#5 Dérivées de fonctions de plusieurs variables

(1)

5. D´

eriv´

ees de fonctions de plusieurs

variables

MTH1101

C. Audet, G. Jomphe, S. Le Digabel Polytechnique Montr´eal

A2019

(2)

Plan

1. Dérivées partielles 2. Approximations linéaires 3. Différentielle

4. Différentiabilité 5. Dérivation en chaˆıne 6. Dérivée directionnelle

7. D´eveloppement de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables

(3)

1. D´eriv´ees partielles

2. Approximations lin´eaires 3. Diff´erentielle

(4)

Fonction de une variable

I Soit f une fonction de une variable d´efinie de R dans R

I Lad´eriv´ee de f au point x0∈ R est

f0(x0) =

df

dx(x0) = limh→0

f (x0+ h) − f (x0)

h (si cette limite existe)

I f0(x0) est aussi appel´e le taux de variationou la pente de la tangente au graphe en x0

I On peut approcher f0(x0) par l’expression suivante o`u h est

petit (d´eriv´ee amont) :

f0(x0) '

f (x0+ h) − f (x0)

(5)

Fonction de deux variables

I Soit f une fonction de deux variables d´efinie de R2 _{dans R}

I Les d´eriv´ee partielles de f au point (x0, y0) = x0∈ R2 sont

       ∂f ∂x(x0) = ∂ ∂xf (x0) = fx(x0) = lim_h→0 f (x0+h,y0)−f (x0) h ∂f ∂y(x0) = ∂ ∂yf (x0) = fy(x0) = lim_h→0 f (x0,y0+h)−f (x0) h

(6)

Fonction de deux variables : D´

eriv´

ees secondes

I D´eriv´ees secondes :

       ∂2_f ∂x2(x0) = ∂ ∂x ∂f ∂x(x0) = _∂x∂ (fx(x0)) = fxx(x0) ∂2_f ∂x∂y(x0) = ∂ ∂x ∂f ∂y(x0) = _∂x∂ (fy(x0)) = fyx(x0)

Mˆeme logique pour fyy et fxy

I Si f et ses dérivées sont continues, alors les dérivées mixtes sont égales : fxy(x0) = fyx(x0) I Matrice hessienne de f en (x0) : H(x0) = ∇2f (x0) = fxx(x0) fyx(x0) fxy(x0) fyy(x0) ∈ R2×2 (symétrique)

(7)

Fonction de n variables

I Soit f une fonction de n variables d´efinie de Rn dans R

I Soit x = (x1, x2, . . . , xn)

I Les n d´eriv´ees partielles de f en x sont, pour i = 1, 2, . . . , n : ∂f ∂xi (x) = lim h→0 f (x1, x2, . . . , xi−1, xi+ h, xi+1, . . . , xn) − f (x) h

I Le gradientest le vecteur des d´eriv´ees partielles :

∇f (x) = ∂f ∂x1 (x), ∂f ∂x2 (x), . . . , ∂f ∂xn (x)

(8)

Exemples 1 et 2

1. Donner le gradient de f (x, y) = cos 5x3y2− xy3_{, puis}

∇f (1, 0)

2. Donner le gradient et la matrice hessienne de f (x, y) = x2_{− y}2_{, puis exprimer-les en 0}

(9)

Approximation des d´

eriv´

ees partielles

Méthode des différences finies illustrée sur une fonction de deux variables, selon un petit déplacement en x noté ∆x :

I Dérivée amont : fx(x0) ' f (x0+ ∆x, y0) − f (x0) ∆x I Dérivée aval : fx(x0) ' f (x0) − f (x0− ∆x, y0) ∆x I Dérivée centrée : fx(x0) ' f (x0+ ∆x, y0) − f (x0− ∆x, y0) 2∆x

(10)

Approximation des d´

eriv´

ees : Avec une table

On dispose des 4 valeurs suivante de f (x, y) :

x1 x2

y1 v1 v2

y2 v3 v4

Les d´eriv´ees amont donnent :

I ∂f_∂x(x1, y1) ' f (x1+∆x,y_∆x1)−f (x1,y1) = f (x2,y_x1₂)−f (x_−x₁ 1,y1) = _xv2₂−v_−x1₁ I ∂2_f ∂y∂x(x1, y1) = ∂fx ∂y(x1, y1) ' fx(x1,y1+∆y)−fx(x1,y1) ∆y ' fx(x1,y2)− h v2−v1 x2−x1 i y2−y1 ' h v4−v3 x2−x1 i −hv2−v1 x2−x1 i y2−y1 I De mˆeme : _∂x∂y∂2f (x1, y1) ' h v4−v2 y2−y1 i −hv3−v1 y2−y1 i x2−x1 I On n’a pas fxy(x) = fyx(x)

(11)

Approximation des d´

eriv´

ees : Avec des courbes de

niveau

(12)

1. Dérivées partielles 2. Approximations linéaires

3. Différentielle 4. Différentiabilité 5. Dérivation en chaˆıne 6. Dérivée directionnelle

(13)

Approximation lin´

eaire

Motivation : Approximer, en un point, une fonction quelconque par une autre plus simple telle une droite ou un plan.

I Une approximation lin´eaire (affine) est une fonction de la forme

L(x, y) = a x + b y + c

I G´eom´etriquement cela signifie qu’en un point :

I une courbe y = f (x) sera approxim´ee par une droite

I une surface z = f (x, y) sera approxim´ee par un plan

I Pour trouver cette approximation, il est n´ecessaire de faire appel au gradient.

(14)

Gradient

I Le gradient est le vecteur des d´eriv´ees partielles :

∇f (x) = ∂f ∂x1 (x), ∂f ∂x2 (x), . . . , ∂f ∂xn (x)

I Pour une fonction f (x, y, z), en un point x0 = (x0, y0, z0), on

note ∇f (x0) = ∂f ∂x(x0) ~i + ∂f ∂y(x0) ~j + ∂f ∂z(x0) ~k

I Le gradient est un vecteur qui est perpendiculaire `a une courbe de niveau f (x, y) = c ou `a une surface de niveau f (x, y, z) = c

(15)

Vecteur normal `

a une surface

Pour obtenir un vecteur normal−→N `a une courbe ou une surface de niveau, en un point x0 , il suffit de prendre

− →

N (x0) = ±∇f (x0)

Exemple 4 : Donner un vecteur normal `a la surface

(16)

Plan tangent `

a une surface (1/3)

On cherche l’´equation du plan tangent `a une surface z = f (x, y) au point de contact p0 = (x0, y0, z0) = (x0, z0) ∈ R3 entre le plan

et la surface.

I Soit p = (x, y, z) ∈ R3 un point appartenant au plan tangent.

I Posons F (x, y, z) = z − f (x, y) = 0 la surface de niveau.

I Comme ∇F (x0, z0) est orthogonal au vecteur −−→p0p , alors le

produit scalaire entre ces vecteurs est nul :

(17)

Plan tangent `

a une surface (2/3)

Le produit scalaire ∇F (x₀, z0) ·−−→p0p = 0 devient ∂F (x0, z0) ∂x ∂F (x0, z0) ∂y ∂F (x0, z0) ∂z   x − x0 y − y0 z − z0  = 0

qui donne l’´equation du plan tangent `a la surface :

∂F (x0, z0) ∂x (x−x0)+ ∂F (x0, z0) ∂y (y−y0)+ ∂F (x0, z0) ∂z (z −z0) = 0

(18)

Plan tangent `

a une surface (3/3)

I _{A partir de}` ∂F (x0, z0) ∂x (x−x0)+ ∂F (x0, z0) ∂y (y−y0)+ ∂F (x0, z0) ∂z (z−z0) = 0 I Comme F (x, y, z) = z − f (x, y) = 0, on a z0 = f (x0), ∂F (x0,z0) ∂x = − ∂f (x0) ∂x , ∂F (x0,z0) ∂y = − ∂f (x0) ∂y , et ∂F (x0,z0) ∂z = 1

I On a ainsi la forme finale de l’´equation du plan tangent :

z = f (x0) + ∂f (x0) ∂x (x − x0) + ∂f (x0) ∂y (y − y0) | {z } L(x,y)=ax+by+c = f (x0) + ∇f (x0)>(x − x0) I L(x, y) est une fonction lin´eaire (affine) en x et y

(19)

(20)

Diff´

erentielle pour une fonction `

a une variable

Soit y = f (x). On cherche `a approximer un accroissement ∆y de y lorsque x subit un accroissement de ∆x

Diff´erentielle de x : dx peut prendre n’importe quelle valeur, dont ∆x

Diff´erentielle de y : Variation de l’ordonn´ee de la tangente : dy = df = f0(x)dx

Variation de la fonction :

(21)

Diff´

erentielle pour une fonction `

a deux variables

I z = f (x, y)

I Diff´erentielles de x et y : dx et dy (ind´ependantes)

I On peut poser dx = ∆x et dy = ∆y

I Diff´erentielle totale :

df = dz = fx(x, y)dx+fy(x, y)dy =

∂f (x, y) ∂x dx+

∂f (x, y) ∂y dy

(not´e aussi df = ∂f_∂xdx + ∂f_∂ydy)

I Approximation num´erique de la variation de la fonction f (x, y) :

(22)

Propri´

et´

es

I Si f est constante, alors df = 0

I Si f = f1+ f2, alors df = df1+ df2 I Si f = f1f2, alors df = df1f2+ f1df2 I Si f = _f1 2, alors df = −df2/f 2 2 I Si f = f1 f2, alors df = df1f2−f1df2 f2 2

(23)

Exemples

I Exemple 5 :

I Soit f (x, y) = z = x2_{+ 3xy − y}2_{. Calculer dz}

I Si x varie de 2 `a 2.05, et y de 3 `a 2.96, comparer ∆z et dz

I Exemple 6 : Trouver la diff´erentielle de R, la r´esistance ´

equivalente de deux résistances connectées en parallèles : 1 R = 1 R1 + 1 R2

I Exemple 7 : On mesure le rayon r0 d’un ballon et on constate

qu’il est de 30cm avec une erreur de mesure de ±1cm. Quelle est l’erreur maximale associ´ee au volume du ballon ?

(24)

4. Diff´erentiabilit´e

5. Dérivation en chaˆıne 6. Dérivée directionnelle

(25)

Introduction

I La notion de différentiabilité permettra de répondre à la question : Est-il possible d’approximer localement au point x0 = (x0, y0), une fonction f par une fonction linéaire L ?

I Géométriquement, puisqu’en général z = f (x, y) représente une surface dans l’espace, la question est de savoir s’il existe un plan tangent à cette surface au point de contact

p0= (x0, y0, f (x0, y0)) = (x0, z0). Si oui, la fonction sera dite

diff´erentiable en p0. Sinon elle sera non diff´erentiable en p0.

I Une fonction diff´erentiable en tout point de son domaine est dite diff´erentiable.

(26)

Diff´

erentiabilit´

e : D´

efinition

I Soit la fonction z = f (x, y) de Df ⊆ R2 dans R

I Soient x0 = (x0, y0) et x0+ ∆x = (x0+ ∆x, y0+ ∆y) deux

points de Df

I f estdiff´erentiable si la variation de la fonction peut se d´ecomposer sous la forme

∆z = f (x0+∆x)−f (x0) = fx(x0)∆x+fy(x0)∆y+ε1∆x+ε2∆y

avec ε1→ 0 et ε2 → 0 quand ∆x → 0 et ∆y → 0

(27)

Diff´

erentiabilit´

e : Th´

eor`

emes

I Si fx et fy existent et sont continues au point x, alors f est

diff´erentiable en x

I Si une fonction f est diff´erentiable en un point, alors elle est continue en ce point

(28)

Diff´

erentiabilit´

e : Exemples

I Exemple 8 : Montrer que f (x, y) =px2_{+ y}2 _{n’est pas}

diff´erentiable en (0, 0)

I Exemple 9 : Montrer que la fonction suivante est diff´erentiable en (0, 0) : f (x, y) = ( x4 x2_+y2 + y si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon

(29)

4. Différentiabilité 5. Dérivation en chaˆıne

6. D´eriv´ee directionnelle

(30)

Fonctions de une variable

Règle dedérivation en chaˆıne pour une composition de fonctions d’une seule variable : Si y = f (x) et x = g(t) avec f et g différentiables, alors y est une fonction différentiable de t et

dy dt = dy dx dx dt

(31)

Fonctions de deux variables : Cas 1

Si f (x, y) est différentiable, et que x = g(t) et y = h(t) sont deux fonctions différentiables de t, alors f est une fonction différentiable de t et df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt

(32)

D´

erivation en chaˆıne : Exemples

I Exemple 10 : Trouver dz_dt en t = 0 avec    z = x2y + 3xy4 x = sin 2t y = cos t

I Exemple 11 : Soit P V = 8.31T . Calculer le taux de variation de P lorsque T vaut 300 et croˆıt de 0.1 par seconde, et que V = 100 et croˆıt de 0.2 par seconde.

(33)

Fonctions de deux variables : Cas 2

Si f (x, y) est différentiable, et que x = g(s, t) et y = h(s, t) sont deux fonctions différentiables de s et t, alors f est une fonction différentiable de s et t et ∂f ∂s = ∂f ∂x ∂x ∂s + ∂f ∂y ∂y ∂s ∂f ∂t = ∂f ∂x ∂x ∂t + ∂f ∂y ∂y ∂t

(34)

D´

eriv´

ees secondes : Exemple 12

Soit la fonction continue et diff´erentiable f (x, y) avec x = s + t et y = s − t

Calculer ∂f_∂s, ∂f_∂t, ∂_∂s2f2, et

∂2_f

(35)

(36)

D´

efinitions

I Soit f : Df ⊆ R2→ R et x0 = (x0, y0) ∈ Df

I On consid`ere la directionu comme le vecteur unitaire u = (u1, u2) avec kuk =pu21+ u22 = 1

I Lad´eriv´ee directionnellede f en x0 dans la direction u est la

limite suivante, si elle existe :

fu(x0) = f0(x0; u) = lim t→0 f (x0+ tu) − f (x0) t = lim t→0 f (x0+ tu1, y0+ tu2) − f (x0, y0) t

(37)

D´

eriv´

ee directionnelle et gradient

I Avec t ∈ R, u = (u1, u2) ∈ R2 unitaire et x0 = (x0, y0) ∈ R2,

on considère la droite paramétrique d’équation (x, y) = (x0+ tu1, y0+ tu2) I On pose f (x) = f (x0+ tu) = g(t) I fu(x0) = lim t→0 f (x0+tu)−f (x0) t = lim_t→0 g(t)−g(0) t = g 0₍₀₎ I g 0_(t) ₌ dg dt(t) = df dt(t) = ∂f ∂x(x) dx dt(t) + ∂f ∂y(x) dy dt(t)

= ∂f_∂x(x)u1+∂f_∂y(x)u2= ∇f (x)>u

I Et donc

fu(x0) = ∇f (x0)>u= k∇f (x0)k cos θ

(38)

(39)

D´

eveloppement de Taylor pour f (x, y)

I f d´efinie de R2 dans R

I x0 = (x0, y0) et x = (x, y) = (x0+ h, y0+ k)

I f et ses d´eriv´ees sont continues en x0 : fxy(x0) = fyx(x0)

Segment D reliant x0 et x :

x = x0+ th

y = y0+ tk

avec 0 ≤ t ≤ 1

Soit la fonction d’une variable g(t) = f (x0+ th, y0+ tk))

(40)

D´

eveloppement de Taylor pour f (x, y)

I D´eveloppement de Taylor de g(t) = f (x0+ th, y0+ tk) centr´e

en t = 0 :

g(t) = g(0) + g0(0)t + 1 2g

00_(0)t2_{+ . . .}

I D´erivation en chaˆıne avec dx_dt = h et dy_dt = k : ( g0 = dg_dt = ∂f_∂xdx_dt +∂f_∂ydy_dt = hfx+ kfy g00 = h2fxx+ 2hkfxy+ k2fyy (Exemple 13) I En t = 0 : g0(0) = hfx(x0, y0) + kfy(x0, y0) g00(0) = h2fxx(x0, y0) + 2hkfxy(x0, y0) + k2fyy(x0, y0)

(41)

D´

eveloppement de Taylor pour f (x, y)

I Avec g(t) = g(0) + g0(0)t + 1 2g 00_(0)t2_{+ . . .} I et    g(0) = f (x0, y0) g0(0) = hfx(x0, y0) + kfy(x0, y0) g00(0) = h2fxx(x0, y0) + 2hkfxy(x0, y0) + k2fyy(x0, y0) I on obtient g(1) = f (x, y) = f (x0, y0) + hfx(x0, y0) + kfy(x0, y0) +1₂ h2fxx(x0, y0) + 2hkfxy(x0, y0) + k2fyy(x0, y0) + . . .

(42)

D´

eveloppement de Taylor pour f (x, y)

f (x, y) = f (x0, y0) + hfx(x0, y0) + kfy(x0, y0) +1₂h2fxx(x0, y0) + hkfxy(x0, y0) +1₂k2fyy(x0, y0) + . . . Comme h = x − x0 et k = y − y0, on a finalement le d´eveloppement suivant : f (x, y) = f (x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) +1₂fxx(x0, y0)(x − x0)2 + fxy(x0, y0)(x − x0)(y − y0) +1₂fyy(x0, y0)(y − y0)2 + . . .

(43)

Approximations lin´

eaire et quadratique

On peut approximer f (x, y) proche de (x0, y0) par

f (x, y) ' L(x, y) (ordre 1 :approximation lin´eaire) f (x, y) ' Q(x, y) (ordre 2 :approximation quadratique) avec L(x, y) = f (x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) et Q(x, y) = f (x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) +1₂fxx(x0, y0)(x − x0)2 + fxy(x0, y0)(x − x0)(y − y0) +1₂fyy(x0, y0)(y − y0)2

(44)

D´

_{eveloppement de Taylor pour f : R}

n

_{→ R}

I n = 2 : f (x, y) = f (x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) +1₂fxx(x0, y0)(x − x0)2 + fxy(x0, y0)(x − x0)(y − y0) +1₂fyy(x0, y0)(y − y0)2 + . . . I n quelconque : f (x) = f (x0)+∇f (x0)>(x−x0)+ 1 2(x−x0) >_∇2_{f (x} 0)(x−x0)+. . .

(45)

Erreur de l’approximation lin´

eaire

I Approximation lin´eaire de f (x) par L(x) au point x0 :

f (x) ' L(x) et f (x) = L(x) + EL(x)

I Une borne sur l’erreur EL(x) pour tout x ∈ X est |EL(x)| ≤ MLd2 avec d = max x∈X kx − x0k et ML≥ max x∈X n |fxx(x)|, |fxy(x)|, |fyy(x)| o

I Typiquement, on fixe d et on prend

X = B_d(x0) =x ∈ R2 : kx − x0k ≤ d

(46)

Erreur de l’approximation quadratique

I Approximation quadratique de f (x) par Q(x) au point x0 :

f (x) ' Q(x) et f (x) = Q(x) + EQ(x)

I Une borne sur l’erreur EQ(x) pour tout x ∈ X est

|E_Q(x)| ≤ √ 2 3 MQd 3 avec d = max x∈X kx − x0k et MQ≥ max x∈X n

|fxxx(x)|, |fxxy(x)|, |fxyy(x)|, |fyyy(x)|

o

I Typiquement, on fixe d et on prend

X = B_d(x0) =x ∈ R2 : kx − x0k ≤ d

(47)

Exemples

I Exemple 14 : Soit f (x, y) = sin x + cos y d´efinie sur D =_{(x, y) ∈ R}2 _{: |x| ≤} π

2 et |y| ≤ π 2

a Donner une fonction lin´eaire et une fonction quadratique qui approchent f en (0, 0)

b Donner les bornes d’erreurs de ces approximations, sur D

I Exemple 15 : Mˆemes questions pour f (x, y) = e−(x+y) et D =(x, y) ∈ R2 : |x − 1| ≤ 3 et |y − 2| ≤ 4