2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:
Soit z=x+iy ; z²=x²-y²+2ixy ; |z²|=x²+y²
z²=6+8i
x ² y ² 6 xy 4
x ² y ² 10
x²=8 x=22 ou x=-22 si x=22 y=2 ; z1= 22+i2 si x= -22 y= -2 ; z2= -22-i2 les racines carrées de 6+8i sont z1 et z2.
z²=8i
x ² y ² 0
xy 4
x ² y ² 8
x²=4 x=2 ou x= -2 si x=2 y=2 ; z1= 2+i2 si x= -2 y= -2 ; z2= -2-i2
les racines carrées de 8i sont z1 et z2.
z²=5-12i
x ² y ² 5
xy 6
x ² y ² 13
x²=9 x=3 ou x= -3 si x=3 y= - 2 ; z1= 3-2i si x= -3 y= 2 ; z2= -3+2i
les racines carrées de 5-12i sont z1 et z2.
z²=10-4i6
x ² y ² 10
xy 2 6
x ² y ² 14
x²=12 x=23 ou x= -23 si x=23 y= -2 ; z1= 23-i2 si x= -23 y= 2 ; z2= -23+i2 les racines carrées de 10-4i6 sont z1 et z2. Exercice 2:
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 2 1/ z²+2z+5=0 ; = -36=(6i)² z ' 1 3i ; z '' 1 3i
2 2
SC={z',z''}.
2/ 4z²+12z+25=0; = -256=(16i)² z'= 3 4 i , z '' 3 4 i
2 2
SC={z',z''}.
3/ z²-4iz+5=0 ; = -36= (6i)² z'= -i ; z''= 5i SC={z',z''}.
4/ z²+(6-i)z+2+6i=0 ;
= (6-i)²-4(2+6i)=27-36i (x+iy)²=27-36i
x ² y ² 27
xy 18
x ² y ² 45
x=6, y=-3 =(6-3i)²
z'=i ; z''=6-2i SC={i,6-2i}.
5/ (2+i)z²+(1-7i)z-5=0; =(1-7i)²+20(2+i)= -8+6i (x+iy)²= -8+6i
x ² y ² 8
xy 3
x ² y ² 10
x=1; y=3 =(1+3i)²
z'= 2 i ; z '' 1 5 i
2 i 2 i
SC={z',z''}
6/ (1+3i)z²-5(1+i)z-4+8i=0; =25(1+i)²-4(-4+8i)(1+3i)=112+66i (x+iy)²=112+66i
x ² y ² 112
xy 33
x ² y ² 130
x=11, y=3 =(11+3i)²
z'= 3 i ; z '' 8 4 i
1 3 i 1 3 i
SC={z',z''}.
Exercice 3:
1/ z²+(1+i)z+i=0 ; = -2i=(1-i)²
z'= -i; z''= -1 SC={-1,-i}
2/ a) (E): z²+(1-i)z-i=0
z est solution de (E) z²+(1-i)z-i=0
2
z ² ( 1 i ) z i 0 ( 1 i ) z i 0
z 1 ou z i
z 1 ou z i
z
en fin SC={-1,i}
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 3 b) z est solution de 1+(1+i)z+iz²=0 i+(i-1)z-z²=0
z²+(1-i)z-i=0
z=-1 ou z=i d’où SC={-1,i}
c) z solution de z4+(1+i)z+i=0 z²= -1 ou z²= -i z²= -1 z=i ou z= -i
2 2 2
i z ( 1 i ) ou z ( 1 i )
2 2
2 2
{ i , i , ( 1 i ), ( i )}
2 2
z S
Exercice 4:
1/ cos² z²-2z cos² +1=0;
= 4cos4 - 4cos² = 4cos² ( cos² - 1)= -4cos² sin² = (2i cos sin )²
2 2 2 i cos sin cos i sin
z ' 2 cos ² cos
cos i sin z '' cos
cos
2/ cos >0;
cos i sin 1 1
z ' [cos( ) i sin( )] [ , ]
cos cos cos
cos i sin 1 1
z '' cos i sin ) [ , ]
cos cos cos
Exercice 5:
1/ ²-2i-1=0 ; =0 '=''=i ²-2i-1=(-i)².
2/ z²-(+i)z+i3=0;
= ²(+i)²-4i3=²(²-2i-1)=²(-i)²
z'=i ; z''=².
3/ =[, ]:
z'=i=[,][1,
2
]=[,+
2
] z''=²=[²,2]
Exercice 6:
1/ z²-(3+i)z+2(1+i)=0; = (3+i)²-8(1+i)=-2i=(1-i)²
z'=1+i; z''=2 SC={1+i, 2}
2/ X4-(3+i)X²+2(1+i)=0 X²=1+1, ou X²=2 X²=2 X1=2 ou X2= -2
soit X=[r,]
X²=1+i [r²,2]=[2,
4
]
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 4
4
2 4
r² 2 r 2
2 2 k , k k , k
4 8
r 2 r 2
donc ou 9
8 8
d'ou X3= 42 (cos i sin ) ou 4 42 (cos9 i sin9 )
8 8 X 8 8
SC={X1,X2,X3,X4} Exercice 7:
Soit z=[r,] z3=[r3,3] 1/
z3= -8i
3 3
r 2 8 , r
,3 8 , 2 k
2 3 2 k , k , k
6 3
2
r
r
si k=0 =
6
z1=[2,
6
] si k=1 = 3
2
z2= [2, 3
2
] si k=2 = 7
6
z3=[2, 7
6
] 2/
z3= -2+2i
3 6
3 8 , r r 8
,3 8 ,34 3 3 2 k , k 2 k , k
4 3
4
r
r
si k=0 =3
4
z1=[68 ,3 4
] si k=1 = 11
12
z2= [68 ,11 12
] si k=2 = 19
12
z3=[68 ,19 12
]
3/
[ 2 , ]²
1 i 3 ( 1 i 3 )² 3 [1 ,2 ]
4 [ 4 ,0 ] 3
1 i 3
z3=1 i 3
1 i 3
3 3
r 1 1 , r
,3 1 ,23 3 2 2 k , k 2 2 k , k
9 3
3
r
r
si k=0 =2
9
z1=[1 ,2 9
] si k=1 = 8
9
z2= [1 ,8 9
]
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 5 si k=2 = 14
9
z3=[1 ,14 9
] Exercice 8:
2 ,0 2 ,
2 ( 1 i ) 4
1 ,12
3 i 2 ,
6
z4= 2 ( 1 i )
3 i
4 4
r 1 1 , r
,4 1 , k
12 4 2 k , k , k
48 2
12
r
r
si k=0 =
48
z1=[1 , 48
] si k=1 = 23
48
z2= [1 ,23 48
] si k=2 = 47
48
z3=[1 ,47 48
] si k=3 = 71
48
z3=[1 ,71 48
] les racines quatrième de 2 ( 1 i )
3 i
sont: z1, z2, z3, z4. Exercice 9:
a) soit z=[r,] z4=[r4,4]
a=2-2i3=4( 1 i 3 ) 4(cos i sin ) [ 4 , ]
2 2 3 3 3
.
z4=a
4 4 r 2
k , k
4 2 k , k
12 2
3
r
k=0 = z [ 2 , ] 2 (cos i sin )
12 12 12 12
k=1 =5 z [ 2 ,5 ] 2 (cos5 i sin5 )
12 12 12 12
k=2=11 z [ 2 ,11 ] 2 (cos11 i sin11 )
12 12 12 12
k=3=17 z [ 2 ,17 ] 2 (cos17 i sin17 )
12 12 12 12
b) 2-2i3=(3-i)²
3-i=(x+iy)²
x ² y ² 3 2 3
1 x 2
xy 2 2 3
x ² y ² 2 y
2
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 6
2-2i3=
4
2 3 2 3
( i )
2 2
z4=2-2i3 z4=
4
2 3 2 3
( i )
2 2
=u4
4
z 1
u
z z z z
1 ou 1 ou i ou i
u u u u
z u ou z u ou z iu ou z iu
par identification: 2 (cos i sin ) 2 3 i 2 3
12 12 2 2
d'ou: cos 2 3 et sin 2 3
12 2 12 2
Exercice 10:
1/ (-3)3+5(-3)²+11(-3)+15=-27+45-33+15=0
-3 est une solution de (E)
z3+5z²+11z+15=(z+3)(az²+bz+c)
comme z3+5z²+11z+15 est de degré 3 alors a=1
z3+5z²+11z+15=(z+3)(z²+bz+c)
2/ z3+5z²+11z+15=z3+z²(3+b)+z(c+3b)+3c
3 b 5
b 2
c 3b 11
c 5 3c 15
z3+5z²+11z+15=(z+3)(z²+2z+5)
3/ z3+5z²+11z+15=0 (z+3)(z²+2z+5)=0 z+3=0 ou z²+2z+5=0 z²+2z+5=0 ; = 4-20=-16=(4i)²
z'= -1-2i ; z''= -1+2i SC={-3,-1+2i,-1-2i}
Exercice 11:
1/ z=i, IR solution de P(z)=0 (i)3+(-2-3i)(i)²+3(1+2i)i-9i=0
2²-6+i(3²+3-9-3)=0
3
2 ² 6 0
3
3 ² 3 9 0
donc z=3i
2/ P(z)=(z-3i)(az²+bz+c)=az3+z²(-3ai+b)+z(c-3ib)-3ic
a 1 a 1
b 3 ia 2 3 i
b 2
c 3 ib 3( 1 2 i )
c 3 3 ic 9 i
P(z)=(z-3i)(z²-2z+3)=0 z=3i ou z²-2z+3=0
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 7 z²-2z+3=0 ; = -8=(22i)²
z'=1-2i , z''=1+2i SC={ 3i, 1-2i, 1+2i}
Exercice 12:
1/ f(z)=(z²+2i)(z²+pz+q)=z4+pz3+(q+2i)z+2ipz+2iq
p 4( 1 i )
q 2 i 12 i p 4( 1 i )
2 ip 8 ( 1 i ) q 10 i 2 iq 20
f(z)=(z²+2i)(z²-4(1+i)z+10i)
2/ f(z)=0 z²+2i=0 ou z²-4(1+i)z+10i=0
z²+2i=0 z=1-i ou z= -1+i
z²-4(1+i)z+10i=0
=16(1+i)²-40i= -8i (x+iy)²= -8i ;
x ² y ² 0
x 2
xy 4
y 2
x ² y ² 8
=(2-2i)²
z'= 3+i; z''=1+3i.
SC ={ 1-i, -1+i, 1+3i, 3+i}
3/ A(1-i) , B(3+i), C(1+3i), D(-1+i)
L'affixe du milieu de [AC] est: 1 i 1 3i 1 i 2
. L'affixe du milieu de [BD] est: 3 i 1 i 1 i
2
ACBD est un parallélogramme.
A B ( 2 2 i ) A B 2 2 A D ( 2 2 i ) A D 2
2 A B .A D 4 4 0
AB= AB 8 ; AD= AD 8
ACBD est un carré.
Exercice 13:
1/ soit z=[r,] z3=[r3,3] ; u=42(-1+i)=[8,3
4
] z3=u
3 8 r 2
3 2 k , k
3 2 k , k
4 4
r
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 8 si k=0 = 1 [ 2 , ] 2(cos i sin )
4 z 4 4 4
si k=1 =11 2 [ 2 ,11 ] 2(cos11 i sin11 )
12 z 12 12 12
si k=2 =19 3 [ 2 ,19 ] 2(cos19 i sin19 )
12 z 12 12 12
2/ z3=u z3=z1
3
3
1
z 1
z
1 1 1
1 1 1
z z 2 2 z 4 4
1 ou cos( i sin ) ou cos i sin
3 3 3 3
2 2 4 4
z ou z [cos( i sin ) ] ou z [cos i sin ]
3 3 3 3
1 3 1 3
z 2 i 2 ou z ( 2 i 2 )( i ) ou z ( 2 i 2 )( i )
2 2 2 2
2 6 2 6 2 6 2 6
z 2 i 2 ou z i ( ) ou z i ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
z z z
z z z
3/ par identification: cos11
12
= - 2 6 et sin11 6 2
4 12 4
Exercice 14:
1/ a)u 1 i 3
2 2
= cos
3
+isin
3
= [1,
3
] b) soit z=[r,] z²=[r²,2].
z²=u [r²,2]=[1,
3
]
r² 1 r 1
2 2 k , k k , k
3 6
si k=0 =
6
z=[1,
6
] si k=1 =7
6
z= [1, 7
6
] les racines carrées de u sont: cos7
6
+isin7
6
et cos
6
+isin
6
. 2/ 2z²-a(7+i3)+2a²(3+i3)=0
= a²(7+i3)²-16a²(3+i3)
= a²(46+14i3)-48a²-16i3= -2a²-2a²i3 = -4a² u
= (2ia)²( 3 1i
2 2 )²=[a(-1+i3)]²
z1=2a ; z2=a(7 i 3 ) a( 1 i 3 ) 3a ai 3
4 2
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 9
O J
I A B
C
O 3 A
4
3/ a) z2-a=a ai 3
2
=a(1 i 3 ) ( 1 a )u
2 2 z .
b) |z2-a|=|u||z1-a| AM2=AM1 AM1M2 est isocèle en A.
arg(z2-a)=arg(u)+arg(z1-a)+2k , kZ
2 1
1 2
( ) ( ) 2 k
3 3 2 k
u ,AM u ,AM ( AM ,AM )
par suite AM1M2 est équilatéral.
4/ a=1+i; A(1,0).
z1=2a=2+2i ; M1(2,2)
On place A et M1 ensuite M2 tel que AM1M2 équilatéral direct.
Exercice 15:
1/ a) P(2)=8+8(2-1)+8(1-2)-8=0 2 est une racine de P(z)=0.
b) P(z)=(z-2)(z+az+b)=z3+(a-2)z²+(b-2a)z-2b
a 2 2 ( 2 1 )
a 2 2
b 2 a 4 ( 1 2 )
b 4
2b 8
2/ a) P(z)=(z-2)(z+22z+4)
P(z)=0 z=2 ou z²+22z+4=0
Résolvons z²+22z+4=0; = -8=(2i2)²
z'= -2-i2 ; z''= -2+i2 SC={2, -2-i2, -2+i2}
b) z1= -2+i2 =
3 i
2 2 3 3 4
2( i ) 2(cos i sin ) 2e
2 2 4 4
z2= -2-i2 =
5 i
2 2 5 5 4
2( i ) 2(cos i sin ) 2e
2 2 4 4
3/ a)
b) OA=|2|=2, OB=|z1|=2 OA=OB d'ou OAB est isocèle de sommet principale O.
c)
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 10
1
[ 2 ]
1 [ 2 ]
2
1 [ 2 ]
2
1 Arg ( ) [ 2 ] 2
3 [ 2 ] 8
( i ,OC ) ( OA ,OC ) ( OA ,OB ) ( i ,OB )
z
a) AC=1 | 1 2 | 1 ( 2 2 )² 2 1 8 4 2
2 z 2 2
|zC|²=OC²=OA²-AC²=4-1
4 (8+42)=2-2 |zC|= 2 2 et Arg(z) 3
8
[2]
zC = 2 2 (cos3 i sin3 )
8 8
b) zC= A B 2 2 i 2
2 2 2
z z
d'ou 2 2 cos3
8
=2 2
2
et 2 2 sin3
8
= 2
2
donc
3 2 2 2 2
cos 8 2 2 2 2
3 2 2 2
sin 8 2 2 2 2
Exercice 16:
1/a) f(u)=u3-(u+2u )u²+(2+u²)u-u
=u3-u3-2u u²+2u+uu ²-u
= -2u+2u+u -u =0
u est solution de f(z)=0.
b) f(z)=(z-u)(az²+bz+c)=az3+(b-au)z²+(c-bu)z-cu
2
2 a 1
a 1 b au ( u 2u )
b 2u
c bu 2 cu u c
u u
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 11 f(z)=(z-u)(z²-2u z+u ²)=0 z=u ou z²-2u z+u ²=0
z²-2u z+u ²=0 (z-u )²=0 z=u. SC={u, u }.
2/ a) Z²=u 1 u u 1 uu u 1 1
u² 1 u² u u u u
u=cos+isin:
Z²=cos+isin+1- 1
2 cos Re(Z²)=cos+1- 1
2 cos
b) ]-,[ \ , 2 2
;
Re(Z²)=1 2cos²=1 cos= 2
2 ou cos= - 2
2
=
4
ou = 3
4
3/a) Re(Z²)=1 Z²-1 iIR Arg(Z²-1) [ 2 ] 2
.
b)
1 1 Z ² 1
Arg ( Z ) arg( ) Arg ( ) Arg ( Z )[ 2 ]
z Z Z
Arg ( Z ² 1 ) Arg ( Z ) Arg ( Z )[ 2 ] [ 2 ]
2
Exercice 17:
1/a) z=i, IR;
(i)3-(5+6i)(i)²+(18i-5)i+13=0 =1
z=i.
b) f(z)=(z-i)(z²+az+b)=z3+(a-i)z²+(b-ia)z-ib
a i ( 5 6 i )
a 5 5 i
b ia 18 i 5
b 13 i ib 13
f(z)=(z-i)(z²-(5+5i)z+13i)
c) f(z)=0 z=i ou z²-(5+5i)z+13i=0
z²-(5+5i)z+13i=0; = (5+5i)²-26i=-2i=(1-i)²
z'= 3+2i; z''=2+3i.
SC ={i, 2+3i, 3+2i}
3/ a) 2 1
0 1
3 2 i 2 3 i 1 i ( 1 i )² 1
i 2 3 i 2 ( 1 i ) 4 2i
z z
z z
b)
2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 12
2 1
0 1
2 1 0 1
1 0
1 2
1 0 1 2
A rg ( ) A rg (1 i )[ 2 ] 2
A rg ( ) A rg ( ) [ 2 ]
2 [ 2 ] 2 [ 2 ] 2
z z
z z
z z z z
( u , )
( u ,M M ) M M (M M ,M M )
d'ou M0M1M2 est rectangle en M1. Exercice 18:
1/ a) P(1)=1-1+2sin+1-2sin-1=0
b) P(1)=0 1 est solution de P(z)=0 il existe trois réels a, b et c tel que: P(z)=(z-1)(az²+bz+c)=az3+(b-a)z²+(c-b)z-c.
a 1 a 1
b a 1 2 sin
b 2 sin c b 1 2 sin
c 1
c 1
P(z)=(z-1)(z²+2sinz+1)
c) P(z)=0 z=1 ou z²+2sinz+1=0
z²+2sinz+1=0 ; = 4sin²-4=4(sin²-1)= -4cos²=(2icos)².
z'= -sin-icos , z''= -sin+icos. 2/ z1=1=[1,0]
z2= -sin+icos = i(cos+isin)=[1,
2
][1,]=[1,
2
+].
z3= -sin-icos= -i(cos-isin)= -i(cos(-)+isin(-))=[1,-
2
][1,-
]=[1,-
2
-].
Exercice 19:
1/ a) P(2)=8+8(2-1)+8(1-2)-8=0 2 est une racine de P(z)=0.
b) P(z)=(z-2)(z+az+b)=z3+(a-2)z²+(b-2a)z-2b
a 2 2 ( 2 1 )
a 2 2
b 2 a 4 ( 1 2 )
b 4
2b 8
2/ a) P(z)=(z-2)(z+22z+4)
P(z)=0 z=2 ou z²+22z+4=0
Résolvons z²+22z+4=0; = -8=(2i2)²
z'= -2-i2 ; z''= -2+i2 SC={2, -2-i2, -2+i2}
