Racines carrées
Samuel Rochetin
Mercredi 6 juin 2018
Résumé
Le but de ce document est de définir rigoureusement la racine carrée d’un réel positif ou nul puis d’établir une propriété algébrique immédiate. Proposition 1. Soit x un réel positif ou nul. Il existe un unique réel positif ou nul dont le carré vaut x.
Démonstration. Montrons l’existence. Si x = 0, alors 02= 0 = x.
Supposons que x > 0.
Posons E := {y ∈ R, y > 0, y2< x}.
Montrons que E est non vide.
Si 0 < x < 1, alors en multipliant l’inégalité x < 1 par x > 0, il vient x2< x donc x ∈ E. Si x = 1, alors 1 2 ∈ A car 1 2 2 =1 4 < 1. Et si 1 < x, alors 1 ∈ A car 12= 1 < x. Ainsi, E est une partie non vide de R. Montrons que E est majorée.
Si 0 < x ≤ 1, alors E est majorée par 1.
En effet, si ∃y ∈ E tel que 1 < y, alors par croissance de la fonction carrée sur R+, 12< y2 =⇒ x < y2.
Contradiction. Donc ∀y ∈ E, y ≤ 1.
Si 1 < x, alors E est majorée par x.
En effet, si ∃y ∈ E tel que x < y, alors par croissance de la fonction carrée sur R+, x2< y2 =⇒ x2< x.
Or, en multipliant l’inégalité 1 < x par x > 0, il vient x < x2. Contradiction.
Donc ∀y ∈ E, y ≤ x.
Ainsi, E est une partie non vide et majorée de R donc E admet une borne supérieure r.
Remarquons que r dépend de x et que r > 0 car r majore E et ∀y ∈ E, y > 0 donc 0 < y ≤ r. Montrons que r2= x. Supposons que r2< x. Montrons que ∃n ∈ N∗, r +1 n ∈ E. Soit n ∈ N∗. 1
Nous avons r + 1 n 2 = r2+2r n+ 1 n2 ≤ r 2+1 n(2r+1) car 0 < 1 n2 ≤ 1 n. Nous avons déjà r + 1
n > 0 donc pour avoir r + 1 n 2 < x, il suffit d’avoir r2+1 n(2r + 1) < x, c’est-à-dire 2r + 1 < n x − r 2.
Or, 2r + 1 ∈ R et par hypothèse, x − r2> 0 donc un tel n ∈ N∗existe car R est archimédien.
Ainsi, ∃n ∈ N∗tel que r + 1 n ∈ E. Or, r majore E donc r + 1
n ≤ r. Contraction car r < r +1 n. Donc x ≤ r2. Supposons que x < r2. Montrons que ∃m ∈ N∗, r − 1 m > 0, r − 1 m 2 > x. Soit n ∈ N∗.
D’une part, 1 ∈ R et r > 0 donc ∃m1 ∈ N∗, m1r > 1 car R est
archimédien.
D’autre part, soit m2∈ N∗.
Nous avons r − 1 m2 2 = r2− 2r m2 + 1 m2 2 > r2− 2r m2 car 1 m2 2 > 0. Pour avoir r − 1 m2 2 > x, il suffit d’avoir r2− 2r m2 > x, c’est-à-dire m2(r2− x) > 2r. Or, 2r ∈ R et par hypothèse, r2− x > 0 donc un tel
m2∈ N∗existe car R est archimédien.
Ainsi, en posant m := max(m1, m2) nous avons bien ∃m ∈ N∗, r−
1 m > 0, r − 1 m 2 > x. Montrons que r − 1 m est un majorant de E. Si ∃y ∈ E, 0 < r − 1
m < y, alors par croissance de la fonction carrée sur R+, r − 1 m 2 < y2 =⇒ r − 1 m 2 < x. Contradiction. Donc ∀y ∈ E, y ≤ r − 1 m.
Or, r est le plus petit minorant de E donc r ≤ r − 1 m. Contradiction car r − 1 m < r. Donc r2≤ x. Ainsi, x ≤ r2 et r2≤ x donc r2 = x. Montrons l’unicité. Supposons que x = 0. 2
D’après ci-dessus, il existe un réel positif ou nul r tel que r2= x. r2= x
⇐⇒ r2
= 0 ⇐⇒ r × r = 0
⇐⇒ r = 0 équation produit nul Supposons que x > 0.
Supposons qu’il existe deux réels positifs ou nuls r1, r2tels que r21= x
et r22= x.
Ainsi, r2 1= r22.
Or, x 6= 0 donc r16= 0 et r26= 0 donc r1> 0 et r2> 0.
r21= r22 ⇐⇒ r2 1− r 2 2= 0 ⇐⇒ (r1− r2)(r1+ r2) = 0 identité remarquable
⇐⇒ r1− r2= 0 ou r1+ r2= 0 équation produit nul
⇐⇒ r1 = r2 ou r1= −r2
Si r1= −r2, alors r1< 0.
Contradiction. Donc r1= r2.
Définition 1. Soit x un réel positif ou nul. On appelle racine carrée de x et on note√x l’unique réel positif ou nul tel que
(√x)2= x.
Propriété 1. Soient x, y deux réels positifs ou nuls. √
x × y =√x ×√y
Démonstration. D’après la définition 1, (√x × y)2 = x × y. Or, par as-sociativité et commutativité et d’après la définition 1, (√x ×√y)2 =
(√x ×√y) × (√x ×√y) = (√x ×√x) × (√y ×√y) = x × y. Ainsi, (√x × y)2= (√x ×√y)2.
