Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Cours Equations à coefficients complexe 4ème Math
I) Racines carrées d’un nombre complexe
Définition : Soit 𝒂 un nombre complexe, on appelle une racine carrée de 𝒂 tout nombre complexe 𝒛 tel que : 𝒛𝟐 = 𝒂 Exemples :
*) Vérifier que (1 + 𝑖) est une racine carrée de 2𝑖 (1 + 𝑖)2 = =
donc (1 + 𝑖) est une racine carrée de 2𝑖
* Soit 𝑎 un nombre complexe non nul, déterminer les racines carrées de 𝑎2
𝑧2 = 𝑎2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
donc et sont les racines carrées de 𝑎2
*) sont les racines carrées de (1 + 2𝑖)2
*) (3 + 𝑖)8 = [(3 + 𝑖)…]2
donc sont les racines carrées de (3 + 𝑖)8
* −9 = donc et sont les racines carrées de −9 *) 8𝑖 = 4 × 2𝑖 = donc et
sont les racines carrées de 8𝑖
*) −16𝑖 = 8 × (−2𝑖) = donc et sont les racines carrées de −16𝑖
*) 2𝑒𝑖𝜋8 = donc et sont les racines carrées de 2𝑒𝑖𝜋8
*) Soit 𝑟 ∈ ℝ∗ et 𝜃 ∈ ℝ alors 𝑟𝑒𝑖𝜃 =
donc et sont les racines carrées de 𝑟𝑒𝑖𝜃 Théorème :
*) Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées.
*) Soit 𝒓 ∈ ℝ∗ + et 𝜽 ∈ ℝ alors √𝒓𝒆𝒊 𝜽 𝟐 et −√𝒓𝒆𝒊 𝜽 𝟐 sont les racines carrées de : Détermination Activité :
Soit 𝑎 et 𝑧 deux nombres complexes, posons 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (𝑥 , 𝑦) ∈ ℝ2 et 𝑎 = 𝑎
1 + 𝑖𝑎2 avec (𝑎1 , 𝑎2) ∈ ℝ2
𝑧2 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 = = |𝑧2| = |𝑧|2 =
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2 *) Si 𝑧2 = 𝑎 ⇒ { 𝑅𝑒(𝑧2) = 𝑅𝑒(𝑎) 𝐼𝑚(𝑧2) = 𝐼𝑚(𝑎) |𝑧2| = |𝑎| ⇒ ⇒ *) Si { 𝑥2− 𝑦2 = 𝑎1 𝑥2+ 𝑦2 = √𝑎12+ 𝑎22 𝑥𝑦 et 𝑎2 ¤𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎1 ⇒ 𝑅𝑒(𝑧2) = 𝑅𝑒(𝑎) ¤ 𝑥2 + 𝑦2 = √𝑎 1 2 + 𝑎 22 ⇒ |𝑧2| = √𝑎12 + 𝑎22 ⇒ √(𝑥2− 𝑦2)2+ (2𝑥𝑦)2 = √𝑎 12+ 𝑎22 ⇒ ⇒ ⇒ 2𝑥𝑦 = ⋯ ou 2𝑥𝑦 = ⋯ ¤ or 𝑥𝑦 et 𝑎2 ont même signe donc
2𝑥𝑦 = ⋯ ⇒ 𝐼𝑚(… ) = 𝐼𝑚(… )
et par suite 𝑅𝑒(𝑧2) = 𝑅𝑒(𝑎) et 𝐼𝑚(𝑧2) = 𝐼𝑚(𝑎)
d’où 𝑧2 =
Théorème : Soit 𝒂 et 𝒛 deux complexes tels que 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 avec (𝒙 , 𝒚) ∈ ℝ𝟐 On a : 𝒛𝟐 = 𝒂 ⇔ { 𝒙𝟐− 𝒚𝟐 = 𝑹𝒆(𝒂) 𝒙𝟐+ 𝒚𝟐 =|𝒂| 𝒙𝒚 𝐞𝐭 𝑰𝒎(𝒂) 𝐨𝐧𝐭 𝐦ê𝐦𝐞 𝐬𝐢𝐠𝐧𝐞 Exemple :
Soit à déterminer les racines carrées de 5 − 12𝑖 posons 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 avec (𝑥 , 𝑦) ∈ ℝ2 𝑧2 = 5 − 12𝑖 ⇔ { 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥𝑦 ⇔ {𝑥 2 = 𝑦2 = 𝑥𝑦 ⇔ { 𝑥 = ou 𝑥 = 𝑥 = ou 𝑥 = 𝑥𝑦 ⇔ {𝑦 = ou {𝑥 = 𝑥 =𝑦 =
⇔ et sont les raciness carrées de : 5 − 12𝑖 II) Résolution d’une équation du second degré
Introduction :
¤ Soit à résoudre dans ℂ l’équation : 2𝑧2 − 4𝑖 = 0
2𝑧2 − 4𝑖 = 0 ⇔ 2𝑧2 = ⇔ 𝑧2 = ⇔ 𝑧2 = ( )2 ⇔ 𝑧 = ou 𝑧 =
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3 donc 𝑆ℂ = { }
¤ Soit à resoudre dans ℂ l’équation : 𝑧2− 3𝑖𝑧 = 0
𝑧2− 3𝑖𝑧 = 0 ⇔ 𝑧( ) = 0 ⇔ 𝑧 = ou 𝑧 =
donc 𝑆ℂ = { } Activité :
Soit , 𝑏 et 𝑐 trois nombres complexes tels que 𝑎 ≠ 0 à on considère dans ℂ l’équation (𝐸): 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0
(𝐸) ⇔ 𝑎( ) = 0
⇔ 𝑎[( )2 ] = 0 ⇔ 𝑎[( )2 ] = 0
posons ∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐 , ∆ est un nombre complexe donc il
admet au moins une racine carrée 𝛿 d’où
(𝐸) ⇔ 𝑎[( )2− ( )2] = 0
⇔ 𝑎( )( ) = 0 ⇔ 𝑧 = ou 𝑧 =
donc l’équation (𝐸) admet dans ℂ 𝑧′ = et 𝑧′′ =
¤ 𝑧′+ 𝑧′′ = = = 𝑧′× 𝑧′′ = =
= =
¤ Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 alors 1 est une solution de l’équation (𝐸) notons par 𝑧′ l’autre solution on a :
1 × 𝑧′ = ⇨ 𝑧′ =
donc et sont les solutions de l’équation (𝐸) ¤ Si 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 alors −1 est une solution de l’équation (𝐸) notons par 𝑧′ l’autre solution on a :
−1 × 𝑧′ = ⇨ 𝑧′ =
donc et sont les solutions de l’équation (𝐸) Théorème :
Soit , 𝑏 et 𝑐 trois nombres complexes tels que 𝑎 ≠ 0 on considère dans ℂ l’équation (𝐸): 𝑎𝑧2+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0
¤ L’équation (𝐸) admet dans ℂ deux solutions 𝑧′ et 𝑧′′ définies par :
𝑧′ =
et 𝑧
′′ =
où 𝛿 est une racine carrée de ∆=
¤ On désigne par 𝑧′ et 𝑧′′ les solutions de (𝐸)
𝑧′ + 𝑧′′ = et 𝑧′ × 𝑧′′ = ¤ ∀𝒛 ∈ ℂ on a : 𝑎𝑧2+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 𝑎( )( ) ¤ Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 alors et sont les
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 4 ¤ Si 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 alors et sont les
solutions dans ℂ de l’équation (𝐸)
Remarque : Soit l’équation (𝐸): 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 où , 𝑏 et 𝑐
trois nombres complexes tels que 𝑎 ≠ 0 Si ∆= 0 alors l’équation (𝐸) admet dans ℂ définie par 𝑧0 =
Exemples :
* Soit à résoudre dans ℂ l’équation𝑧2+ 18𝑧 + 1681 = 0
∆= =
donc 𝛿 = est une racine carrée de ∆ 𝑧′ = =
𝑧′′ =
𝑆ℂ = { }
* Soit à résoudre dans ℂ l’équation z2− (5 − i)z + 8 − i = 0
∆= = posons 𝛿 = 𝑥 + 𝑖𝑦 avec (𝑥 , 𝑦) ∈ ℝ2 𝛿2 = ∆ ⇔ { 𝑥2… 𝑦2 = 𝑥2… 𝑦2 = 𝑥𝑦 ⇔ { 𝑥2 = 𝑦2 = 𝑥𝑦 ⇔ { 𝑥 = 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑦 = 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑥𝑦 On peut choisir 𝛿 = 𝑧′ = = 𝑧′′ = = 𝑆ℂ = { } Exercice 1
1) a) Résoudre dans ℂ l’équation𝑧2 − 2𝑒𝑖𝛼𝑧 + 2𝑒2𝑖𝛼 = 0 b) Mettre les solutions sous la forme exponentielle
2) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ) On désigne par 𝐴 et 𝐵 les points d’affixes respectives
𝑧1 = (1 − 𝑖)𝑒𝑖𝛼 et 𝑧2 = (1 + 𝑖)𝑒𝑖𝛼 a) Montrer que 𝑧2
𝑧1 = 𝑖
b) En déduire que 𝑂𝐴𝐵 est un triangle rectangle et isocèle en 𝑂
3) a) Montrer que (𝑢⃗ , 𝐴𝐵̂ ) ≡ 𝛼 +⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜋
2 [2𝜋]
b) Déterminer 𝛼 pour que la droite (𝐴𝐵) soit parallèle à la droite ∆ d’équation 𝑦 = 𝑥
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 5 III) Racine niemed’un nombre complexe
Définition : Soit 𝑎 un nombre complexe et 𝑛 un entier naturel tel que 𝑛 ≥ 2
On appelle une racine nieme de 𝑎 tout nombre complexe 𝑧 tel que
𝑧𝑛 = 𝑎
Activité : Soit 𝑟 ∈ ℝ∗
+ et 𝜃 ∈ ℝ et 𝑧 un nombre complexe non
nul tel que 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
¤ 𝑧4 = 16𝑒𝑖𝜋4 ⇔ (𝑟𝑒𝑖𝜃)4 = 16𝑒𝑖 𝜋 4 ⇔ = 16𝑒𝑖 𝜋 4 ⇔ { = = ⇔ { 𝑟 = 𝜃 = ⇔ 𝑧 = avec 𝑘 ∈ { }
¤ dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ) on considère les points 𝑀0 , 𝑀1 , 𝑀2 et 𝑀3 d’affixes respectives 𝑧0 =
𝑧1 =
𝑧2 =
𝑧3 = −) |𝑧0| = |𝑧1| = |𝑧2| = |𝑧3| = −) (𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑀̂0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1) ≡ 𝑎𝑟𝑔 ( ) [2𝜋] ≡ 𝑎𝑟𝑔( ) − 𝑎𝑟𝑔( ) [2𝜋] ≡ − [2𝜋] ≡ [2𝜋]
On montre de même que :
(𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑀̂1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2) ≡ (𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑀̂2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3) [2𝜋] ≡ (𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑀̂3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4) [2𝜋] ≡ 𝜋
2[2𝜋]
et par suite 𝑀0𝑀1𝑀2𝑀3 est un de centre inscrit dans le cercle de centre et de rayon Théorème : Soit 𝑟 ∈ ℝ∗
+ ; 𝜃 ∈ ℝ et 𝑛 un entier naturel tel que
𝑛 ≥ 2
¤ Le nombre complexe 𝑟𝑒𝑖𝜃admet exactement 𝑛 racines nieme
définies par : √𝑟 𝑛 𝑒𝑖(𝜃𝑛+ 2𝑘𝜋 𝑛 ) où 𝑘 ∈ {0 , 1 , 2 … 𝑛 − 1 }
¤ Lorsque 𝑛 ≥ 3 ; dans un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑖 , 𝑗 ) ; les points images des racines nieme du nombre complexe 𝑟𝑒𝑖𝜃 sont
les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre et de rayon
Exemple : Soit à déterminer les racines cubiques de : 1 + 𝑖 1 + 𝑖 = √2( ) = √2𝑒𝑖𝜋4
donc les racines cubiques de 1 + 𝑖 sont de la forme où 𝑘 ∈ { }
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 6 ¤ Soit à résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧3 = 4(1 + 𝑖√3)
𝑧3 = 4(1 + 𝑖√3) ⇔ 𝑧3 = 8( ) ⇔ 𝑧3 = 8𝑒𝑖 ⇔ 𝑧 = où 𝑘 ∈ { } 𝑆ℂ = { }
IV) Exemples d’équations de degré supérieur à 2 Exemple 1: Soit à résoudre dans ℂ l’équation : (𝐸): 𝑧4+ (3 − 4𝑖)𝑧2− 12𝑖 = 0 On pose 𝑍 = 𝑧2 (𝐸) ⇔ 𝑍2+ (3 − 4𝑖)𝑍 − 12𝑖 = 0 ∆=
= posons 𝛿 = 𝑥 + 𝑖𝑦 avec (𝑥 , 𝑦) ∈ ℝ2 𝛿2 = ∆ ⇔ { 𝑥2… 𝑦2 = 𝑥2… 𝑦2 = 𝑥𝑦 ⇔ { 𝑥2 = 𝑦2 = 𝑥𝑦 ⇔ { 𝑥 = 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑦 = 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑥𝑦 on peut choisir 𝛿 = 𝑍′ =
=
= 𝑍′′ =
=
= −) 𝑧2 = =
−) 𝑧2 = =
𝑆ℂ = { } Exemple 2: On considère dans ℂ l’équation : (𝐸): 𝑧3− 2𝑖𝑧2 + 2(1 − 𝑖√3)𝑧 − 4(𝑖 + √3) = 0
montrons que l’équation (𝐸) admet une unique solution imaginaire pure
soit 𝛼 ∈ ℝ ; (𝛼𝑖) est une solution de (𝐸) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ { = (1) = (2) (1) ⇔ ⇔ 𝛼 = −) =
donc 2 vérifie l’équation (2) et par suite l’équation (𝐸) admet une unique solution imaginaire pure qui est 2𝑖
−) On se propose de factoriser l’expression : 𝑧3− 2𝑖𝑧2+ 2(1 − 𝑖√3)𝑧 − 4(𝑖 + √3)
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 7 2𝑖 est une solution de l’équation (𝐸) donc il existent trois
nombres complexes 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 tels que : 𝑧3− 2𝑖𝑧2+ 2(1 − 𝑖√3)𝑧 − 4(𝑖 + √3) = = = ⇔ { 𝑎 = 𝑏 − 2𝑖𝑎 = 𝑐 − 2𝑖𝑏 = −2𝑖𝑐 = ⇔ { 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = −2𝑖𝑐 = donc 𝑧3− 2𝑖𝑧2+ 2(1 − 𝑖√3) − 4(𝑖 + √3) =
∗) Résolution dans ℂ de l’équation (𝐸)
(𝐸) ⇔ ( )( ) = 0 ⇔ ou −) 𝑧 − 2𝑖 = 0 ⇔ 𝑧 = −) 𝑧2 + 2 − 2𝑖√3 = 0 ⇔ 𝑧2 = ⇔ 𝑧2 = ⇔ 𝑧 = ou 𝑧 = 𝑆ℂ = { } Exercice 2
Le 𝑃 plan est muni d’un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ) 1) On considère dans ℂ l’équation :
(𝐸): 𝑧3− (4 + 𝑖)𝑧2+ (7 + 𝑖)𝑧 − 4 = 0
a) Montrer que l’équation (𝐸) admet une racine réelle que l’on déterminera
b) Résoudre dans ℂ l’équation (𝐸)
2) a) Représenter les points , 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives : 1 , 2 + 2𝑖 , et 1 − 𝑖
b) Déterminer le module et un argument de 2+2𝑖
1−𝑖 et en déduire
la nature du triangle 𝑂𝐵𝐶
c) Que représente la droite (𝑂𝐴) pour le triangle 𝑂𝐵𝐶 ? d) Soit 𝐷 le point tel que 𝐶𝐷 = 𝐶𝑂 et (𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷̂ ) ≡ −⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜋
2 [2𝜋]
Quelle est la nature du quadrilatère 𝑂𝐶𝐷𝐵
Exercice 3
Le 𝑃 plan est muni d’un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ) Soit 𝐴 le point d’affixe – 𝑖
On considère l’application 𝑓 de 𝑃\{𝐴} dans 𝑃 qui, à tout point 𝑀(𝑧) de 𝑃\{𝐴} associe le point 𝑀′(𝑧′) 𝑧′ telle que 𝑧′ = 𝑖𝑧
𝑖−𝑧
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 8 2) a) Montrer que pour tout 𝑧 ∈ ℂ\{−𝑖} on a :
(𝑧′+ 𝑖)(𝑧 − 𝑖) = 1
b) En déduire que 𝐴𝑀′ × 𝐴𝑀 = 1 et que 𝑀′ ∈ [𝐴𝑀)
3) a) Soit 𝜃 ∈ ℝ\ {−𝜋
2+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ}
Montrer que l’affixe de 𝑓(𝑀) est égale à 𝑒𝑖𝜃 si et seulement si
𝑧 = −1 2(tan ( 𝜃 2− 𝜋 4) + 𝑖)
b) Résoudre dans ℂ l’équation 𝑧3 = 1
c) en déduire les solutions de l’équation 𝑖𝑧3 = (−𝑖 − 𝑧)3 Exercice 4
Soit dans ℂ l’équation (𝐸): 𝑧2− (2𝑖√2𝑒𝑖𝜋
12) 𝑧 − 4𝑒𝑖 𝜋 6 = 0 1) a) Vérifier que 𝑒𝑖5𝜋12(𝑒𝑖 𝜋 4 − 𝑒−𝑖 𝜋 4) = 𝑒𝑖 2𝜋 3 − 𝑒−𝑖 𝜋 6 et que 𝑒𝑖2𝜋3 − 𝑒−𝑖 𝜋 6 = 𝑖√2𝑒𝑖 5𝜋 12
b) Vérifier alors que 𝑧1 = 2𝑒𝑖𝜋3 est une solution de l’équation (𝐸)
c) Trouver alors l’autre solution 𝑧2 de l’équation (𝐸) d) Ecrire chacun des nombre complexe 𝑧1 et 𝑧2 sous forme cartésienne
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
(𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ), on considère les points 𝐴 et 𝐵 d’affixes respectives 𝑧𝐴 = 1 + 𝑖√3 et 𝑧𝐵 = −√3 + 𝑖
a) Vérifier que 𝑧𝐵 = 𝑖𝑧𝐴
b) Déduire que le triangle 𝑂𝐴𝐵 est isocèle rectangle c) Construire les points 𝐴 et 𝐵
3) Soit 𝐶 le point d’affixe 𝑧𝐶 = (1 − √3) + 𝑖(1 + √3) a) Montrer que le quadrilatère 𝑂𝐴𝐶𝐵 est un carré b) Placer le point 𝐶
c) Déterminer la forme exponentielle de 𝑧𝐶
Exercice 5
Soit dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation (𝐸): 𝑧2− (1 + 𝑖(2 + √3)) 𝑧 − 2(√3 − 𝑖) = 0
1) a) Vérifier que 2𝑖 est une solution de (𝐸) b) Déterminer l’autre solution de (𝐸)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ), on note 𝐴, 𝐵 et 𝐼 les points du respectives plan d’affixes 𝑧𝐴 = 1 + 𝑖√3 , 𝑧𝐵 = 2𝑖 et 𝑧𝐼 =
1 2+ 𝑖
√3+2 2
a) Mettre les nombres complexes 𝑧𝐴 et 𝑧𝐵 sous la forme exponentielle
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 9 b) Vérifier que 𝐴 et 𝐵 sont deux points du cercle (𝐶) de
centre 𝑂 et de rayon 2
c) Vérifier que 𝐼 est le milieu du segment [𝐴𝐵]
d) Construire le cercle (𝐶) ainsi que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐼 3) a) Justifier que la demi-droite [𝑂𝐼) est la bissectrice de l’angle 𝐴𝑂𝐵̂ b) Vérifier que (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐼̂ ) =⃗⃗⃗⃗ 𝜋 6+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ c) Montrer que (𝑢⃗ , 𝑂𝐼̂ ) =⃗⃗⃗⃗ 5𝜋 12 + 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ d) En déduire que 𝑧𝐼 = √2 + √3𝑒𝑖5𝜋12 4) Donner alors les valeurs exactes cos (5𝜋
12) et sin ( 5𝜋 12)
