Relations métriques dans un triangle - Démonstrations

Relations métriques dans le plan – Démonstrations

1) Théorème de la médiane :

I est le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan on a :

⃗ ∙ ⃗ = … ⃗ + …⃗ ∙ … ⃗ + …⃗ = = + ⃗ ∙( … …⃗ +. … …⃗ ) + … …⃗ ∙. … …⃗ = + ⃗ ∙ …⃗ + … …⃗ ∙ . … …⃗ = +.. + … …⃗ ∙ . … …⃗ = – … …. Donc : ⃗. ⃗ = MI2 _{– AB}2

On peut aussi trouver une deuxième relation :

MA2 _{+ MB}2 ₌ ⃗ + ⃗ = ( …⃗ + … ⃗) + ( …⃗ + … ⃗) = = 2M...2 _{+ 2 ⃗}∙ ( … …⃗ +. … …⃗ ) + I…2 _{+ I…}2 = 2M...2 _{+ 2 ⃗}∙ …⃗ + I…2 _{+ I…}2 = 2M...2 ₊ … + … … + … … = 2M...2 _{+ 2}… … = 2M...2 ₊ …

On a donc la deuxième relation : MA2 _{+ MB}2 _{= 2 MI}2 ₊

M

B

A

I

Commentaire [A1]: On introduit le

point I dans les vecteurs MA et MB en utilisant la relation de Chasles

Commentaire [A2]: On développe

l’expression ci dessus

Commentaire [A3]: Sachant que I est

le milieu de [AB], on simplifie la somme vectorielle entre parenthèses

Commentaire [A4]: Sachant que I est

le milieu de [AB], exprimer les vecteurs IA et IB uniquement en fonction du vecteur AB

Commentaire [A5]: On introduit le

point I dans les vecteurs MA et MB en utilisant la relation de Chasles

Commentaire [A7]: On développe

l’expression ci-dessus

Commentaire [A6]: On simplifie

l’expression obtenue ci-dessus et en regroupant astucieusement…

Commentaire [A8]: Sachant que I est

le milieu de [AB], on simplifie la somme vectorielle entre parenthèses

Commentaire [A9]: Sachant que I est

le milieu de [AB], exprimer les distances IA et IB uniquement en fonction AB

2) Relations d’AL-Kashi : a2 _{= … …⃗}2 = ( … .⃗ … ⃗)2 _{= AC}2 _{+ AB}2 _{– 2AC AB cos} = b2 _{+ c}2 _{– 2bc cos !} = (… ⃗ " … ⃗)2 =… ⃗ – 2… ⃗ ∙ … ⃗ + … ⃗ = …C2 _{– 2 …C …B cos… … … + …B}2 = …2 _{+ …}2 _{– 2 … … cos(…# )}

De la même façon, compléter les formules que l’on a pour b2 _{et c}2 _{On retient :}

b2 _{= …}2 _{+ …}2 _{– 2 … … cos(…#)}

c2 _{= …}2 _{+ …}2 _{– 2 … … cos(…#)}

Les trois relations ci-dessous sont appelées les relations d’Al Kashi

Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 4 et BC = 5. Calculer !.

c2 _{= ...}2 _{+ ...}2 _{– 2 ... ... cos …# d’où cos ! = –} … $ …% $…& …… cos ! = – … … cos ! = ' () ! * … Rad * ... degrés A B C c b a a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bc cos +} b2 _{= a}2 _{+ c}2 _{– 2ac cos +} c2 _{= a}2 _{+ b}2 _{– 2ab cos ,}+

Commentaire [A10]: On introduit le

point A dans le vecteur BC en utilisant la relation de Chasles

Commentaire [A11]: On transforme

cette somme en une différence en prenant l’opposé d’un des deux vecteurs ci-dessus

Commentaire [A12]: On développe

l’expression ci-dessus (identité remarquable …)

Commentaire [A13]: On simplifie les

carrés scalaires et on utilise la formule du cosinus pour exprimer le produit scalaire

Commentaire [A14]: On remplace les

distances exprimées avec deux points par leur valeur a, b ou c. Pour simplifier l’angle, on ne met que son sommet…

3) Aire d’un triangle :

Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC). On appelle S l’aire du triangle ABC. S = - AH BC. On a deux cas de figure.

a) Lorsque l’angle ! est aigu :

Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : sin( !) = ……

…… Donc AH = … … sin( … )

D’où AH = … sin …

b) Lorsque l’angle ! est obtus : On remarque que . = … –

Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : sin(. ) = ……

……

Donc AH = … … sin(. )

Soit AH = … … sin(… " ) Soit AH = … … sin( … … …/ ) D’où AH = … sin …

c) Donc, dans les deux cas, AH = b sin !. On a donc S = - AH BC = - … … sin …# .

De la même façon, compléter les formules que l’on a en utilisant les angles 0 et ! : S = - … … sin 0 = - … … sin !

d) On démontre donc que :

Exemple, aire du triangle ABC tel que AB = 10 cm, BC = 7 cm et = 57° ?

Ici, on connait a = …, c = … et 0 = … °. D’où S = - … … sin …# = - … … sin …° * … ,…. cm2

4) Angle et côté opposé :

Des relations précédentes, en multipliant S par

%&1 , on a :

S = _{ab sin} ,+ = ac sin + = bc sin +

234 ,+ 5 = 234 + 6 = 234 + 7 A B C H a b c

A

B

C

H

a

b

c

Commentaire [A15]: Relation

trigonométrique dans le triangle ACH rectangle en H

Commentaire [A16]: A partir de cette

égalité, on exprime AH

Commentaire [A17]: On exprime la

longueur donné avec deux points uniquement à partir de la lettre minuscule qui lui correspond

Commentaire [A18]: Relation

trigonométrique dans le triangle ACH rectangle en H

Commentaire [A19]: A partir dde

cette égalité on exprime AH

Commentaire [A20]: On utilize la

relation sur les angles écrite à la ligne b) Lorsque …

Commentaire [A21]: Utilization d’une

propriété trigonométrique : sin(pi-a)=sin(a)

Commentaire [A22]: On exprime la

longueur donné avec deux points uniquement à partir de la lettre minuscule qui lui correspond

Commentaire [A23]: Valeur au