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www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:
Préciser les racines carrées des nombres complexes suivants:
6+8i, 8i, 5-12i, 10-4i 6 . Exercice 2:
Résoudre dans les équations:
1/ 2z²+2z+5=0 2/ 4z²+12z+25=0 3/ z²-4iz+5=0 4/ z²+(6-i)z+2+6i=0
5/ (2+i)z²+(1-7i)z-5=0 6/ (1+3i)z²-5(1+i)z-4+8i=0 Exercice 3:
1/ trouver les nombres complexes z tells que z²+(1+i)z+i=0.
2/ en déduire les solutions de : a) z²+(1-i)z-i=0
b) 1+(1+i)z+iz²=0 c) z4+(1+i)z²+i=0 Exercice 4:
Soit un nombre réel donné appartenant à l'intervalle ] , [ 2 2
. 1/ résoudre dans l'équation: (z²-2z)cos²+1=0.
2/ donner en fonction de le module et un argument de chaque solution.
Exercice 5:
1/ soit un élément de ; factoriser ²-2i-1.
2/ résoudre dans l'équation (E): z²-(+i)z+i 3=0.
3/ on note le module de et un de ses arguments.
Calculer le module et un argument de chacune des solutions de (E) en fonction de et .
Exercice 6:
1/ résoudre dans l'équation (E): z²-(3+i)z+2(1+i)=0.
2/ résoudre dans l'équation X 4-(3+i)X²+2(1+i)=0.
Exercice 7:
Déterminer les racines cubiques des nombres complexes:
-8i, -2+2i, 1 i 3 1 i 3
. Exercice 8:
Trouver les racines quatrièmes de 2 ( 1 i ) 3 i
. Exercice 9:
a) déterminer les racines quatrièmes de 2-2i3.
b) en déduire cos 12
et sin 12
.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 2 Exercice 10:
on considère l'équation d'inconnue complexe (E) : z3+5z²+11z+15=0.
1) montrer qu'il existe deux réels b et c tel que pour tout complexe z:
z3+5z²+11z+15= (z+3)(z²+bz+c).
2) déterminer b et c.
3) en déduire les solutions de (E).
Exercice 11:
soit le polynôme P définie dans par: P(z)=z3+(-2-3i)z²+3(1+2i)z-9i.
1/ montrer que P admet une racine imaginaire pur.
2/ factoriser P(z).
3/ en déduire les solutions de l'équation P(z)=0.
Exercice 12:
Soit f l'application de dans telle que:
f(z)=z4-4(1+i)z3+12iz²+8(1-i)z-20.
1/ déterminer p et q pour que, pour tout z de , on ait:
f(z)=(z²+2i)(z²+pz+q).
2/ résoudre dans : f(z)=0.
3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A, B, C, D dont les affixes sont les solutions de l'équation f(z)=0; démontrer qu'elles constituent un carré.
Exercice 13:
1/ déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l'équations:
z3=42(-1+i).
2/en utilisant les racines cubiques de l'unité écrivez les solutions de cette équations sous forme algébrique.
3/ déduisez des question précédentes les valeurs de cos11 12
et sin11 12
. Exercice 14:
soit a un nombre complexe non nul et (E) l'équation sur d'inconnue z (E): 2z²-a(7+i3)z+2a²(3+i3)=0
1/ a) calculer le module et un argument du nombre complexe u=1 i 3
2 2 .
b) en déduire ses racines carrées.
2/ calculer les racines z1 et z2 de (E).
3/ a) vérifier que z2-a=u(z1-a).
b) en déduire la nature du triangle AM1M2 ou A, M1, M2 sont respectivement les points d'affixes a, z1, z2 dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé.
4/ dessiner ce triangle dans le cas a=1+i.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 3 Exercice 15 :
pour tout zC on pose P(z)=z3+2(2-1)z²+4(1-2)z-8 1/a/ calculer P(2)
b/ en déduire une factorisation de P(z) 2/a/ résoudre dans C l’équation P(z)=0
b/ on appelle z1 et z2 les solutions non réel de P(z)=0 ; Im(z1)>0 Déterminer la forme exponentielle de z1 et z2
3/ a/ placer dans le plan complexe munie d’un repère orthonormé (O,i, j) le point A d’affixe 2, B d’affixe z1 et C le milieu de [AB]
b/ montrer que le triangle OAB est isocèle c/ en déduire une mesure de l’angle (i,OC)
d/ écrire l’affixe du point C sous forme trigonométrique
e/ déduire des résultats précédentes les valeurs exactes de cos(3/8) et sin (3/8)
Exercice 16:
soit ]-,[\{-/2,/2} ; u=ei et f(z)=z3-(u+2u)z²+(2+u²)z-u 1/ a/ montrer que u est une solution de f(z)=0
b/ résoudre alors dans C : f(z)=0 2/ on pose Z²=u+1- u
u² 1 a/ montrer que Z²=u+1- 1
u u . En déduire la partie réelle de z² b/ pour quelle valeur de Rel(Z²)=1
3/ on suppose que Rel(Z²)=1 ; montrer que : a/ Arg( [2 ]
) 2 1
²
Z
b/ Arg(Z 1 ) A rg ( 1 ) [ 2 ]
Z Z 2
Exercice 17:
pour tout nombre complexe z on pose : f(z)=z3-(5+6i)z²+(18i-5)z+13
1/a/ montrer que l’équation f(z)=0 possède une racine imaginaire pure que l’on déterminera
b/ déterminer les nombres complexes a et b tel que pour tout z C, f(z)=(z-i)(z²+az+b)
c/ résoudre alors dans c l’équation f(z)=0
3/dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j), on considère les points A, B, C d’affixes respectives z0=i, z1=2+3i et z2=3+2i
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www.zribimaths.jimdo.com Page 4 a/ montrer que 2 1
0 1
z z 1
z z 2i
b/ en déduire la nature du triangle ABC Exercice 18:
étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; ] et z un nombre complexe, on considère le polynôme P(z), défini par :
P(z) = z3 (1 2 sin ) z2 + (1 2 sin ) z 1.
1/ a) Calculer P(1).
b) En déduire l'existence de trois nombres réels a, b, c tels que : P(z) = (z 1) (az2 + bz + c).
Déterminer a, b et c.
c) Résoudre, dans , l'équation P(z) = 0.
2/ On considère trois nombres complexes :
z1 = 1 ; z2 = sin + i cos ; z3 = sin i cos .
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.
Exercice 19:
Pour tout zC on pose P(z)=z3+2(2-1)z²+4(1-2)z-8 1/a) calculer P(2)
b) en déduire une factorisation de P(z) 2/a) résoudre dans C l’équation P(z)=0
b) on appelle z1 et z2 les solutions non réel de P(z)=0 ; Im(z1)>0 Déterminer la forme exponentielle de z1 et z2
3/ a) placer dans le plan complexe munie d’un repère orthonormé (O,i, j) le point A d’affixe 2, B d’affixe z1 et C le milieu de [AB]
b) montrer que le triangle OAB est isocèle c) en déduire une mesure de l’angle (i,OC)
d) écrire l’affixe du point C sous forme trigonométrique
e) déduire des résultats précédentes les valeurs exactes de cos(3/8) et sin (3/8).
Exercice 20:
1/ résoudre dans C l'équation (E): z²-(3-i)z+2-2i3=0.
2/ le plan complexe est munie d'un repère orthonormé direct (O,i , j ). On considère les points A, B et C d'affixes zA= -2i; zB=3+i et zC=2(-1+i).
a) écrire zA, zB et zC sous forme exponentielle.
b) Montrer que les points A, B et C sont situés sur un même cercle de centre O.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 5 3/ soit Z= C
B
z z .
a) écrire Z sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.
b) Déterminer cos7
12
et sin7
12
. Exercice 21:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O , i , j ) . 1/ déterminer les racines carrées du nombre complexe -2+2i3.
2/ résoudre dans C l'équation (E): z²+(3-i3)z+2-2i3=0.
3/ écrire les solutions de (E) sous forme trigonométrique.
4/ A et B les images des solutions de (E).
Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
Exercice 22:
1/ résoudre dans l'équation 2z²-2(1+i)z+1
2 +i=0.
2/ soit [0,
2
] et E l'équation: 2z²-(1+2cos+2i)z+cos+i=0.
a) montrer que l'équation E admet une racine réelle que l'on calculera.
b) Déduire l'autre racine en fonction de.
3/ dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(1
2 ) et M(cos+i).
Calculer AM en fonction de et déduire la valeur de pour laquelle AM est minimale.
Exercice 23:
Pour tout nombre complexe z, on pose f(z)=z3-(5+6i)z²+(18i-5)z+13.
1/ a) montrer que l'équation f(z)=0 possède une racine imaginaire pur que l'on déterminera.
b) déterminer les nombres complexes a et b tels que pour tout z ; f(z)= (z-i)(z+az+b).
c) résoudre dans l'équation f(z)=0.
2/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O , i , j ) . On considère les points A, B et C d'affixes respective z0=i, z1=2+3i et
z2=3+2i.
a) montrer que 2 1
0 1
1 i 2
z z
z z
.
b) En déduire la nature du triangle ABC.
3/ a) résoudre dans l'équation z3=1.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 6 b) calculer (2+i)3; en déduire les solutions dans de l'équation z3=2+11i.
Exercice 24:
1/ résoudre dans l'équation z²+6z+12=0.
2/ dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé ( O , i , j ) on considère les point A et B d'affixes respectives zA= -3-i3 et zB= -3+i3.
a) mettre zA et zB sous forme exponentielle.
b) Déterminer une mesure de l'angle ( OA ,OB ) . c) Montrer que le triangle OAB est équilatéral.
3/ soit z'=ei4 z A.
a) écrire z' sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.
b) En déduire cos11 et sin11
12 12
. Exercice 25:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé( O , i , j ). Soit p(z)=z3-(4+i)z²+(8+4i)z-8i
1/ a) vérifier que i est une solution de p(z)=0.
b) déterminer les complexes a et b tel que p(z)=(z-i)(z²+az+b).
c) résoudre dans l'équation p(z)=0.
2/ on considère les points A, B et C d'affixes respectives zA=i, zB=2+2i et zC=2-2i.
a) placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Montrer que le triangle OBC est rectangle isocèle.
3/ on considère l'application qui à tout point M d'affixe z non nul, on associe le point M' d'affixe z' définie par: z'=1
z .
Soit M un point du cercle de diamètre [BC] et distinct de O.
a) montrer que M \ {O} si et seulement si 1 2 z ' 2 z '
;
en déduire que 1 z ' z '
2 .
b) Montrer que si M un point de \{O} alors M' est un point d'une droite.
Exercice 26:
1/ Soit l'équation (E): z3-(4+i)z²+(7+i)z-4=0.
a) Montrer que l'équation (E) admet une solution réelle z0 que l'on déterminera.
b) Résoudre alors l'équation (E). on notera z1 , z2 les deux autres racines avec |z1| >|z2|.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 7 2/ Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct ( O , i , j ) ; on considère les points A et B d'affixes respectives z1 et z2.
a) Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle.
b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe 1
2
z z . c) En déduire que le triangle OAB est rectangle en O.
3/ a) Ecrire sous forme algébrique et sous forme trigonométrique le nombre complexe e2 i3z1.
b) en déduire que cos11 2 6 et sin11 6 2
12 4 12 4
Exercice 27:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé( O , i , j ) . 1/ a) développer (1+3)².
b) résoudre dans l'équation z²+(1+3)z+2+3=0.
2/ soit a= 1 3 ( 1 i ) et b 1 3 ( 1 i )
2 2
; on note A et B les point
d'affixes respectives a et b.
a) écrire a et b sous forme trigonométrique.
b) quelle est la nature du triangle OAB.
3/ on désigne par C le point d'affixe 1.
a) déterminer le nombre complexe 1 a
b a
soue forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle ABC, placer les points A, B et C.
Exercice 28:
I/ soit l'équation (E): z²-(2+i)z+1+i=0; on désigne par z et z' les solutions de(E).
1/ sans calculer z' et z'':
a) mettre a= 1 1
z ' z '' sous forme cartésienne.
b) Déterminer Arg(z'z'').
2/ résoudre l'équation (E).
II/ soit [0, ] 2
et soit l'équation (E): z²-(i+2cos)z+1+ie -i=0.
1/ a) vérifier que e -i est une solution de (E).
b) en déduire l'autre solution de (E) et la mettre sous la forme exponentielle.
2/ dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé( O , i , j ) , on considère les point A(i) et B(i+ei).
a) déterminer AB.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 8 b) Déterminer et construire F={B(i+ei); [0, ]
2
}.
Exercice 29:
Soit p(z)=z3-(4+2i)z²+(3+6i)z+2-4i.
1/ montrer que l'équation p(z)=0 admet une solution réel z0. 2/ a) déterminer les nombres complexes a et b tel que p(z)=(z- z0)(z²+az+b).
b) résoudre dans p(z)=0.
3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé( O , i , j ) , on désigne par A(i), B(2) et C(2+i).
a) montrer que le triangle ABC est rectangle.
b) Montrer que le quadrilatère OABC est un rectangle.
A tout point M du plan d'affixe z2 on associe le point M' d'affixe z' défini par z'=1 iz
2 z
.
4/ a) montrer que |z'|=A M
BM .
b) déterminer l'ensemble des point M lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon 1.
5/ on suppose que zi et z2.
montrer que 2 k ; k
( i ,OM ' ) ( MB ,MA ) 2
.
Exercice 30:
On considère l'application
f : \{ 0 }
z ² z 1
z z
1/ résoudre dans \{0} les équations : a) f(z)=1
b) f(z)=0
2/ soit z0=ei ; IR.
a) Exprimer f(z0) en fonction de cos . b) En déduire les réels ]-
2
,
2
[ tel que f(z0)=1+ 3.
3/ montrer que pour tout z, tel que |z|=1 on a f(z) réel.
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