Mesures de ruine sur un horizon infini pour des modèles de renouvellement composés avec dépendance

Mesures de ruine sur un horizon infini pour des

modèles de renouvellement composés avec

dépendance

Résumé

La théorie de la ruine est un des domaines des sciences actuarielles où la complexité mathématique est un facteur limitant les chercheurs. Dans ce mémoire, on s'intéresse donc à des méthodes numériques permettant d'approximer diérentes quantités d'inté-rêt. Cependant, avant d'aborder le coeur du sujet, on fournit une revue de la littérature concernant la théorie de la ruine et on étudie certaines mesures de ruine en temps in-ni pour des modèles de risque où il y a dépendance entre les temps inter-sinistres et les montants de sinistre. On présente aussi les bases mathématiques nécessaires à la compréhension de ce mémoire pour toute personne ayant des connaissances de bases en science actuarielle et en statistiques. Puis, le c÷ur de ce travail, l'évaluation numérique de mesures de ruine à l'aide de trois méthodes numériques basées sur la simulation, respectivement (1) la méthode de Monte Carlo simple, (2) la méthode basée sur l'ex-pression exacte de Gerber pour la probabilité de ruine, et (3) la méthode basée sur l'échantillonnage préférentiel. Nous discuterons également de la qualité respective de chaque méthode. En particulier, nous montrerons que la méthode basée sur l'échan-tillonnage préférentiel fournit des résultats sans biais et avec une erreur relative bornée. On présentera aussi plusieurs illustrations numériques.

Abstract

Ruin theory is a eld in actuarial science where researchers are often impeded by math-ematical complexity. In this thesis, we look at some numerical methods that can be used to alleviate this problem. Before getting to the core of this work, we provide a review of the litterature concerning ruin theory and we study some innite-time ruin measures within risk models assuming dependence between interclaim times and claim amounts. We also present the mathematical background necessary to understand this memoir for anyone with a basic understanding of actuarial science and statistics. The main focus of this work is the computation of ruin measures via three dierent methods based on simulations, namely (1) the crude Monte Carlo method, (2) a variant of the previous method based on Gerber's exact expression for the ruin probability, and (3) the importance sampling method based on change of measure techniques. Another topic that is discussed is the quality of the approximation of each method. In particular, we show that the importance sampling method provides unbiased approximations for the Gerber-Shiu function and bounded relative errors. We also present numerous numerical illustrations.

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des gures xi

Remerciements xiii

Introduction 1

1 Revue de littérature sur la théorie de la ruine 3

2 Préalables mathématiques 13

2.1 Théorie de la simulation . . . 13

2.2 Martingales et temps d'arrêt . . . 14

2.3 Équation de Lundberg et expression exacte de la probabilité de ruine . 16

2.4 Changement de mesure . . . 20

3 Méthodes numériques d'estimation de mesures de ruine 31

3.1 Méthode Monte Carlo simple . . . 31

3.2 Méthode basée sur l'expression exacte de Gerber pour ψ (u) . . . 33

3.3 Méthode d'échantillonnage préférentiel par changement de mesure . . . 36

4 Applications numériques 39

4.1 Distributions bivariées de type mélange . . . 39

4.2 Distribution gamma bivariée Cheriyan - Ramabhadran - Mathai - Mo-schopoulos (CRMM) . . . 44

4.3 Distribution exponentielle bivariée Raftery . . . 47

4.4 Distribution bivariée avec copule FGM et marginales exponentielles . . 52

4.5 Distribution bivariée avec copule AMH et marginales exponentielles . . 55

4.6 Distribution exponentielle bivariée Moran-Downton . . . 57

A Code R selectionne 63

Liste des tableaux

4.1 Cas considérés pour le mélange ni bivarié de distribution gamma . . . 43

4.2 Paramètres considérés pour le mélange ni bivarié de distribution gamma . 43

4.3 Probabilités de ruine obtenues pour le mélange ni bivarié de distribution gamma. . . 44

4.4 Résultats obtenus pour la distribution gamma bivariée CRMM . . . 46

4.5 Résultats obtenues pour la distribution gamma bivariée CRMM - 2 . . . . 47

4.6 Résultats obtenues pour la distribution gamma bivariée CRMM - 3 . . . . 47

4.7 Résultats obtenus pour la distribution exponentielle bivariée Raftery - 1 . . 51

4.8 Résultats obtenus pour la distribution exponentielle bivariée Raftery - 2 . . 51

4.9 Résultats obtenus pour la distribution exponentielle bivariée Raftery - 3 . . 52

4.10 Résultats obtenus pour la distribution exponentielle bivariée Raftery - 4 . . 52

4.11 Résultats obtenus pour la distribution bivariée avec copule FGM et margi-nales exponentielles - 1 . . . 55

4.12 Résultats obtenus pour la distribution bivariée avec copule FGM et margi-nales exponentielles - 2 . . . 55

4.13 Résultats obtenus pour la distribution bivariée avec copule FGM et margi-nales exponentielles - 3 . . . 55

4.14 Résultats obtenus pour la distribution exponentielle bivariée Moran-Downton - 1 . . . 60

4.15 Résultats obtenus pour la distribution exponentielle bivariée Moran-Downton - 2 . . . 60

Liste des gures

Remerciements

J'aimerais tout d'abord remercier mes deux superviseurs Etienne Marceau et Hélène Cossette. Sans leur temps, leur patience et leur support ce projet aurait été impossible. J'aimerais aussi remercier les diérents membres de l'École d'actuariat qui ont contribué à mon succès de près ou de loin. En particulier, le professeur Julien Trun avec qui il m'a fait plaisir de collaborer.

Je souhaite aussi remercier le directeur de l'École d'actuariat, Denis Latulippe, qui m'a oert l'occasion d'être chargé de cours pendant mes études.

J'aimerais aussi remercier chaleureusement les diérents organismes subventionnaires qui m'ont aidé nancièrement durant les dernières années. Premièrement, le CRSNG pour m'avoir accordé une bourses de recherche de premier cycle, m'ayant permis de m'initier à la recherche en actuariat très tôt. Ensuite, l'École d'actuariat pour la bourse d'admission aux études graduées. Finalement, Intact Assurance pour leur bourse pour étudiant gradué en sciences actuarielles.

Merci à la Society of Actuaries et à l'école d'actuariat de m'avoir permis d'aller à l'Actuarial Research Conference 2013 à Philadelphie pour présenter mes résultats. Finalement, j'aimerais remercier tous mes proches qui m'ont soutenu pendant ma maî-trise. Tout particulièrement ma famille : Patrice, Liette, William et Léa, qui ont et seront toujours là pour moi. De plus, je veux remercier Samuel Perreault et Jean-Philippe Le Cavalier, deux collègues et amis avec qui il m'a fait plaisir de travailler. Finalement, j'aimerais remercier quelques amis proches : Emma Grenier, Jean-Félix Dubé, Maxime St-Pierre et Antoine Savard-Sévigny, qui m'ont remonté le moral à bien des occasions. Finalement, merci à Carol-Anne Garon d'avoir partagé cette dernière année avec moi.

Introduction

Les sciences actuarielles sont une discipline relativement récente bien que les bases de l'assurance soient quand à elles très anciennes. Les principales théories en actuariat ont été développées en grande partie dans le dernier siècle. De plus, avec l'amélioration de l'informatique, entre autres, on remarque une progression rapide dans un grand nombre de domaines en actuariat. Un des ces domaines est la théorie de la ruine où la complexité mathématique est souvent un facteur limitant les chercheurs. Cependant, en utilisant des ordinateurs pour des approximations numériques ou encore des simulations, du progrès est encore fait continuellement dans ce domaine.

Dans ce mémoire, on commencera par faire un survol de ce qui a été fait en théorie de la ruine en ce concentrant sur ce qui a trait aux modèles de renouvellement composés avec dépendance. Une attention particulière sera donnée aux modèles où la dépendance est entre les temps inter-sinistres et les montants de sinistres.

Ensuite, on présente les bases mathématiques nécessaires à la compréhension de ce mé-moire pour toute personne ayant des connaissances de bases en science actuarielle et en statistiques. Il sera question de martingales et de temps d'arrêt, de l'équation de Lund-berg et de l'expression exacte de Gerber pour la probabilité de ruine, de changements de mesure.

Le troisième chapitre présente le c÷ur de ce travail, soit l'évaluation numérique de me-sures de ruine à l'aide de trois méthodes numériques basées sur la simulation, respec-tivement (1) la méthode de Monte Carlo simple, (2) la méthode basée sur l'expression exacte de Gerber pour la probabilité de ruine, et (3) la méthode basée sur l'échan-tillonnage préférentiel. Nous discuterons également de la qualité respective de chaque méthode. En particulier, nous montrerons que la méthode basée sur l'échantillonnage préférentiel fournit des résultats sans biais et avec une erreur relative bornée.

Dans le dernier chapitre, plusieurs modèles seront observés. Pour ces modèles, on utilise les méthodes présentées au chapitre 3 pour évaluer diverses mesures de risques dont la probabilité de ruine.

Finalement, dans les annexes on présente quelques exemples de code R pour la simula-tion et l'évaluasimula-tion de mesures de risque.

Chapitre 1

Revue de littérature sur la théorie de

la ruine

La théorie de la ruine est un domaine des sciences actuarielles dont le but est de modéliser le surplus d'un portefeuille d'assurance par un processus stochastique, U = {U (t) , t ≥ 0}, où le surplus au temps t est donné par

U (t) = u + ct − S (t) ,

où U (0) = u est le surplus initial. Le taux de prime c est déni de telle sorte qu'il inclut un chargement positif an que la ruine ne soit pas presque certaine. On tient aussi compte de S (t), le montant total des sinistres agrégés au temps t. L'objectif d'une telle modélisation est de calculer diérentes mesures de ruine (par exemple la probabilité de ruine ou l'espérance de la valeur actualisée du décit à la ruine) an d'évaluer quantitativement le risque d'un portefeuille d'assurances et ainsi pouvoir comparer plusieurs risques entre eux.

Filip Lundberg, en 1903, et Harald Cramér, environ 30 ans plus tard, ont proposé le premier modèle à avoir été sérieusement étudié, le modèle Poisson composé, aussi dit de Cramér-Lundberg. L'idée de leur modèle est de modéliser le comportement du sur-plus d'un assureur par deux ux monétaires. Le premier, les revenus de primes, entre continûment à un taux xe. Le deuxième, le versement des prestations, est aléatoire et ponctuel. La simplicité mathématique de ce modèle permet d'obtenir de nombreux résultats explicitement. Dans ce modèle, le processus du montant total des sinistres agré-gés, S = {S (t) , t ≥ 0}, où S (t) = PN (t)

i=1 Xi



b < a =⇒Pb

de Poisson composé (voir p. ex. Rolski et coll. (1999)). Le processus du nombre de si-nistres, N = {N (t) , t ≥ 0}, est un processus de Poisson et donc les temps inter-sisi-nistres, {Wj, j ∈ N+}, forment une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement

distribuées de loi exponentielle, où Wj représente le temps entre le (j − 1)e et le je

si-nistre (W1 est le moment du premier sinistre). Les variables aléatoires {Wj, j ∈ N+}

sont distribuées comme la variable aléatoire canonique W avec fonction de densité de probabilité fW(t) = λe−λt et fonction de répartition FW (t) = 1 − e−λt. On peut

inter-préter 1

λ comme étant le temps moyen entre deux sinistres. Le moment où survient le j e

sinistre est noté Tj = W1+ ... + Wj. Les variables aléatoires des montants des sinistres

{Xj, j ∈ N+}, où Xj est le montant du je sinistre, sont supposées indépendantes,

posi-tives et distribuées identiquement à la variable aléatoire canonique X avec fX comme

fonction de densité de probabilité et FX comme fonction de répartition.

Le temps de la ruine en sachant que le surplus initial est u, noté τu, est déni comme le

premier temps où U (t) < 0 et τu = ∞si U (t) ≥ 0, ∀t ≥ 0. Bien que ce ne soit pas la

seule dénition possible de la ruine, cette dernière est de loin la plus commune et elle est simple à interpréter. Tomber en ruine signie, dans ce cas, que le niveau de surplus passe sous zéro. La probabilité de ruine sur un horizon de temps inni ψ (u) est donc

ψ (u) = P ({U (T1) < 0} ∪ {U (T2) < 0} ∪ ...) ,

qui peut être exprimée en fonction du temps de la ruine ψ (u) = P (τu < ∞) .

Une autre approche fréquemment utilisée pour dénir ψ (u) est celle utilisant la perte cumulée. Le processus de perte, L = {Lj, j ∈ N+}, où Lj = Xj− cWj est la perte nette

lors du je _{sinistre avec L}

j ∼ L, pour k ∈ N+. La marche aléatoire de la perte nette

cumulée est V = {Vj, j ∈ N}, où V0 = 0 et

Vj = j

X

i=1

Li, j ∈ N+.

Comme mentionné précédemment, le taux de prime inclut un chargement positif, c'est-à-dire respecte l'inégalité E [cW − X] > 0. Le taux de prime c peut donc être exprimé comme (1 + η) E[X]

E[W ], où η > 0 est le chargement de sécurité. Compte tenu du chargement

positif, la dérive de V est négative. Le processus de la perte nette cumulée maximum associé à V est déni par Z = {Zj, j ∈ N} où Zj = max

La probabilité de ruine est donc équivalente à la probabilité que la perte maximum cumulée dépasse le surplus initial, soit

ψ (u) = P (max {V1, V2, ...} > u)

= P (Z∞ > u) .

Il est aussi possible d'étudier la probabilité de ruine sur un horizon ni ψn(u) =

P (τu < n) où n est l'horizon de temps considéré.

Dans le modèle Poisson composé, en utilisant des techniques de résolution d'équations intégro-diérentielles, il est possible d'obtenir une équation pour la probabilité de non-ruine φ (u) = 1 − ψ (u)

φ (u) = φ (0) + λ c Z u 0 φ (u − x) (1 − FX(x)) dx, (1.1) où φ (0) = η

1+η. Dans le cas particulier du modèle Poisson composé où la distribution de

X est exponentielle de paramètre β, alors il est possible de simplier (1.1) en la forme suivante

φ (u) = 1 − 1 1 + ηe

−βη/(1+η)

.

Pour les autres distributions de sinistres, il est aussi possible de retravailler (1.1) pour obtenir l'équation de Beekman-Pollaczek-Khinchin

φ (u) = ∞ X n=0 η 1 + η  1 1 + η n G∗n(u) , où G∗n_{(x) est la n-ième convolution de G (x) = R}x

0

1−FX(y)

E[X] dy avec elle même. La

fonction de répartition G (x) est celle de la variable aléatoire représentant le montant de décit lors de la ruine en sachant qu'il y a eu ruine et que le surplus initial est de zéro. Une interprétation intuitive de l'équation de Beekman-Pollaczek-Khinchin est donc que la probabilité de non-ruine peut être vu comme la somme de toutes les combinaisons où le parcours de surplus passe n fois sous son point le plus bas, mais que la somme des n décits est moins grande que le surplus initial. On peut consulter Rolski et coll. (1999) pour les détails.

En 1957, E. Sparre Andersen, propose une extension au modèle classique. Dans le ce nouveau modèle, dit de Sparre-Andersen, le processus du montant des sinistres agré-gés, S = {S (t) , t ≥ 0}, où S (t) = PN (t)

i=1 Xi



b < a =⇒Pb

Figure 1.1: Exemple de parcours de surplus

0

5

10

15

20

−2

0

2

4

6

8

Un exemple de parcours de surplus

Temps

Sur

plus

renouvellement composé (voir p. ex. Rolski et coll. (1999)). Il s'agit donc d'une généra-lisation du modèle Poisson composé puisque le modèle de Sparre-Andersen relâche la contrainte que la distribution des temps inter-sinistres soit exponentielle.

Le processus du nombre de sinistres, N = {N (t) , t ≥ 0}, est un processus de renou-vellement où les temps inter-sinistres, {Wj, j ∈ N+}, forment une suite de variables

aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, où Wj représente temps entre le

(j − 1)e et le je sinistre (W1 est le moment du premier sinistre). Les variables aléatoires

{Wj, j ∈ N+} sont distribuées comme la variable aléatoire canonique W avec fonction

de densité de probabilité fW et fonction de répartition FW. Le moment où survient le

je _{sinistre est déni comme dans le modèle Poisson composé. Les variables aléatoires}

des montants des sinistres {Xj, j ∈ N+}, où Xj est le montant du je sinistre, sont

supposées indépendantes, positives et distribuées identiquement à la variable aléatoire canonique X avec fX comme fonction de densité de probabilité et FX comme fonction

de répartition. Le temps de la ruine en sachant que le surplus initial est u, noté τu,

est déni comme le premier temps où U (t) < 0. Dans ce modèle, il n'est pas possible d'utiliser la propriété d'absence de mémoire de la loi exponentielle pour obtenir des

résultats. La formule pour la probabilité de non-ruine est donc φ (u) = Z ∞ 0 Z u+ct 0 φ (u + ct − x) dFX  dt, (1.2)

et ne peut pas être simpliée davantage sans l'ajout d'hypothèses supplémentaires. La solution en (1.2) est obtenue en conditionnant sur le temps et le montant du premier sinistre.

Dans les deux modèles précédents, l'équation de Lundberg

Ees(X−cW ) = 1 (1.3) et sa généralisation

Ee−δWes(X−cW ) = 1 (1.4) sont des équations fondamentales à la théorie de la ruine. La solution en s à (1.3) est appelée coecient d'ajustement ou coecient de Lundberg et est notée ρ. Le coecient de Lundberg est notamment utilisé dans le calcul de la borne exponentielle de Lundberg

P(τ < ∞) ≤ e−ρu, u ≥ 0

et dans l'expression exacte de Gerber pour la probabilité de ruine P(τ < ∞) = e

−ρu

E[e−ρU_τu|τ

u < ∞]

. (1.5)

On note que le coecient de Lundberg peut donner une idée du niveau de dangerosité d'un portefeuille. En eet, plus ρ est grand, moins le portefeuille est dangereux. Voir p. ex. Gerber (1979), Rolski et coll. (1999) et Asmussen et Albrecher (2010) pour les détails. La solution à (1.4), le coecient d'ajustement généralisé ρδ, est surtout utilisée

dans l'étude de la fonction Gerber-Shiu (voir p. ex. Cheung et coll. (2010b) pour une discussion sur l'utilité de ρδ).

Dans les modèles classiques (modèle Poisson composé et modèle de Sparre-Andersen), l'indépendance entre les temps inter-sinistres et les montants de ces sinistres est sup-posée, voir p. ex. Gerber (1979). Cette hypothèse simplicatrice a permis l'obtention d'un grand nombre de résultats. En particulier, l'expression exacte pour la probabilité de ruine dans le modèle Poisson composé et l'expression équivalente pour le modèle de Sparre-Andersen sont connues (voir p. ex. Gerber (1979), Seal (1969) et Sparre et Andersen (1957)).

Plus récemment, Gerber et Shiu (1998) ont proposé la fonction Gerber-Shiu (ou la "fonction de pénalité actualisée espérée Gerber-Shiu"),

mδ(u) = Ee−δτuw U τu−
, |U (τu)|
1{τu<∞}|U (0) = u ,

où δ est la force d'intérêt. La fonction de pénalité w est une fonction du surplus juste avant la ruine, U (τ−

u), et du décit à la ruine, |U (τu)|. La fonction Gerber-Shiu permet

donc l'analyse de plusieurs quantités d'intérêt comme la probabilité de ruine et les espérances du temps de la ruine, de la valeur actualisée du décit à la ruine et du surplus juste avant la ruine. En eet, si δ = 0 et que la fonction de pénalité prend toujours la valeur 1 (w (x1, x2) = 1, ∀x1 ≥ 0, x2 ≥ 0), alors la fonction Gerber-Shiu

se simplie à E 1{τu<∞}|U (0) = u = ψ (u). Un autre cas intéressant survient lorsque

δ ≥ 0 et que w (x1, x2) = 1, ∀x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Dans ce cas, la fonction Gerber-Shiu

devient

Gδ(u) = Ee−δτu1{τu<∞}|U (0) = u ,

ce qui peut être interprété comme la valeur actualisée de un dollar payable au moment de la ruine ou la transformée de Laplace du temps de la ruine. Un dernier cas intéressant survient lorsque δ ≥ 0 et que la fonction de pénalité ne dépend que du décit à la ruine (w (U (τ−

u ) , |U (τu)|) = w2(|U (τu)|)). Dans ce cas, la fonction Gerber-Shiu devient

mδ,2(u) = Ee−δτuw2(|U (τu)|) 1{τu<∞}|U (0) = u ,

un cas particulier qui est notamment étudié par Cheung et coll. (2010). Dans leur article, Gerber et Shiu se sont intéressés au modèle Poisson composé, mais leur fonction éponyme a été largement étudiée dans les dernières années. Par exemple, Willmot (2007) et Landriault et Willmot (2008) se sont intéressés au cas du modèle de Sparre-Andersen en assumant une distribution arbitraire pour le temps inter-sinistres. De même, Gerber et Shiu (2005) généralisent leurs précédents travaux au cas du modèle Sparre-Andersen où la distribution du temps inter-sinistres est une somme de n variables aléatoires exponentielles indépendantes, mais pas nécessairement identiquement distribuées. Le cas particulier où les variables aléatoires sont i.i.d. est le cas Erlang (n) qui a aussi été étudié par Li et Garrido (2004). Li et Garrido (2005) ont obtenu des résultats pour des temps inter-sinistres appartenant à la famille Kn(famille de distributions pour lesqelles

la transformée de Laplace de leur fonction de densité de probabilité est un ration de deux polynomes d'au plus le degré n), qui inclut donc comme cas particuliers les modèles de Gerber et Shiu (1998) (modèle Poisson composé), de Li et Garrido (2004) et de Gerber

et Shiu (2005). Willmot (2007) étudie le comportement de la fonction Gerber-Shiu dans le modèle de Sparre-Andersen. Une attention particulière est portée aux cas où la distribution de X est exponentielle ou mélange d'Erlang. Dans ces cas, l'utilisation de l'équation de renouvellement impropre permet d'obtenir les moments de la valeur actualisée du décit à la ruine.

L'hypothèse d'indépendance entre les temps inter-sinistres et les montants de sinistres n'est cependant pas raisonnable dans plusieurs contextes, en particulier celui de l'avè-nement de catastrophes. Plusieurs articles ont donc investigué diérentes mesures de ruine dans des modèles permettant cette dépendance. Albrecher et Boxma (2004) ont considéré un modèle où la dépendance entre les temps inter-sinistres et les montants de sinistres est introduite via des seuils aléatoires. Selon ce modèle, lorsqu'un sinistre est supérieur à un seuil aléatoire, alors la distribution du temps avant le prochain sinistre est exponentielle de paramètre λ1, sinon elle est exponentielle de paramètre λ2. Pour

ce modèle, les auteurs trouvent une formule explicite pour la transformée de Laplace de la probabilité de non-ruine et en déduisent une expression pour la probabilité de non-ruine dans certains cas. Les auteurs proposent aussi d'autres modèles dans lesquels il serait possible d'appliquer leur méthode et concluent avec l'étude de l'impact de la dépendance sur la probabilité de non-ruine. Ils montrent clairement que le fait de ne pas considérer la dépendance mène à une sous-estimation ou à une sur-estimation de la probabilité de survie selon si la dépendance est positive ou négative.

Un des modèles avec dépendance les plus étudiés est celui où les couples {(Xj, Wj), j ∈

N+}forment une suite de vecteurs aléatoires indépendants et identiquement distribués comme (X, W ) dans lequel X et W peuvent être dépendants. La fonction de densité conjointe de (X, W ) est notée fX,W(x, t)avec (x, t) ∈ (R+)2 et la fonction de répartition

conjointe est notée FX,W(x, t). De plus, on suppose que la fonction génératrice des

moments conjointe de (X, W ), notée MX,W(s1, s2) = Ees1Xes2W = Z ∞ 0 Z ∞ 0 es1x_es2t_f X,W(x, t)dxdt (s1, s2 > 0) ,

existe. La transformée de Laplace conjointe de (X, W ) est donnée par b fX,W(s1, s2) = Ee−s1Xe−s2W = Z ∞ 0 Z ∞ 0 e−s1x_e−s2t_f X,W(x, t) dx dt (s1, s2 > 0) .

Dans ce modèle, le temps de la ruine, τ, est encore déni comme le premier temps où le surplus est plus petit que zéro. On a que τ = ∞ si le surplus ne passe jamais sous zéro

(c'est-à-dire qu'il n'y a pas ruine). Les autres caractéristiques du modèle sont celles du modèle Sparre-Andersen indépendant.

Albrecher et Teugels (2006) ont considéré un cas particulier du modèle présenté ci-haut où la dépendance entre les temps inter-sinistres et les montants de sinistres est arbi-traire et introduite à l'aide de copules. Les auteurs abordent la copule d'indépendance, la copule comonotone, la copule antimonotone, les copules linéaires positive et néga-tive de Spearman et une variété de copules archimédiennes. Dans ce travail, à l'aide d'une méthode basée sur la marche aléatoire des pertes, l'accent est mis sur l'ana-lyse du comportement du coecient de Lundberg et l'approximation, via la borne de Crámer-Lundberg, de la probabilité de ruine. De plus, comme la dangerosité d'un por-tefeuille d'assurance est reété dans le coecient de Lundberg, les auteurs peuvent, dans une certaine mesure, comparer des risques entres eux. Albrecher et Teugels (2006) n'abordent cependant pas les cas où une ou les deux distributions marginales sont subexponentielles.

Ambagaspitiya (2009) s'intéresse à deux modèles en particulier, soit le modèle où la distribution bivariée des temps inter-sinistres et des montants de sinistres est la loi bivariée gamma de Kibble-Moran et le modèle où la distribution bivariée des temps inter-sinistres et des montants de sinistre est la loi bivariée gamma de Cheriyan et Ramabhadran. Voir, p. ex., Kotz et coll. (2000) pour une référence sur les deux lois en question. Pour ces deux modèles, l'auteur dérive des expressions explicites pour la probabilité de ruine à l'aide de la factorisation de Wiener-Hopf.

Plusieurs autres auteurs se sont penchés sur le modèle Sparre-Andersen avec dépen-dance, mais avec des hypothèses diérentes. En eet, le cas où la distribution conjointe est une distribution "phase-type" bivariée est traité par Badescu et coll. (2009), les-quels utilisent un parallèle qu'il est possible de faire entre la mécanique des uides et un processus de risque. Les auteurs arrivent à en dériver des expressions pour diverses mesures de ruine, comme la probabilité de ruine et la fonction Gerber-Shiu lorsque la fonction de pénalité ne dépend que du surplus juste avant la ruine.

La copule Farlie-Gumbel-Morgenstern et sa généralisation ont souvent été utilisées pour introduire de la dépendance dans les deux modèles classiques à cause de leur grande sim-plicité mathématique. Cossette et coll. (2008) arrivent, pour une extension du modèle

Poisson composé où une dépendance est introduite dans les couples (Xj, Wj) à l'aide

de la copule FGM généralisée, à une expression pour la transformée de Laplace de la fonction Gerber-Shiu. Dans le cas où les montants de sinistre ont des distributions ex-ponentielles, les expressions pour la probabilité de ruine et la valeur actualisée du décit à la ruine sont explicites. Cossette et coll. (2010) trouvent les expressions équivalentes dans le cas où la dépendance est introduite via la copule FGM traditionnelle, mais avec une démarche diérente. Bargès et coll. (2011) travaillent sur le même modèle, mais s'in-téressent à la distribution du montant total des sinistres escomptés. Plus précisément, les auteurs trouvent des équations pour le premier, le deuxième et, plus généralement, le nième moment de cette distribution. Chadjiconstantinidis et Vrontos (2012) étudient le cas où la distribution marginale du temps inter-sinistres est Erlang(n) plutôt qu'ex-ponentielle. On rappelle que l'exponentielle est le cas particulier Erlang(1). Ils arrivent à une expression pour la transformée de Laplace de la fonction Gerber-Shiu. Puis, ils examinent le cas u = 0 et les distributions des montants actualisés du surplus juste avant la ruine et du décit à la ruine. Dans le cas où la loi de X est exponentielle, les auteurs du papier trouvent des formes explicites pour la fonction Gerber-Shiu et donc pour les distributions mentionnées précédemment. Yong et Xiang (2012) s'intéressent à une autre généralisation du cas étudié par Cossette et coll. (2010). Dans leur modèle, la distribution marginale du temps inter-sinistres est une somme de deux variables aléa-toires exponentielles indépendantes, mais pas nécessairement de même paramètre. Sous ces hypothèses, Yong et Xiang obtiennent une équation integro-diérentielle pour la fonction Gerber-Shiu et l'utilisent pour trouver une expression pour la transformée de Laplace de cette fonction. Encore une fois, le cas où la distribution des montants de sinistre est exponentielle est traité. La raison pour laquelle tant d'auteurs portent une attention particulière à ce cas particulier est sa simplicité mathématique qui permet d'obtenir des formes explicites pour diverses mesures de risque, ce qui est bien souvent impossible sous d'autres hypothèses.

Très récemment, des chercheurs ont étudié des généralisations intéressantes à la fonction Gerber-Shiu. Cheung et coll. (2010a) proposent que la fonction de pénalité puisse être fonction du surplus immédiatement après l'avant-dernier sinistre. Dans le cas du modèle Poisson composé classique, les auteurs obtiennent et étudient la distribution marginale du dernier temps inter-sinistres avant la ruine et obtiennent sa distribution conjointe avec le sinistre causant la ruine. Cheung et coll. (2010b) généralisent leurs précédents

résultats au modèle de Sparre-Andersen avec dépendance et où la fonction de pénalité de la fonction Gerber-Shiu généralisée peut aussi dépendre du surplus minimum avant la ruine. La fonction Gerber-Shiu généralisée qu'ils proposent est donnée par

χδ,1234(u) = Ee−δτuw1234 U τu−
, |U (τu)| , A1,σu, A2,σu
1{τu<∞}|U (0) = u ,

où A1,σu est le surplus immédiatement après l'avant-dernier sinistre et A2,σu est le

surplus minimum avant la ruine. Dénie ce cette façon, la fonction de pénalité permet aussi l'étude du montant du sinistre ayant causé la ruine (|U (τu)| + A1,σu). Dans le

cas Sparre-Andersen classique (sans dépendance) et avec X ∼ Exp (λ), Cheung et coll. (2010b) obtiennent une expression explicite pour χδ,1234(u). Cossette et coll. (2015)

suggèrent A3,σu, le maximum des montants de sinistre, et A4,σu, la somme des montants

de sinistre jusqu'à la ruine, comme quantités d'intérêt qui pourraient être étudiées par une fonction Gerber-Shiu généralisée.

Chapitre 2

Préalables mathématiques

2.1 Théorie de la simulation

Comme toutes les méthodes qui seront présentées au Chapitre 3 reposent sur la simu-lation, il semble donc logique de faire un survol des théories de bases dans ce domaine. Dans cette section, on suppose qu'un générateur de nombres aléatoires (ou pseudo-aléatoires) uniformes sur [0, 1] est disponible. La méthode de base, pour simuler des réalisations d'une distribution dont la fonction de répartition est connue, est nommée la méthode inverse. Elle utilise le lemme suivant

Lemme 1. Soit une variable aléatoire dont la fonction de répartition est FX. Alors,

FX(X) ∼ U nif (0, 1) .

Preuve. Ce Lemme est simple à prouver dans le cas où la v.a. X est continue. En eet, on a FFX(X)(x) = P (FX(X) ≤ x) = P FX−1(FX(X)) ≤ FX−1(x)
= P X ≤ FX−1(x)
= FX FX−1(x)
= x.  Du lemme 1, on obtient facilement que F−1

X (U ) a la même loi que X. C'est ce

réalisation pseudo-aléatoire d'une uniforme standard U(i)_{, on obtient une réalisation}

X(i) _{= F}−1 X U(i)

de la loi de X. On note que lorsqu'il est impossible d'inverser FX(x),

il est possible d'utiliser des outils informatiques pour inverser numériquement la fonc-tion de répartifonc-tion.

2.2 Martingales et temps d'arrêt

Comme certains résultats liés aux martingales seront utilisés plus loin, il semble utile d'en faire une brève description ici. De manière informelle, une martingale est un pro-cessus stochastique, c'est-à-dire une suite de variables aléatoires, pour lequel l'espérance du processus au temps t en sachant toutes les observations jusqu'à un temps s < t est égale à l'observation au temps s. Les martingales peuvent être en temps discret ou en temps continu. Plus formellement :

Dénition 1. Soit X, un processus stochastique. On dira que X est une martingale si les propriétés suivantes sont vériées :

1. X est adapté au processus stochastique Y , 2. E [|Xt|] < ∞, ∀t,

3. E [Xt|{Yτ, τ ≤ s} ] = Xs, ∀s ≤ t.

Il est à noté qu'il est possible de rendre la troisième propriété plus générale avec l'usage du concept de ltration, où l'on note la ltration associée au ne _{temps par z}

n :

3. E [Xt|zs] = Xs, ∀s ≤ t.

Il existe aussi des variantes sur les martingales, les sur-martingales et les sous-martingales. Les dénitions de ces dernières sont les mêmes que celle d'une martingale ordinaire à l'exception de la troisième propriété. Dans le cas d'une sur-martingale, on a :

3. E [Xt|zs] ≤ Xs, ∀s ≤ t;

et dans le cas d'une sous-martingale on a : 3. E [Xt|zs] ≥ Xs, ∀s ≤ t.

Remarque 1. Tout processus stochastique X est adapté à lui même, donc Y peut être X. Si X est adapté à un autre processus stochastique Y , alors X est dit être une martingale adaptée à Y .

Remarque 2. On peut voir la dernière propriété d'une sur-martingale comme une dé-rive négative pour le processus. Dans le cas d'une sous-martingale, la troisième propriété sera plutôt interprétée comme une dérive positive.

Un concept important relié aux martingales est celui du temps d'arrêt qui est déni ci-dessous.

Dénition 2. Un temps d'arrêt T , par rapport à une martingale X, est une variable aléatoire pour laquelle la réalisation au temps t ne dépend que de X1, X2, ..., Xt (ou

{Xs, 0 ≤ s ≤ t}, dans le cas continu).

En termes simples, on doit savoir si on doit arrêter le processus au temps n avec les informations disponibles au temps n (sans information sur le futur). Un exemple couramment donné est que "le temps où l'on a le plus d'argent" n'est pas un temps d'arrêt (nécessite de l'information sur le futur), alors que "le temps où l'on a plus d'argent qu'avant" est un temps d'arrêt. Plus mathématiquement, on peut avoir la dénition suivante :

Dénition 3. Une variable aléatoire T prenant des valeurs dans R ∪ {∞} est appelé un temps d'arrêt si {T = n} ∈ zn pour tout n ≥ 0.

L'utilité des temps d'arrêt par rapport aux martingales est présenté dans le théorème suivant :

Théorème 1. (Théorème d'arrêt de Doob) Soit X, une martingale, et T , un temps d'arrêt. On a que E [XT] = E [X0]si au moins une des conditions suivantes est vériée :

1. T est borné, c'est-à-dire que T ≤ c presque sûrement pour une certaine constante c;

2. E [T ] < ∞ et pour un certain K ∈ R+_{, |X}

n− Xn−1| ≤ K presque sûrement, ∀n ;

3. T < ∞ et X est borné, c'est-à-dire que |Xn| ≤ c pour tout n ≤ T et une certaine

Preuve. Des propriétés des martingales, on sait que E Xmin(T ,n) = E [X0] pour tout

n et que E Xmin(T,n)− X0 = 0 pour une martingale X. Alors, on obtient le résultat

désiré dans le premier cas en prenant n = c. Dans les deux derniers cas, on utilise le théorème de convergence dominée sur Xmin(T,n)− X0 et on laisse tendre n vers l'inni.

Pour une preuve plus détaillée voir Williams (1991) ou Ladd (2011). 

Ce théorème sera très utile dans la suite de ce travail.

2.3 Équation de Lundberg et expression exacte de la

probabilité de ruine

En utilisant la théorie sur les martingales présentée précédemment, il est possible de faire la preuve de certains des résultats donnés au chapitre 1.

Pour obtenir l'équation de Lundberg, nous considérons le processus en temps discret implicite au processus en temps continu U. Dénissons U = {fe U_k, k = 0, 1, 2, ...}, où f

U0 = uetUf_k = U (T_k) dénote le surplus directement après le ke sinistre, c'est-à-dire f Uk = u + k X j=1 (cWj− Xj), pour k ∈ N+. (2.1)

Proposition 1. Le processus Z = {fe Z_k, k = 0, 1, 2, ...}, avec Ze_k = e−ρ eUk, est une martingale si et seulement si ρ, le coecient d'ajustement (ou de Lundberg), est la solution pour s > 0 de (1.3).

Preuve. Pour prouver que Ze est une martingale il sut de vérier les trois proprié-tés de la dénition donnée plus haut. De l'expression de Ze, on constate facilement que le processus est adapté à la ltration engendrée par la suite de vecteurs aléatoires {(Xk, Wk) , k = 1, 2, ...}. En eet, la connaissance des réalisations de la suite de

la deuxième propriété, nous avons E h  Zek    i = Eh e −ρ eUk    i = Ehe−ρ eUk i = E h e−ρ(u+Pkj=1(cWj−Xj) i = Ee−ρuE h e−ρPkj=1(cWj−Xj)i = Ee−ρu Yk j=1Ee −ρ(cWj−Xj) = Ee−ρu Yk j=1Ee ρ(Xj−cWj) = Ee−ρu Yk j=1MX,W(ρ, −ρc) = Ee−ρu < ∞,

car le coecient de Lundberg ρ est la solution à (1.3). Pour la troisième propriété, nous avons E h e Zk+1   Zek i = E h e−ρ eUk+1   Zek i = Ehe−ρ( eUk+cWk+1−Xk+1)   Zek i = EhZe_ke−ρ(cWk+1−Xk+1)   Zek i = eZkE h eρ(Xk+1−cWk+1)   Zek i = eZkEeρ(Xk+1−cWk+1) Étant donné (1.3), on obtient

E h e Zk+1   Zek i = eZk.

Le processus Ze est donc bien une martingale. De plus, si Ze est une martingale, alors ρ est forcément la solution à (1.3), car il s'agit de la seule façon d'obtenir la dernière

égalité pour la troisième propriété. 

Comme mentionné dans le Chapitre 1, il est possible d'obtenir une borne supérieure exponentielle pour la probabilité de ruine sur un horizon inni à l'aide du coecient d'ajustement, ρ, et du montant de surplus initial, u. En eet, on a le théorème suivant.

Théorème 2. (Borne exponentielle de Lundberg) Une borne supérieure pour la proba-bilité de ruine sur un horizon inni est donnée par

ψ(u) ≤ e−ρu, u ≥ 0. (1.3)

Preuve. La preuve peut se faire par induction. Premièrement, il est évident que lim

k→∞ψk(u) =

ψ (u), où ψk(u) correspond à la probabilité de ruine avant ou au k-ième sinistre.

En-suite, nous savons que ψ0(u) = 0 ≤ e−ρu. Comme la ruine ne peut survenir que lors

d'un sinistre, en supposant que

ψTk(u) ≤ e

−ρu

, (2.2)

on doit prouver que

ψTk+1(u) ≤ e

−ρu _{∀u ≥ 0. (2.3)}

En conditionnant sur le temps et le montant du premier sinistre et en utilisant les hypothèses du modèle, on peut écrire

ψTk+1(u) = ∞ Z 0 ∞ Z 0 ψTk(u + ct − x) dFX,W (x, t) ≤ ∞ Z 0 ∞ Z 0 e−ρ(u+ct−x)dFX,W(x, t) = e−ρu ∞ Z 0 ∞ Z 0 e−ρ(ct−x)dFX,W(x, t) = e−ρuMX,W (ρ, −ρc) = e−ρu.  On peut obtenir une expression exacte pour la probabilité de ruine sur un horizon inni en utilisant les résultats provenant de la théorie des martingales. Plus spéciquement, en considérant que le temps de la ruine est un temps d'arrêt, une méthode qui est principalement due au professeur H.U. Gerber.

Proposition 2. L'expression exacte pour la probabilité de ruine sur un horizon inni est la suivante, lorsque ρ existe,

ψ(u) = e

−ρu

E[e−ρUτu|τ

u < ∞]

pour u ≥ 0.

Preuve. Soit Z = {Zt, t ≥ 0} où Zt = e−ρUt, t ≥ 0. On sait déjà que Z est une

martingale par rapport à la ltration engendrée par la suite de vecteurs aléatoires (W , x) grâce à Ze. On considère le temps de la ruine, un temps d'arrêt, τ_u. Comme la variable aléatoire τu n'est pas bornée, nous travaillerons plutôt avec le temps borné min(n, τu),

avec n → ∞, car nous cherchons à calculer la probabilité de ruine sur un horizon inni. De la théorie des martingales, on sait que

EZmin(n,τu) = E [Z0] = e

−ρu

.

De plus, en conditionnant sur le moment de la ruine (avant ou après n) on peut écrire EZmin(n,τu) = E Zmin(n,τu)|τu ≤ n



P (τu ≤ n) + EZmin(n,τu)|τu > n



P (τu > n) .

On peut réécrire le deuxième terme comme suit EZmin(n,τu)|τu > n



P (τu > n) = EZmin(n,τu)× 1{τu>n} .

Par le théorème de la convergence dominée, on obtient lim n→∞EZmin(n,τu)× 1{τu>n} = E h lim n→∞Zmin(n,τu)× 1{τu>n} i = 0. Ainsi, on a e−ρu= lim n→∞EZmin(n,τu)|τu ≤ n  P (τu ≤ n) + 0 = E [Zτu|τu < ∞ ] P (τu < ∞) ,

d'où l'on déduit facilement

P (τu < ∞) = e−ρu E [Zτu|τu < ∞ ] = e −ρu E [e−ρUτu|τ_u < ∞ ].

Il est possible de retravailler cette dernière égalité pour obtenir plusieurs expressions exactes équivalentes pour la probabilité de ruine sur un horizon inni

e−ρu E [e−ρUτu|τ u < ∞ ] = e −ρu E [e−ρueρVτu|τ u < ∞ ] = 1 E [eρVτu|τ_u < ∞ ]. 

Remarque 3. Il est parfois possible d'avoir une expression concrète et utilisable pour le terme au dénominateur de l'équation (??), E e−ρUτu_|τ

u < ∞



(ou, de manière équi-valente, pour E eρVτu_|τ

u < ∞



). Cependant, dans les autres cas, quand le coecient d'ajustement ρ existe, l'équation (??) peut être utilisée pour évaluer la probabilité de ruine sur un horizon inni à l'aide de la simulation de Monte Carlo.

Remarque 4. Le résultat de cette proposition fournit une approche qui permet de déduire l'inégalité de Lundberg, ψ(u) ≤ e−ρu_{. En eet, comme U}

τu < 0, car il y a ruine,

alors E e−ρUτu_|τ

u < ∞ ≥ 1. En insérant ce résultat dans (??), on obtient le résultat

désiré.

2.4 Changement de mesure

Une autre technique mathématique importante qui sera utilisée dans les chapitres sui-vants est le changement de mesure. Comme son nom l'indique, cette technique permet de remplacer la distribution d'une variable aléatoire par une autre qui accorde plus de poids aux réalisations d'intérêt. L'avantage de la méthode est qu'il est possible d'ajus-ter les poids dans le calcul de l'espérance d'une fonction de la variable aléatoire et d'obtenir la même valeur. Cette méthode est particulièrement utile pour évaluer dié-rentes quantités reliées à des événements très peu probables. Comme les probabilités de ruine diminuent lorsque le surplus initial augmente, le changement de mesure est utile, notamment, pour évaluer les probabilités de ruine lorsque u est très grand. De plus, les changements de mesure permettent d'obtenir des expressions exactes pour ψ (u) et mδ(u) qui peuvent être évaluées relativement simplement en utilisant la simulation.

Lorsqu'on utilise la simulation en combinaison avec un changement de mesure, on parle d'échantillonnage préférentiel.

On note immédiatement que dans la suite de ce travail, le  tilde  utilisé au-dessus d'une variable aléatoire désignera la variable aléatoire éponyme, mais sous une nouvelle mesure. Alors que le tilde utilisé au-dessus d'une mesure désignera tout simplement la nouvelle mesure. Pour une mesure P associée à la variable aléatoire X, on utilisera la notation P associée à la variable aléatoire ee X pour indiquer la nouvelle mesure. Ainsi,

e

X aura la même dénition que X à l'exception que P (A) →P (A) ,e ∀A ∈ zX.

Pour plus d'informations sur les changements de mesure et leurs applications en si-mulation, voir, entre autres, Rolski et coll. (1999), Glasserman (2003), Pham (2007),

Sigman (2007).

Avant de dénir le changement de mesure, il est utile de présenter la martingale de Wald (voir p. ex. Asmussen et Albrecher (2010)).

Dénition 4. Soit la suite Y = {Yk, k = 1, 2, ...} de variables aléatoires indépendantes

et identiquement distribuées. On dénit la marche aléatoire R = {Rk, k = 0, 1, 2, ...}

avec Rn = R0 + Y1 + ... + Yn. Pour tout α tel que MY (α) < ∞, la suite LW =

LW n , n = 0, 1, 2, ... avec LW_n = e α(Y1+Y2+...+Yn) MY (α) n = eα(Y1+Y2+...+Yn)−n ln MY(α) = eα(Y1+Y2+...+Yn)−nκM(α)_,

où κM(α) est la fonction génératrice des cumulants de M, est une martingale, plus

précisément la martingale de Wald.

Preuve. Pour prouver que LW _{est une martingale il sut de vérier les trois propriétés}

de la dénition donnée précédemment. De l'expression de LW_{, on constate facilement}

que le processus est adapté à la ltration engendrée par la suite Y . Pour la deuxième propriété, nous avons

ELWk   = E "     eα(Y1+Y2+...+Yk) MY (α) k      # = E " eα(Y1+Y2+...+Yk) MY (α) k # = Ee α(Y1+Y2+...+Yk) MY (α) k = 1 < ∞.

Pour la troisième propriété, nous avons ELWk+1|{Y1, ..., Yn} = eα(Y1+Y2+...+Yk) MY (α)k Eeα(Yk+1) MY (α) = e α(Y1+Y2+...+Yk) MY (α)k = LW_k .

Le processus LW _{est donc bien une martingale. }

Remarque 5. Pour un temps d'arrêt τ, comme E  sup n≤τ eα(Y1+Y2+...+Yn) MY (α)n  < ∞,

du théorème1, on sait que

E

 eα(Y1+Y2+...+Yτ)

MY (α)τ

 = 1.

Comme dans Asmussen et Albrecher (2010), Williams (1991) ou Jacod et Protter (2003), un changement de mesure est déni comme suit.

Dénition 5. Soit z = {zt, t = 0, 1, 2, ...} la ltration engendrée par Y . Pour un

processus stochastique L, nommé le processus du ratio des vraisemblances ou la dérivé de Radon-Nikodym, on dénit les probabilités sous la nouvelle mesure comme

e

P (A) = E [LtIA] , A ∈ zt, (2.5)

lorsque L est une martingale non-négative telle que E [Lt] = 1.

Remarque 6. On nomme L le processus du ratio des vraisemblances, car il peut être interprété comme

dF_Xe(X) dFX(X)

Ainsi, on peut écrire l'espérance d'une fonction de X comme E [g (X)] = ∞ Z −∞ g (x) dFX (x) = ∞ Z −∞ g (x)dFXe(x) dF_Xe(x)dFX(x) = ∞ Z −∞ g (x)dFX(x) dF_Xe(x)dFXe(x) = ∞ Z −∞ g (x) 1 Lt dF_Xe(x) = e_E  g (X) 1 Lt  ,

où E [·] est l'espérance calculée avec les probabilités sous la nouvelle mesure et Fe

e X est la

fonction de répartition de X sous la nouvelle mesure. De plus, des résultats classiques des martingales, on sait que l'on peut remplacer le temps déterministe t par un temps d'arrêt τ et que l'égalité sera préservée. Cette dernière égalité sera le fondement de la méthode basée sur le changement de mesure puisque le temps de la ruine est un temps d'arrêt.

Proposition 3. Si L est une martingale non-négative telle que E [Lt] = 1alors il existe

une mesure de probabilité unique eP telle que (2.5) soit respectée.

Preuve. Soit P (A) = ee P_t(A) = E [L_tI_A] , A ∈ z_t et s ≤ t. Comme L_t≥ 0 et que e Pt(A) = E [LtIA] = E [E [LtIA|zs]] = E [IAE [Lt|zs]] = E [IALs] = e_Ps(A) , on a l'unicité de la mesure eP. 

Selon la martingale utilisée pour le changement de mesure, on obtient des mesures diérentes. Le cas le plus intéressant dans le cadre de ce travail est lorsque L est la martingale de Wald. Dans ce cas, on parlera de changement de mesure exponentiel. Asmussen et Albrecher (2010) (ou encore Williams (1991)) énoncent une propriété intéressante de cet outil qui est donnée dans la remarque suivante.

Remarque 7. Un changement de mesure exponentiel d'une marche aléatoire corres-pond à une nouvelle marche aléatoire pour laquelle la distribution des sauts FY (x) est

changée pour F e Y (x) = x R −∞ eαy_{dF (y)} MY (α) . Preuve. Si L est une martingale de Wald, on a que

e Ex[ n Y i=1 fi(Yi)] = Ex[ n Y i=1 fi(Yi)eαYi 1 MY (α) ] = n Y i=1 1 MY (α) Ex[fi(Yi)eαYi] = n Y i=1 Z fi(y) fdF (y)],

d'oùF (x) = E [h(Y )I(Y ≤ x)] = Ee eαY −κ(α)I(Y ≤ x) = e−κ(α) Rx

−∞e

αy_{dF (y).}

De cette dernière remarque, on peut voir que de trouver la distribution d'une variable aléatoire après un changement de mesure exponentiel est relativement simple pour certaines distributions. Ces distributions sont celles pour lesquelles la dérivée de la fonction de répartition est proportionnelle à l'exponentiel d'une fonction du point en lequel elle est évaluée (c'est-à-dire dF (x) ∝ eg(x)_).

Un résultat intéressant lié au temps d'arrêt pour les changements de mesure exponen-tiels est donné dans la proposition suivante.

Proposition 4. Pour une martingale de Wald et un temps d'arrêt τ < ∞, la remarque

5 est équivalente à eP (τ < ∞) = 1.

Preuve. Comme dans Asmussen et Albrecher (2010), posons Z = LW_τ = eαXτ−τ κ(α) _{= e}αXτ−τ κ(α)_I

En prenant l'espérance des termes aux extrémités, on obtient E [Z] = EeαXτ−τ κ(α)I{τ <∞}



= e_{P (τ < ∞) .}

Finalement, comme on sait que E [Z] = 1, on obtient que P (τ < ∞) = 1.e

 Cette dernière proposition contient l'explication mathématique de l'intérêt qu'a le chan-gement de mesure exponentiel dans le calcul de la probabilité de ruine. En eet, on sait que le temps de la ruine est un temps d'arrêt. Donc si l'on fait un changement de me-sure exponentiel sur la distribution de L = (X − cW ), on obtient une nouvelle marche aléatoire pour la perte nette cumulée sous la nouvelle mesure V = ee Vj, j ∈ N, où

e V0 = 0 et e Vj = j X i=1 e Li, j ∈ N+.

Remarque 8. Cette marche aléatoire a une dérive positive et, donc, est certaine d'at-teindre u. Ainsi, il est possible de simuler un parcours du surplus jusqu'à la ruine, à tout coup, ce qui n'était pas le cas sous la mesure initiale. Dans le prochain chapitre, on présente une méthode tirant avantage de ce résultat.

Cependant, le changement de mesure basé sur la suite de variables aléatoires L des pertes nettes n'est pas assez rané pour obtenir mδ(u). En eet, comme mentionné

dans l'Exemple 4.6.3 of Glasserman (2003), l'information contenu dans la forme de Lk = Xk− cWk est perdu avec cette technique. La structure des marginales et de leur

dépendance sont aussi ignorées. Conséquemment, inspiré du cadre multivarié présenté dans Glasserman (2003, section 4.6.1), on considère une seconde approche basée sur la séquence {(Xk, Wk) , k ∈ N+} de montants de sinistre et de temps inter-sinitres. Cette

nouvelle approche possède l'avantage de toujours contenir toute l'information des mon-tants de sinistre et des temps inter-sinitres, et pas seulement des sauts dans la marche aléatoire L. Ceci permet de dériver une expression exacte pour mδ(u)sous une nouvelle

mesure de probabilité où la ruine est certaine.

Pour simplier la présentation du reste de cette section, supposons que (X1, W1), ..., (Xn, Wn)

est toujours possible de faire un changement de variable pour se ramener à la si-tuation où c = 1. Il n'y a donc aucune perte de généralité. Par l'indépendance des couples de v.a. (X1, W1), ..., (Xn, Wn), la fonction de densité de probabilité conjointe de

(X1, W1, ..., Xn, Wn) est évidemment fX1,W1,...,Xn,Wn(x1, t1, ..., xn, tn) = n Y i=1 fXi,Wi(xi, ti) = n Y i=1 fX,W (xi, ti) .

Notre objectif est d'évaluer E [φ (X1, W1, ..., Xn, Wn)], obtenu par

Z ∞ 0 Z ∞ 0 ... Z ∞ 0 Z ∞ 0 φ (x1, t1, ..., xn, tn) fX1,W1,...,Xn,Wn(x1, t1, ..., xn, tn) dx1dt1... dxndtn, (2.6) où φ est une fonction pour laquelle l'espérance existe.

Soit la fonction de densité de probabilité conjointe de (X1, W1, ..., Xn, Wn) sous la

nou-velle mesure de probabilité P(r)_{, noté f}(r)

X1,W1,...,Xn,Wn, donnée par

f_X(r)

1,W1,...,Xn,Wn(x1, t1, ..., xn, tn) = e

rPn

i=1xi−rPni=1ti−δPni=1ti−nΓ(r)_f

X1,W1,...,Xn,Wn(x1, t1, ..., xn, tn) ,

(2.7) où Γ (r) = ln E er(X−W )−δW

en supposant Γ (r) < ∞ pour des valeurs de r 6= 0. En utilisant (2.7), E [φ (X1, W1, ..., Xn, Wn)]devient Z ∞ 0 Z ∞ 0 ... Z ∞ 0 Z ∞ 0 φ (x1, t1, ..., xn, tn) fX1,W1,...,Xn,Wn(x1, t1, ..., xn, tn) dx1dt1... dxndtn = Z ∞ 0 Z ∞ 0 ... Z ∞ 0 Z ∞ 0 φ (x1, t1, ..., xn, tn) f_X(r) 1,W1,...,Xn,Wn(x1, t1, ..., xn, tn) erPn

i=1xi−rPni=1ti−δPi=1n ti−nΓ(r) dx1dt1... dxndtn

= E(r)hφ (X1, W1, ..., Xn, Wn) e−r Pn i=1Xi+r Pn i=1Wi+δ Pn i=1Wi+nΓ(r) i = E(r)φ (X1, W1, ..., Xn, Wn) e−rVn+δTn+nΓ(r) . (2.8)

Sous cette nouvelle approche, la ration de vraisemblance correspond à R (X1, W1, ..., Xn, Wn) =

f_X(r)

1,W1,...,Xn,Wn(X1, W1, ..., Xn, Wn)

fX1,W1,...,Xn,Wn(X1, W1, ..., Xn, Wn)

= erPni=1Xi−rPi=1n Wi−δPni=1Wi−nΓ(r)_.

Étant donné que σu est un temps d'arrêt et (2.8), on a

Eφ (X1, W1, ..., Xσu, Wσu) 1{σu<∞} = E (r)_{φ (X} 1, W1, ..., Xσu, Wσu) e −rVσu+δTσu+σuΓ(r)₁ {σu<∞} . (2.9)

La proposition suivante fournit l'expression pour mδ(u) sous la nouvelle mesure de

probabilité P(ρδ).

Proposition 5. Supposons que ρδ existe pour δ ≥ 0 et que σu est le numéro du sinistre

causant la ruine. On a donc

mδ(u) = E(ρδ)w (Xσu− Vσu+ u, Vσu− u) e −ρδVσu = e−ρδu_E(ρδ)w (X σu − Vσu+ u, Vσu− u) e −ρδ(Vσu−u) = e−ρδu_E(ρδ)w U τ− u
, |U (τu)|
eρδU (τu) . (2.10)

Preuve. Dans (2.9), on pose

φ (x1, t1, ..., xσu, tσu) = e −δPσu j=1tj_{w x} σu− σu X j=1 (xj − tj) + u, σu X j=1 (xj− tj) − u !

de telle sorte que

mδ(u) = Ee−δτuw U τu−
, |U (τu)|
1{τu<∞}  = E " e−δPσuj=1Wj_{w X} σu− σu X j=1 (Xj − Wj) + u, σu X j=1 (Xj − Wj) − u ! 1{σu<∞} # = Ee−δTσu_{w (X} σu− Vσu+ u, Vσu− u) 1{σu<∞}  = E(ρδ)e−δTσu_{w (X} σu− Vσu+ u, Vσu− u) 1{σu<∞}e −ρδVσu+δTσu+σuΓ(ρδ) .(2.11)

La marche aléatoire V a une dérive positive sous la nouvelle mesure de probabilité P(ρδ)

et donc σu < ∞ ou, de manière équivalente, 1{σu<∞} = 1{τu<∞} = 1. Alors, comme

Γ (ρδ) = 0 selon (1.4), (2.11) devient mδ(u) = Ee−δτuw U τu−
, |U (τu)|
1{τu<∞}  = E(ρδ)w (X σu− Vσu+ u, Vσu− u) e −ρδVσu = e−ρδu_E(ρδ)w (X σu − Vσu+ u, Vσu− u) e −ρδ(Vσu−u) = e−ρδu_E(ρδ)w U τ− u
, |U (τu)|
eρδU (τu) .  Asmussen et Albrecher (2010) obtiennent ce résultat dans le cadre moins générale du modèle de risque Poisson composé et Schmidli (2010) dans le cadre du modèle de risque de Sparre-Andersen. L'approche proposé ici est une preuve diérente pour le même résultat.

La proposition 5 fournit une méthode intuitive pour obtenir les bornes exponentielles de Lundberg pour ψ (u), Gδ(u), et mδ(u).

Corolaire 1. Sous la Proposition5, on a les bornes suivantes pour ψ (u) et Gδ(u) :

ψ (u) ≤ e−ρ0u (2.12)

et

Gδ(u) ≤ e−ρδu. (2.13)

De plus, si w (x, y) est borné, nous obtenons aussi une borne pour mδ(u),

mδ(u) ≤ sup x,y≥0

{w (x, y)} e−ρδu_. (2.14)

Preuve. Les inégalités dans (2.12), (2.13) et (2.14) découlent de (2.10) et du fait que U (τu) < 0.

Le Lemme suivant sera utile pour trouver la distribution conjointe de (X, W ) sous la nouvelle mesure de probabilité P(ρδ).

Lemme 2. Sous la nouvelle mesure de probabilité P(ρδ), la fonction génératrice des

moments conjointe de (X, W ) est donnée par M(ρδ) X,W (r1, r2) = MX,W (r1+ ρδ, r2− (ρδ+ δ)) . Preuve. On a M(ρδ) X,W (r1, r2) = E(ρδ)er1Xer2W  = EeρδX_e−(ρδ+δ)W_e−Γ(ρδ)_er1X_er2W = EeρδX_e−(ρδ+δ)W_er1X_er2W = MX,W(r1+ ρδ, r2− (ρδ+ δ)) .

Dans certains cas, le résultat dans la Proposition 5 peut être utilisé pour obtenir une expression explicite de mδ(u). Un cas tel est présenté dans l'exemple suivant.

Exemple 1. Soit W et X des variables aléatoires indépendantes. De plus, on suppose que X ∼ Exp (β) et c = 1. Sous la nouvelle mesure de probabilité P(ρδ), on a que

e

X ∼ Exp (β − ρδ). On peut aussi obtenir que

 e Vσu− u



∼ Exp (β − ρδ)(voir Schmidli

(2010, Exemple 1)). Si w (x, y) = w2(y), on a

mδ,2(u) = e−ρδuE(ρδ)[g (Vσu− u) exp (−ρδ(Vσu− u))] = e

−ρδu

Z ∞

0

g (y) e−ρδy_{(β − ρ}

En particulier, quand w2(y) = 1, on obtient Gδ(u) = (β−ρδ) β e −ρδu. De plus, si w 2(y) = y, mδ,2(u) = (β−ρ_β2δ)e −ρδu. 

Proposition 6. On suppose que ρδ existe et que la fonction de pénalité w est continue.

Dans ce cas, il existe une constante Cδ > 0 telle que

mδ(u) ∼ Cδe−ρδu, pour u → ∞.

Preuve. La preuve est inspirée de celle de la Proposition XII.2.10 dans Asmussen et Albrecher (2010), qui est elle-même basée sur des résultats de la théorie des processus de renouvellement. Pour simplier la présentation, on suppose que la paire de variables aléatoires (X, W ) sont continues. On dénit m∗

δ(u) avec

m∗_δ(u) = mδ(u) eρδu = E(ρδ)w U τu−
, |U (τu)|
eρδU (τu) .

Dans ce qui suit, on note la fonction de densité conjointe de U τ−

0
, |U (τ0)|

sous la nouvelle mesure de probabilité P(ρδ) par f(ρδ)

U₍τ₀−₎,|U (τ0)|(x, y). On a donc m∗_δ(u) = Z u 0 Z ∞ 0 m∗_δ(u − y) f(ρδ) U(τ₀−),|U (τ0)| (x, y) dx dy + Z ∞ u Z ∞ 0 w (x + u, y − u) e−ρδ(y−u)_f(ρδ) U(τ₀−),|U (τ0)| (x, y) dx dy. (2.15)

Dénissons maintenant la fonction de densité de probabilité et la fonction de répartition de |U (τ0)| sous P(ρδ) par f(ρδ) |U (τ0)|(x) = Z ∞ 0 f(ρδ) U(τ₀−),|U (τ0)| (x, y) dx (2.16) et F(ρδ)

|U (τ0)| est la fonction de répartition du décit à la ruine. En combinant (2.15) et

(2.16) on obtient m∗_δ(u) = Z u 0 m∗_δ(u − y) f(ρδ) |U (τ0)|(y) dy + Z ∞ u Z ∞ 0 w (x + u, y − u) e−ρδ(y−u)_f(ρδ) U(τ₀−),|U (τ0)| (x, y) dx dy, (2.17) qui est une équation de renouvellement de la forme

m∗_δ(u) = m∗_δ∗ f(ρδ) |U (τ0)|(u) + a (ρδ)_{(u) ,} avec a(ρδ)_{(u) =} Z ∞ u Z ∞ 0 w (x + u, y − u) e−ρδ(y−u)_f(ρδ) U(τ₀−),|U (τ0)| (x, y) dx dy.

Ensuite, en appliquant le théorème de renouvellement (voir p. ex. le Théorème 6.1.10 of Rolski et al. (1999)) pour trouver la solution de l'équation de renouvellement (2.17), on obtient lim u→∞m ∗ δ(u) = R∞ 0 a (ρδ)_{(u) du} R∞ 0  1 − F(ρδ) |U (τ0)|(y)  dy = Cδ. (2.18)

On note que ce résultat est vrai si a(ρd) est directement Riemann-intégrable. De plus,

pour avoir ρδ > 0, la fonction génératrice des moments de la distribution des montants

de sinistre doit exister, de même que celle de U τ− 0

et |U (τ0)|. Il se trouve donc

que a(ρd) est directement Riemann-intégrable. On remarque que le dénominateur dans

(2.18) est ni puisque tous les moments de |U (τ0)| existent. Finalement, on note que

Chapitre 3

Méthodes numériques d'estimation de

mesures de ruine

Dans ce chapitre, les algorithmes de simulation des diérentes méthodes de calcul de mesures de ruine sont examinés. Les algorithmes présentés dans ce chapitre seront ceux utilisés dans les exemples numériques du prochain chapitre accompagnés, lorsque possible, des résultats théoriques an de valider la justesse des diérentes méthodes. La méthode Monte Carlo simple ("crude Monte Carlo" ou CMC) sera la première abordée. Puis, suivra une variante de cette méthode basée sur l'expression exacte de Gerber de la probabilité de ruine. Finalement, une méthode basée sur le changement de mesure sera présentée.

3.1 Méthode Monte Carlo simple

La méthode la plus simple et intuitive pour simuler la probabilité de ruine, ψ (u), est probablement la méthode Monte Carlo simple (voir p. ex. Asmussen et Albrecher (2010), Chapitre 15). L'idée derrière la méthode est de simuler un nombre xé de parcours du processus de surplus et de calculer le ratio du nombre de parcours menant à la ruine sur le nombre de parcours simulés. Ce ratio correspond évidemment à l'approximation de la probabilité de ruine dans ce cas. Cependant, pour certains parcours le niveau de surplus, U (t), tendra vers l'inni lorsque t tend vers l'inni sans que le parcours ne soit tombé en ruine. Un critère doit donc être xé pour éviter que la simulation entre dans une boucle innie. Deux critères sont proposés. Premièrement, on peut simuler

chaque parcours jusqu'à un nombre xé de sinistres n. Les avantages principaux de ce critère sont qu'il est facile à implémenter dans la programmation et qu'il permet un bon contrôle du temps de simulation. Par contre, il est possible que le niveau du surplus soit très près de zéro après le nombre xé de sinistres n. Ainsi, la ruine pourrait survenir dans les prochains sinistres alors arrêter le parcours n'est pas souhaitable. Pour régler cet inconvénient, un autre critère peut être utiliser, simuler jusqu'à ce que le surplus passe au-dessus d'une barrière xée. L'inconvénient principal de ce critère est que le temps de simulation devient impossible à contrôler (il est possible qu'un parcours reste entre zéro et la barrière très longtemps avant d'être absorbé par une des barrières). Dans cet ouvrage, le premier critère seulement sera utilisé.

Soit ψn(u), la probabilité qu'il y ait ruine avant ou lors du n-ième sinistre. Comme

lim

n→∞ψn(u) = ψ (u) , (3.1)

on peut facilement justier l'utilisation du premier critère si le nombre de sinistres simulés dans un parcours est susamment grand. La méthode d'estimation consiste donc à estimer ψ (u) par ψn(u), lui même estimé par des simulations de Monte Carlo

en utilisant l'algorithme suivant. L'ajout de la lettre en exposant (j) sert à désigner la

j-ième réalisation de parcours du processus de surplus.

Algorithme 1. 1. Générer nX_k(j), W_k(j), k = 1, 2, ..., no.

2. Calculer les parcours nT_k(j), k = 1, 2, ..., no, nV_k(j), k = 1, 2, ..., no, n

Z_k(j), k = 1, 2, ..., no, and nU(j)T_k(j), k = 1, 2, ..., no. 3. Si pour un parcours la ruine est observée, alors assigner

σu(j)= infk∈{1,2,...,n} n k, Z_k(j)> uo et τu(j)= T_σ(j) k . Sinon, assigner σ(j) u = ∞ et τu(j)= ∞.

4. Répéter les étapes précédentes m fois, c'est-à-dire pour j = 1, ..., m.

L'approximation de ψn(u)est donnée par

ψ_nCM C,m(u) = 1 m m X j=1 1n σ(j)u ≤n o = 1 m m X j=1 1n Z(j)n >u o = 1 m m X j=1 1n τu(j)≤Tn(j) o,

où 1n

τu(j)≤Tn(j)

o = 1 si la ruine a été observée après un des n premiers sinistres lors

du j-ième parcours du processus de surplus. Par la loi des grands nombres et (3.1), ψCM C,m

n (u) converge vers ψ (u), lorsque n et m deviennent grands. La méthode Monte

Carlo simple a une variance de σ2

Z = ψ(u)(1 − ψ(u)), qui tend vers zéro lorsque u → ∞.

Par contre, comme ψ (u) est très petit pour des valeurs élevées de surplus initial, l'erreur σZ est considérablement plus grande que ψ (u), ce qui se traduit par

σZ

ψ(u) =

pψ(u)(1 − ψ(u))

ψ(u) → ∞ pour u → ∞.

Ceci est dû au fait que le nombre de parcours menant à la ruine diminue lorsque u augmente. Donc, la méthode CMC donne une estimation de la probabilité de ruine dont l'erreur relative n'est pas bornée. De plus, cette méthode introduit un biais puisqu'elle approxime ψn(u) qui est plus petit que ψ (u), puisque le fait qu'un parcours n'est pas

fait ruine dans les n premiers sinistres n'implique pas que le parcours ne fera jamais ruine. De plus, lorsque u augmente, ψ (u) diminue de telle sorte que n doit être xé susamment grand pour que le nombre de ruine observée puisse être signicatif. Par exemple, si ψ (50) = 0.005 et que m = 100, il est impossible d'obtenir une estimation ψCM C,100_n (50) avec deux chires signicatifs exacts.

De manière similaire, il est possible d'approximer mδ(u)par une méthode Monte Carlo

simple via la quantité mCM C,m_δ (u; n) = 1 m m X j=1 e−δτu(j)_w  X(j) σu(j) − V(j) σu(j) + u, V(j) σ(j)u − u1n σ(j)u ≤n o.

Selon la loi des grands nombres, mCM C,m

δ (u; n) converge vers mδ(u), lorsque n et m

deviennent grands.

3.2 Méthode basée sur l'expression exacte de Gerber

pour ψ (u)

Une alternative à la méthode précédente pour l'estimation de ψ (u) réside dans l'ex-pression exacte de Gerber pour la probabilité de ruine (1.5). Dans certains cas, une expression analytique pour le dénominateur, E[e−ρ0U (τu)_|τ

u < ∞], est disponible

per-mettant ainsi de calculer facilement les probabilités de ruine. Cependant, dans la ma-jorité des cas, le comportement du dénominateur, E[e−ρ0U (τu)_|τ

étudier explicitement. Lorsque le coecient de Lundberg ρ0 existe, l'expression (1.5)

peut quand même être utilisée pour évaluer la probabilité de ruine via des simulations Monte Carlo.

L'algorithme 1 permet d'identier les parcours pour lesquels la ruine a été observée et d'approximer E e−ρ0U (τu)_|τ

u < ∞



par la moyenne empirique de e−ρ0U (τu) calculée

seulement sur ces parcours. L'approximation du dénominateur est donc donné par ξ (u; ρ0, n, m) = Pm j=1e −ρ0U(j)(τ(j))1 n σ(j)u ≤n o Pm j=11n_σ(j) u ≤n o , permettant l'approximation de ψ (u) suivante

ψ_nG,m(u) = e

−ρ0u

ξ (u; ρ0, n, m)

. (3.2)

Il est possible d'écrire l'équation (3.2) comme suit

ψ_nG,m(u) = e−ρ0u 1 m Pm j=11nσ(j)u ≤n o 1 m Pm j=1e −ρ0U(j)  τu(j)  1n σ(j)u ≤n o = ψCM C,m_n (u) × ζ (u; ρ0, n, m) , (3.3) où ζ (u; ρ0, n, m) = e−ρ0u 1 m Pm j=1e −ρ0U(j)  τu(j)  1n σu(j)≤n o .

Le terme ζ (u; ρ0, n, m)dans (3.3) semble corriger le biais présent dans l'approximation

ψ_nCM C,m(u). Cependant, le problème de l'erreur relative persiste, lim

u→∞ σZ

ψ(u) = ∞, de

même que le problème du nombre de parcours nécessaires lorsque u augmente. À la connaissance de l'auteur, la méthode basée sur l'expression exacte de Gerber pour ψ (u)ne peut pas être généralisée pour mδ(u). Une raison qui contribue à cela est que

lorsque δ est diérent de 0, le processusZen'est pas une martingale. Une autre méthode est donc nécessaire pour obtenir une alternative à la méthode Monte Carlo simple pour mδ(u).

3.2.1 Intervalle de conance pour la méthode basée sur

l'expression exacte de Gerber

On s'intéresse aussi à la précision et à la qualité de l'approximation résultant de notre méthode numérique. En eet, comme les calculs sont eectués par simulation, on peut

déterminer un intervalle de conance pour notre approximation. Pour y parvenir, on a recours à la méthode delta.

Soit mruines, le nombre de ruines, i.e.

m_ruines =

m

X

j=1

1{τ(j)_<∞}.

Comme ξ(u; ρ, n, m) est un estimateur de E e−ρU (τu)_|τ

u < ∞



, on sait que √

m_{ruines(ξ(u; ρ, n, m) − E}e−ρU (τu)_|τ

u < ∞) → N (0, σ2

E[e−ρU (τu)|τu<∞]).

Proposition 7. La distribution asymptotique de ψ(u) est donnée par √

m_ruines( eψ(u; ρ, n, m) − ψ(u)) → N (0, σ2

E[e−ρU (τu)|τu<∞]× e−2ρu E [e−ρU (τu)|τ u < ∞ ] 4). Preuve. On a que ψ(u) = e −ρu E [e−ρU (τu)|τ u < ∞ ] = g(E e−ρU (τu)_|τ u < ∞),

ce qui, à l'aide de la méthode delta (voir théorème 15.6 de Klugman et coll. (2008)) avec g(x) = e−ρu x et θ = E e −ρU (τu)_|τ u < ∞  , implique √

m_ruines( eψ(u; ρ, n, m) − ψ(u)) → N (0, σ2

E[e−ρU (τu)|τu<∞][g 0 (θ)]2) → N 0, σ2 E[e−ρU (τu)|τu<∞]× e−2ρu E [e−ρU (τu)|τ u < ∞ ] 4 ! .  Pour appliquer la proposition 7, on estime E e−ρU (τu)_|τ

u < ∞



par ξ(u; ρ, n, m) et σ2

E[e−ρU (τu)|τu<∞] par

1 m_ruines− 1 m X j=1  e−ρU (j) τ (j)1 {τ(j)_<∞}− ξ(u; ρ, n, m) 2 .

On obtient une approximation de la distribution asymptotique de ψ(u) par la loi nor-male, ce qui nous permet de calculer un intervalle de conance de la manière habituelle pour une distribution normale. C'est-à-dire que pour un niveau de certitude, α, nous aurons l'intervalle suivant

ψ(u) ∈ eψ(u; ρ, n, m) ± Zα/2 r σ2 E[e−ρU (τu)|τu<∞] × e−2ρu E[e−ρU (τu)|τu<∞] 4 √ m_ruines . (3.4)