d i a m è t r e a y a n t son axe vertical.
tère est souvent utilisée en physique (loi de Ma-riotte) ou pour l'étude des m a c h i n e s à v a p e u r (courbes de détente et de compression). L'applica-tion donnée ici est u n e m i s e au point des noL'applica-tions relatives a u x vitesses de coupe des outils de tour. C'est u n excellent exercice de r e p r é s e n t a t i o n g r a -phique.
NOIX DE BLOCAGE
Acier doux
figure 6
V I T E S S E S D E C O U P E .
Pour une m ê m e vitesse de coupe, la vitesse de r o t a t i o n et le d i a m è t r e sont deux g r a n d e u r s inver-s e m e n t proportionnelleinver-s. L a courbe r e p r é inver-s e n t a t i v e de deux g r a n d e u r s i n v e r s e m e n t proportionnelles est une hyperbole équilatère.
' Si N est le n o m b r e de t o u r s p a r m i n u t e de la pièce, et d m/m son d i a m è t r e , la vitesse de coupe
en m è t r e s p a r m i n u t e : * d N V —: m. p. m m . d'où d X N 1000 1000 V Si V est donnée, d N' d X N = d' X N' = de, d'où — = — d' N
Exemple : Pou r la f o n t e , V = 15 m. p. min. 15000
d X N =
f i g u r e 7
L ' H Y P E R B O L E
Cette courbe ne se p r é s e n t e p a s d a n s les dessins techniques (sauf pour c e r t a i n e s intersections où l'on
Si N = 50 t. p. min. 4774
d — = 95 mlm
50
T R A C E D ' U N DIAGRAMM E (Fig. 9.)
Soit à tracer la courbe relative au bronze, V = 40 m. p. min.
On porte en abscisse les vitesses de rotation en tours par minute et en ordonnées les diamètres.
Les échelles adoptées sont : Vitesses, 1 cm. pour 25 t. p. min. ; diamètres, vraie grandeur.
1° Détermination d'un point de la courbe.
Soit à tourner une pièce de 180 ™lm de diamètre,
en bronze, la vitesse de rotation correspondante est 70 t. p. min. Le point M représentatif sera placé à
70
18 cm. au-dessus de OÏ et à — = 2,8 cm. à droite de oy.
2° Tracé d'autres points. — Tracer MH et MV. Mener une droite quelconque OP qui coupe MH en P et MV en Q. P a r P, mener la parallèle à oy et par Q la parallèle à ox. N est un point de la courbe.
3° Tracé de la courbe. — Remarquer qu'elle est asymptote aux axes. Les tangentes aux extrémités ne doivent être ni horizontales, ni verticales (in-sister sur ce point).
4° Graduation du graphique. — Tracer par chaque point de division une horizontale ou une verticale. Le quadrillage ainsi obtenu permet de lire le graphique. (Fig. 10.)
5" Exercice de lecture. — Soit à calculer la vitesse de chariotage à sec d'une pièce de bronze de 70 m/m. Le graphique donne : 170 t. p. min.
Vérifier par le calcul.
Montrer aux élèves le degré de précision obtenu. La précision e§t suffisante, étant donné que le nom-bre de vitesses d'un tour est limité.
Données du dessin. (A reproduire.)
Outils de tour. Chariotage à sec. Avance par tour : 0,5 m/m Profondeur de coupe : 5 m/m. Durée
de l'outil : une heure.
Echelles. — Vitesses : 1 cm. pour 25 t. p. min. Diamètres : vraie grandeur. Vitesses de coupe en mètres par minute :
Acier dur à 75 k g : 10 m. Acier mi-dur à 60 k g : 18 m. Fonte, acier moulé : 15 m. Bronze : 40 m.
Dessin à exécuter. — Tracer les quatre
dia-g r a m m e s de vitesses de coupe pour les matières ci-dessus.
Questionnaire. — Qu'appelle-t-on vitesse de
coupe ? Quels sont les éléments qui influent sur la vitesse de coupe ? Qu'appelle-t-on avance ? Profon-deur de coupe ? Pourquoi fixe-t-on la durée de l'outil ?
Quand dit-on que deux g r a n d e u r s sont inverse-ment proportionnelles ? Appliquer cette définition aux diamètres des pièces de tour et à leurs vitesses de rotation. Quelle est la courbe qui représente deux grandeur s inversement proportionnelles ?
L A P A R A B O L E
1° Application : C H A I S E E N B O U T P O U R P A -L I E R . ( F i g . 11.) Elle est f o r m é e de deux semelles reliées p a r une n e r v u r e à f o r m e p a r a b o -lique. Le trou t r i a n g u l a i r e p r é v u d a n s la n e r v u r e a pour b u t d'éviter les dé-f a u t s de dé-fonderie .
Questionnaire. — F i x a
-tion du palier sur la chaise. F i x a t i o n de la chaise sur u n m u r . C o m m e n t est placé l ' a r b r e de t r a n s m i s s i o n p a r r a p p o r t a u m u r ? Justifier la f o r m e de la n e r v u r e . Expliquez le t r a c é de la nervure. Utilité des bossages, des portées d ' a j u s -tage. Que r e p r é s e n t e le dessin en m i x t e s court s ?
Dessin à exécuter. — R e p r é s e n t e r la chaise, à
l'échelle 1, avec les vues s u i v a n t e s :
POULIE
A B R A S P A R A B O L I Q U E S Fonte ECH : =L ,.
riqur® 12 Coupe p a r le p l an axial de la n e r v u r e (ne p a s couper la n e r v u r e ) . Demi-vue de droite.
C HAI SE
EN BOUT
POUR PALIER
DE 30
ECH:±
2
f s ^ i s r i 1 1 362° Application : P O U L I E A B R A S PARABO-LIQUES. (Fig. 12.)
Les b r a s droits des poulies sont exposés à se rompre pendant le refroidissement dans les moules, à cause du r e t r a i t du métal. On évite cet inconvé-nient par l'emploi de b r a s courbes.
Questionnaire. — Différentes parties d'une poulie. Justifier l'emploi des b r a s courbes. Section d'un bras. Pourquoi la jante est-elle bombée ? Com-ment l'arbre entraîne-t-il la poulie ? Pourquoi les bras sont-ils plus forts près du moyeu que du côté de la j a n t e ?
Dessin à exécuter. — Reproduire, à l'échelle 1/2, la poulie, avec les vues suivantes :
Vue de face, avec le tracé de quatre b r a s ; Demi-coupe en vue de gauche.
Les dimensions non indiquées seront évaluées à l'échelle 3/10.
Indications pour l'exécution :
1° Dessiner la j a n t e et le moyeu. Flèche de 1a. partie bombée de la j a n t e : 4 % de la largeur.
2° Déterminer, d'après les cotes du dessin, le sommet et un point de chacune des deux paraboles qui limitent un bras, puis tracer ces deux courbes. 3° Reproduire ces courbes par une rotation de 1/5 de tour.
L'HELICE
1° Application : R A M P E H E L I C O Ï D A L E (Fig. 13.) L'hélice est une courbe obtenue par enroule-ment d'une droite sur un cylindre. Pour bien mettre cette définition en évidence, nous allons réaliser une surface hélicoïdale par enroulement d'une plaque de tôle sur un cylindre.
Cet exercice, tout en indiquant un procédé de fabrication, montre aux élèves qu'une définition purement théorique de courbe trouve son
applica-tion dans la pratique. U attire leur attenapplica-tion sur un mode de construction qui ne leur est pas fami-lier : la construction soudée.
Technologie. — La r a m p e hélicoïdale est fixée
sur un plateau t o u r n a nt autour de son axe. Elle soulève une tige verticale par l'intermédiaire d'un galet appliqué sur la r a m p e par un ressort.
Le déplacement de la tige suivant son axe se divise en quatre phases par tour de l'appareil.
Première phase : Levée de la tige, déplacement 60 mlm (1/4 de tour).
Deuxième phase : Tige levée pendant 1/4 de tour. Troisième phase : Descente de la tige (60 m/m,
1/4 de tour).
Quatrième phase : Tige abaissée pendant 1/4 de tour.
Questionnaire. — Quel est le développement d'une hélice ? Comment construire ce développe-ment ? Quelle est l'opération de f o r m a g e d'un cy-lindre, à partir d'une tôle ? Comment calcule-t-on la longueur de la tôle à couper ? Comment travaille le métal pendant le cintrage ? Comment relie-t-on les extrémités de la virole ? Comment la fixe-t-on sur le plateau ? Utilité des trous de repérage.
Dessin à exécuter (thème dicté). — Représenter la rampe hélicoïdale, à l'échelle 1/2, avec les vues suivantes :
Vue de face, vue de dessous. (Fig. 14.)
Développement de la virole qui constitue ia rampe. Représenter les soudures sur le dessin.
Coter le dessin et le développement. Indiquer l'usinage.
Données. — Virole : en tôle de 10. Diamètre extérieur : 300. Hauteur m a x i m u m : 130.
P l a t e a u en tôle de 10. Diamètre extérieur : 380. Alésage : 260.
Le plateau est percé de huit trous de 13 pour liaison à une roue dentée. Il y a lieu de prévoir deux trous de repérage de 10 pour le centrage sur la roue dentée de commande.
Indications. — On ne trace que des q u a r t s
d'hé-lices, les uns à droite, les autre s à gauche. Pour déterminer les points des hélices, on divisera chaque quart de cercle en quatre parties égales.
2° Application : T R A C E D E P A T T E S
D'ARAI-G N E E S D A N S UN COUSSINET. (Fig. 15.)
Questionnaire. — Rôle du coussinet. Nécessité
du graissage.
But des pattes d'araignée. Comment exécute-t-on une rainure hélicoïdale ? Mouvement de la pièce. Mouvement de l'outil. Montage du coussinet : n a t u r e de l'ajustement. Utilité de l'empreinte. Matière em-ployée. Justifier son emploi.
Dessin à exécuter (peut être posé sous forme de thème).
Représenter à l'échelle 1 le coussinet avec les vues suivantes :
Coupe longitudinale. Vue de gauche.
H é l i c o ï d g - à g a u c h e . P : 2A-Q H f e l i c o ' i ' d g à d r o i t e . p:24-0 o <0 o L t r o u 4>10 d e r e p é r a g e 8 t r o u s
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P e H e l
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DAL E
f i g u r e 1 4T r a c e r les p a t t e s d ' a r a i g n é e s : Elles sont f o r -mées de deux r a i n u r e s hélicoïdales raccordées (on peut les m a t é r i a l i s e r p a r deux fils de f e r soudés).
1° T r a c e r les hélices m o y e n n e s ;
2° P o r t e r sur les g é n é r a t r i c e s du cylindre, de chaque côté de l'hélice moyenne, la moitié de la l a r g e u r des p a t t e s d ' a r a i g n é e . T r a c e r les courbes p a s s a n t p a r les points obtenus.
D E V E L O P P A N T E D E CERCLE
Application : T R A C E D ' U N E D E N T D ' E N G R E
-N A G E . ( F i g . 16.)
Technologie. — Roues de f r i c t i o n . P a s s e r des
roues de f r i c t i o n a u x r o u e s dentées.
Définitions. — Cercle primitif . D i a m è t r e primi -tif. P a s . E p a i s s e u r de la dent. Module. P r o p o r t i o n s des dents. Cercle de t ê t e et cercle d'évidement.
l e m p r è i f l t e
C O U S I N E T bronze, échelle 1 2
Tracé d'une dent : Ligne de pression. Angle d'action. Cercle de base. Tracé de la développante : Avec le point A pour centre et AI pour rayon, dé-crire un petit a rc de chaque côté de la ligne de pression. Avec le point 1 comme centre (1 choisi a r b i t r a i r e m e n t sur le cercle de base), tracer un arc t a n g e n t du précédent. Avec le point 2 comme centre, tracer un ar c t a n g e n t au premier. Pour terminer le tracé, 'porter l'épaisseur de la dent et reprendre le tracé précédent avec les mêmes rayons, les centres é t a n t placés sur la circonférence de base. Limiter la dent par le cercle de tête (saillie = dule) et le cercle d'évidement (creux — 1,15 mo-dule). Raccorder les développantes à ces derniers cercles par un ar c de cercle.
Dessin à exécuter :
1° Tracer la développante d'un cercle de 44 m/m
de diamètre.
Diviser le cercle en douze divisions égales. Mener les t a n g e n t e s aux points de division et porter sur ces t a n g e n t e s 1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 5/12... etc. de la longueur de la circonférence. Tracer la courbe au crayon, à main levée, en se r a p p e l a n t qu'elle est normale aux tangentes tracées précédemment.
Pour repasser à l'encre, on pourra vérifier que des arcs de cercles a y a n t pour centres les points de division coïncident avec la courbe de chaque
côté de la tangente. Le tracé à l'encre pourra être exécuté au compas avec les précautions habituelles aux points de raccordement.
\
x
Figure 16
2° Représenter une dent d'engrenage avec les données suivantes : 32 -dents, module 12. Angle d'action : 20°. Calculer les caractéristiques de la denture et en dresser le tableau.
L. FEULVARCH,
Professeur E.N.P. de Nantes.
